Theorem oppcendc 49681

Description: The opposite category of a category whose morphisms are all endomorphisms has the same base and hom-sets as the original category. (Contributed by Zhi Wang, 16-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcendc.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcendc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
oppcendc.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
oppcendc.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅))

Assertion

Ref	Expression
oppcendc	⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝑂))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem oppcendc

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcendc.1	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅))
2	1	ralrimivva 3214	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅))
3		eqeq12 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑝 ∧ 𝑦 = 𝑞) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑝 = 𝑞))
4	3	necon3bid 3008	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑝 ∧ 𝑦 = 𝑞) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑝 ≠ 𝑞))
5		oveq12 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑝 ∧ 𝑦 = 𝑞) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑝𝐻𝑞))
6	5	eqeq1d 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑝 ∧ 𝑦 = 𝑞) → ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ (𝑝𝐻𝑞) = ∅))
7	4, 6	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑝 ∧ 𝑦 = 𝑞) → ((𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑝𝐻𝑞) = ∅)))
8	7	rspc2gv 3600	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑝𝐻𝑞) = ∅)))
9	2, 8	mpan9 515	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑝𝐻𝑞) = ∅))
10		simprr 784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → 𝑞 ∈ 𝐵)
11		simprl 782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
12	2	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅))
13		eqeq12 2786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = 𝑞 ∧ 𝑦 = 𝑝) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑞 = 𝑝))
14		equcom 2045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑞 ↔ 𝑞 = 𝑝)
15	13, 14	bitr4di 292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑞 ∧ 𝑦 = 𝑝) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑝 = 𝑞))
16	15	necon3bid 3008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑞 ∧ 𝑦 = 𝑝) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑝 ≠ 𝑞))
17		oveq12 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑞 ∧ 𝑦 = 𝑝) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑞𝐻𝑝))
18	17	eqeq1d 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑞 ∧ 𝑦 = 𝑝) → ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ (𝑞𝐻𝑝) = ∅))
19	16, 18	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑞 ∧ 𝑦 = 𝑝) → ((𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑞𝐻𝑝) = ∅)))
20	19	rspc2gv 3600	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅) → (𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑞𝐻𝑝) = ∅)))
21	20	imp 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅)) → (𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑞𝐻𝑝) = ∅))
22	10, 11, 12, 21	syl21anc 850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑞𝐻𝑝) = ∅))
23	9, 22	jcad 521	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝 ≠ 𝑞 → ((𝑝𝐻𝑞) = ∅ ∧ (𝑞𝐻𝑝) = ∅)))
24		nne 2968	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑝 ≠ 𝑞 ↔ 𝑝 = 𝑞)
25		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → 𝑝 = 𝑞)
26		equcomi 2044	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → 𝑞 = 𝑝)
27	25, 26	oveq12d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝𝐻𝑞) = (𝑞𝐻𝑝))
28	24, 27	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑝 ≠ 𝑞 → (𝑝𝐻𝑞) = (𝑞𝐻𝑝))
29		eqtr3 2791	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝𝐻𝑞) = ∅ ∧ (𝑞𝐻𝑝) = ∅) → (𝑝𝐻𝑞) = (𝑞𝐻𝑝))
30	28, 29	ja 188	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ≠ 𝑞 → ((𝑝𝐻𝑞) = ∅ ∧ (𝑞𝐻𝑝) = ∅)) → (𝑝𝐻𝑞) = (𝑞𝐻𝑝))
31	23, 30	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝𝐻𝑞) = (𝑞𝐻𝑝))
32		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
33		oppcendc.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
34		oppcendc.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
35	32, 33, 34, 11, 10	homfval 17748	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝(Homf ‘𝐶)𝑞) = (𝑝𝐻𝑞))
36	32, 33, 34, 10, 11	homfval 17748	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑞(Homf ‘𝐶)𝑝) = (𝑞𝐻𝑝))
37	31, 35, 36	3eqtr4d 2814	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝(Homf ‘𝐶)𝑞) = (𝑞(Homf ‘𝐶)𝑝))
38	37	ralrimivva 3214	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ 𝐵 ∀𝑞 ∈ 𝐵 (𝑝(Homf ‘𝐶)𝑞) = (𝑞(Homf ‘𝐶)𝑝))
39	32, 33	homffn 17749	. . . 4 ⊢ (Homf ‘𝐶) Fn (𝐵 × 𝐵)
40		tpossym 8254	. . . 4 ⊢ ((Homf ‘𝐶) Fn (𝐵 × 𝐵) → (tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐵 ∀𝑞 ∈ 𝐵 (𝑝(Homf ‘𝐶)𝑞) = (𝑞(Homf ‘𝐶)𝑝)))
41	39, 40	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐵 ∀𝑞 ∈ 𝐵 (𝑝(Homf ‘𝐶)𝑞) = (𝑞(Homf ‘𝐶)𝑝))
42	38, 41	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶))
43		oppcendc.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
44	43, 32	oppchomf 17776	. 2 ⊢ tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝑂)
45	42, 44	eqtr3di 2819	1 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝑂))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∅c0 4294   × cxp 5660   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  tpos ctpos 8221  Basecbs 17269  Hom chom 17321  Hom_f chomf 17722  oppCatcoppc 17767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-hom 17334  df-cco 17335  df-homf 17726  df-oppc 17768

This theorem is referenced by:  oppcmndc  49682  oppcthinendc  50103  oppcthinendcALT  50104