Theorem oppcendc 48980

Description: The opposite category of a category whose morphisms are all endomorphisms has the same base and hom-sets as the original category. (Contributed by Zhi Wang, 16-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcendc.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcendc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
oppcendc.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
oppcendc.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅))

Assertion

Ref	Expression
oppcendc	⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝑂))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem oppcendc

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcendc.1	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅))
2	1	ralrimivva 3178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅))
3		eqeq12 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑝 ∧ 𝑦 = 𝑞) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑝 = 𝑞))
4	3	necon3bid 2969	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑝 ∧ 𝑦 = 𝑞) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑝 ≠ 𝑞))
5		oveq12 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑝 ∧ 𝑦 = 𝑞) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑝𝐻𝑞))
6	5	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑝 ∧ 𝑦 = 𝑞) → ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ (𝑝𝐻𝑞) = ∅))
7	4, 6	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑝 ∧ 𝑦 = 𝑞) → ((𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑝𝐻𝑞) = ∅)))
8	7	rspc2gv 3595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑝𝐻𝑞) = ∅)))
9	2, 8	mpan9 506	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑝𝐻𝑞) = ∅))
10		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → 𝑞 ∈ 𝐵)
11		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
12	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅))
13		eqeq12 2746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = 𝑞 ∧ 𝑦 = 𝑝) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑞 = 𝑝))
14		equcom 2018	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑞 ↔ 𝑞 = 𝑝)
15	13, 14	bitr4di 289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑞 ∧ 𝑦 = 𝑝) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑝 = 𝑞))
16	15	necon3bid 2969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑞 ∧ 𝑦 = 𝑝) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑝 ≠ 𝑞))
17		oveq12 7378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑞 ∧ 𝑦 = 𝑝) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑞𝐻𝑝))
18	17	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑞 ∧ 𝑦 = 𝑝) → ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ (𝑞𝐻𝑝) = ∅))
19	16, 18	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑞 ∧ 𝑦 = 𝑝) → ((𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑞𝐻𝑝) = ∅)))
20	19	rspc2gv 3595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑞𝐻𝑝) = ∅)))
21	20	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅)) → (𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑞𝐻𝑝) = ∅))
22	10, 11, 12, 21	syl21anc 837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑞𝐻𝑝) = ∅))
23	9, 22	jcad 512	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝 ≠ 𝑞 → ((𝑝𝐻𝑞) = ∅ ∧ (𝑞𝐻𝑝) = ∅)))
24		nne 2929	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑝 ≠ 𝑞 ↔ 𝑝 = 𝑞)
25		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → 𝑝 = 𝑞)
26		equcomi 2017	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → 𝑞 = 𝑝)
27	25, 26	oveq12d 7387	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝𝐻𝑞) = (𝑞𝐻𝑝))
28	24, 27	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑝𝐻𝑞) = (𝑞𝐻𝑝))
29		eqtr3 2751	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝𝐻𝑞) = ∅ ∧ (𝑞𝐻𝑝) = ∅) → (𝑝𝐻𝑞) = (𝑞𝐻𝑝))
30	28, 29	ja 186	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ≠ 𝑞 → ((𝑝𝐻𝑞) = ∅ ∧ (𝑞𝐻𝑝) = ∅)) → (𝑝𝐻𝑞) = (𝑞𝐻𝑝))
31	23, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝𝐻𝑞) = (𝑞𝐻𝑝))
32		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
33		oppcendc.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
34		oppcendc.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
35	32, 33, 34, 11, 10	homfval 17629	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝(Homf ‘𝐶)𝑞) = (𝑝𝐻𝑞))
36	32, 33, 34, 10, 11	homfval 17629	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑞(Homf ‘𝐶)𝑝) = (𝑞𝐻𝑝))
37	31, 35, 36	3eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝(Homf ‘𝐶)𝑞) = (𝑞(Homf ‘𝐶)𝑝))
38	37	ralrimivva 3178	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ 𝐵 ∀𝑞 ∈ 𝐵 (𝑝(Homf ‘𝐶)𝑞) = (𝑞(Homf ‘𝐶)𝑝))
39	32, 33	homffn 17630	. . . 4 ⊢ (Homf ‘𝐶) Fn (𝐵 × 𝐵)
40		tpossym 8214	. . . 4 ⊢ ((Homf ‘𝐶) Fn (𝐵 × 𝐵) → (tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐵 ∀𝑞 ∈ 𝐵 (𝑝(Homf ‘𝐶)𝑞) = (𝑞(Homf ‘𝐶)𝑝)))
41	39, 40	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐵 ∀𝑞 ∈ 𝐵 (𝑝(Homf ‘𝐶)𝑞) = (𝑞(Homf ‘𝐶)𝑝))
42	38, 41	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶))
43		oppcendc.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
44	43, 32	oppchomf 17657	. 2 ⊢ tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝑂)
45	42, 44	eqtr3di 2779	1 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝑂))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∅c0 4292   × cxp 5629   Fn wfn 6494  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  tpos ctpos 8181  Basecbs 17155  Hom chom 17207  Hom_f chomf 17603  oppCatcoppc 17648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-hom 17220  df-cco 17221  df-homf 17607  df-oppc 17649

This theorem is referenced by:  oppcmndc  48981  oppcthinendc  49402  oppcthinendcALT  49403