Theorem oppcendc 49796

Description: The opposite category of a category whose morphisms are all endomorphisms has the same base and hom-sets as the original category. (Contributed by Zhi Wang, 16-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcendc.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcendc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
oppcendc.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
oppcendc.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅))

Assertion

Ref	Expression
oppcendc	⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝑂))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem oppcendc

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcendc.1	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅))
2	1	ralrimivva 3208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅))
3		eqeq12 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑝 ∧ 𝑦 = 𝑞) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑝 = 𝑞))
4	3	necon3bid 3002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑝 ∧ 𝑦 = 𝑞) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑝 ≠ 𝑞))
5		oveq12 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑝 ∧ 𝑦 = 𝑞) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑝𝐻𝑞))
6	5	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑝 ∧ 𝑦 = 𝑞) → ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ (𝑝𝐻𝑞) = ∅))
7	4, 6	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑝 ∧ 𝑦 = 𝑞) → ((𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑝𝐻𝑞) = ∅)))
8	7	rspc2gv 3591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑝𝐻𝑞) = ∅)))
9	2, 8	mpan9 515	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑝𝐻𝑞) = ∅))
10		simprr 784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → 𝑞 ∈ 𝐵)
11		simprl 782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
12	2	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅))
13		eqeq12 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = 𝑞 ∧ 𝑦 = 𝑝) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑞 = 𝑝))
14		equcom 2048	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑞 ↔ 𝑞 = 𝑝)
15	13, 14	bitr4di 292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑞 ∧ 𝑦 = 𝑝) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑝 = 𝑞))
16	15	necon3bid 3002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑞 ∧ 𝑦 = 𝑝) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑝 ≠ 𝑞))
17		oveq12 7419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑞 ∧ 𝑦 = 𝑝) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑞𝐻𝑝))
18	17	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑞 ∧ 𝑦 = 𝑝) → ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ (𝑞𝐻𝑝) = ∅))
19	16, 18	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑞 ∧ 𝑦 = 𝑝) → ((𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑞𝐻𝑝) = ∅)))
20	19	rspc2gv 3591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑞𝐻𝑝) = ∅)))
21	20	imp 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅)) → (𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑞𝐻𝑝) = ∅))
22	10, 11, 12, 21	syl21anc 850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑞𝐻𝑝) = ∅))
23	9, 22	jcad 521	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝 ≠ 𝑞 → ((𝑝𝐻𝑞) = ∅ ∧ (𝑞𝐻𝑝) = ∅)))
24		nne 2962	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑝 ≠ 𝑞 ↔ 𝑝 = 𝑞)
25		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → 𝑝 = 𝑞)
26		equcomi 2047	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → 𝑞 = 𝑝)
27	25, 26	oveq12d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝𝐻𝑞) = (𝑞𝐻𝑝))
28	24, 27	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑝𝐻𝑞) = (𝑞𝐻𝑝))
29		eqtr3 2785	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝𝐻𝑞) = ∅ ∧ (𝑞𝐻𝑝) = ∅) → (𝑝𝐻𝑞) = (𝑞𝐻𝑝))
30	28, 29	ja 188	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ≠ 𝑞 → ((𝑝𝐻𝑞) = ∅ ∧ (𝑞𝐻𝑝) = ∅)) → (𝑝𝐻𝑞) = (𝑞𝐻𝑝))
31	23, 30	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝𝐻𝑞) = (𝑞𝐻𝑝))
32		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
33		oppcendc.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
34		oppcendc.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
35	32, 33, 34, 11, 10	homfval 17743	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝(Homf ‘𝐶)𝑞) = (𝑝𝐻𝑞))
36	32, 33, 34, 10, 11	homfval 17743	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑞(Homf ‘𝐶)𝑝) = (𝑞𝐻𝑝))
37	31, 35, 36	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝(Homf ‘𝐶)𝑞) = (𝑞(Homf ‘𝐶)𝑝))
38	37	ralrimivva 3208	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ 𝐵 ∀𝑞 ∈ 𝐵 (𝑝(Homf ‘𝐶)𝑞) = (𝑞(Homf ‘𝐶)𝑝))
39	32, 33	homffn 17744	. . . 4 ⊢ (Homf ‘𝐶) Fn (𝐵 × 𝐵)
40		tpossym 8250	. . . 4 ⊢ ((Homf ‘𝐶) Fn (𝐵 × 𝐵) → (tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐵 ∀𝑞 ∈ 𝐵 (𝑝(Homf ‘𝐶)𝑞) = (𝑞(Homf ‘𝐶)𝑝)))
41	39, 40	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐵 ∀𝑞 ∈ 𝐵 (𝑝(Homf ‘𝐶)𝑞) = (𝑞(Homf ‘𝐶)𝑝))
42	38, 41	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶))
43		oppcendc.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
44	43, 32	oppchomf 17771	. 2 ⊢ tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝑂)
45	42, 44	eqtr3di 2813	1 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝑂))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∅c0 4286   × cxp 5659   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  tpos ctpos 8217  Basecbs 17264  Hom chom 17316  Hom_f chomf 17717  oppCatcoppc 17762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-hom 17329  df-cco 17330  df-homf 17721  df-oppc 17763

This theorem is referenced by:  oppcmndc  49797  oppcthinendc  50218  oppcthinendcALT  50219