Theorem oppcendc 49508

Description: The opposite category of a category whose morphisms are all endomorphisms has the same base and hom-sets as the original category. (Contributed by Zhi Wang, 16-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcendc.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcendc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
oppcendc.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
oppcendc.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅))

Assertion

Ref	Expression
oppcendc	⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝑂))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem oppcendc

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcendc.1	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅))
2	1	ralrimivva 3182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅))
3		eqeq12 2756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑝 ∧ 𝑦 = 𝑞) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑝 = 𝑞))
4	3	necon3bid 2978	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑝 ∧ 𝑦 = 𝑞) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑝 ≠ 𝑞))
5		oveq12 7365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑝 ∧ 𝑦 = 𝑞) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑝𝐻𝑞))
6	5	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑝 ∧ 𝑦 = 𝑞) → ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ (𝑝𝐻𝑞) = ∅))
7	4, 6	imbi12d 345	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑝 ∧ 𝑦 = 𝑞) → ((𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑝𝐻𝑞) = ∅)))
8	7	rspc2gv 3570	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑝𝐻𝑞) = ∅)))
9	2, 8	mpan9 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑝𝐻𝑞) = ∅))
10		simprr 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → 𝑞 ∈ 𝐵)
11		simprl 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
12	2	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅))
13		eqeq12 2756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = 𝑞 ∧ 𝑦 = 𝑝) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑞 = 𝑝))
14		equcom 2025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑞 ↔ 𝑞 = 𝑝)
15	13, 14	bitr4di 290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑞 ∧ 𝑦 = 𝑝) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑝 = 𝑞))
16	15	necon3bid 2978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑞 ∧ 𝑦 = 𝑝) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑝 ≠ 𝑞))
17		oveq12 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑞 ∧ 𝑦 = 𝑝) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑞𝐻𝑝))
18	17	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑞 ∧ 𝑦 = 𝑝) → ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ (𝑞𝐻𝑝) = ∅))
19	16, 18	imbi12d 345	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑞 ∧ 𝑦 = 𝑝) → ((𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑞𝐻𝑝) = ∅)))
20	19	rspc2gv 3570	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑞𝐻𝑝) = ∅)))
21	20	imp 407	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅)) → (𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑞𝐻𝑝) = ∅))
22	10, 11, 12, 21	syl21anc 843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑞𝐻𝑝) = ∅))
23	9, 22	jcad 517	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝 ≠ 𝑞 → ((𝑝𝐻𝑞) = ∅ ∧ (𝑞𝐻𝑝) = ∅)))
24		nne 2938	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑝 ≠ 𝑞 ↔ 𝑝 = 𝑞)
25		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → 𝑝 = 𝑞)
26		equcomi 2024	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → 𝑞 = 𝑝)
27	25, 26	oveq12d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝𝐻𝑞) = (𝑞𝐻𝑝))
28	24, 27	sylbi 218	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑝𝐻𝑞) = (𝑞𝐻𝑝))
29		eqtr3 2761	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝𝐻𝑞) = ∅ ∧ (𝑞𝐻𝑝) = ∅) → (𝑝𝐻𝑞) = (𝑞𝐻𝑝))
30	28, 29	ja 187	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ≠ 𝑞 → ((𝑝𝐻𝑞) = ∅ ∧ (𝑞𝐻𝑝) = ∅)) → (𝑝𝐻𝑞) = (𝑞𝐻𝑝))
31	23, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝𝐻𝑞) = (𝑞𝐻𝑝))
32		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
33		oppcendc.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
34		oppcendc.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
35	32, 33, 34, 11, 10	homfval 17649	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝(Homf ‘𝐶)𝑞) = (𝑝𝐻𝑞))
36	32, 33, 34, 10, 11	homfval 17649	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑞(Homf ‘𝐶)𝑝) = (𝑞𝐻𝑝))
37	31, 35, 36	3eqtr4d 2784	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝(Homf ‘𝐶)𝑞) = (𝑞(Homf ‘𝐶)𝑝))
38	37	ralrimivva 3182	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ 𝐵 ∀𝑞 ∈ 𝐵 (𝑝(Homf ‘𝐶)𝑞) = (𝑞(Homf ‘𝐶)𝑝))
39	32, 33	homffn 17650	. . . 4 ⊢ (Homf ‘𝐶) Fn (𝐵 × 𝐵)
40		tpossym 8198	. . . 4 ⊢ ((Homf ‘𝐶) Fn (𝐵 × 𝐵) → (tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐵 ∀𝑞 ∈ 𝐵 (𝑝(Homf ‘𝐶)𝑞) = (𝑞(Homf ‘𝐶)𝑝)))
41	39, 40	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐵 ∀𝑞 ∈ 𝐵 (𝑝(Homf ‘𝐶)𝑞) = (𝑞(Homf ‘𝐶)𝑝))
42	38, 41	sylibr 235	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶))
43		oppcendc.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
44	43, 32	oppchomf 17677	. 2 ⊢ tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝑂)
45	42, 44	eqtr3di 2789	1 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝑂))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∅c0 4261   × cxp 5616   Fn wfn 6480  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  tpos ctpos 8165  Basecbs 17170  Hom chom 17222  Hom_f chomf 17623  oppCatcoppc 17668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-hom 17235  df-cco 17236  df-homf 17627  df-oppc 17669

This theorem is referenced by:  oppcmndc  49509  oppcthinendc  49930  oppcthinendcALT  49931