Theorem oppcthinendcALT 49434

Description: Alternate proof of oppcthinendc 49433. (Contributed by Zhi Wang, 16-Oct-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcthinco.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcthinco.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
oppcthinendc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
oppcthinendc.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
oppcthinendc.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅))

Assertion

Ref	Expression
oppcthinendcALT	⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘𝑂))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem oppcthinendcALT

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcthinendc.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
3		oppcthinco.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
4		simplr1 1216	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
5		simplr2 1217	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
6		simplr3 1218	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	oppcco 17685	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑂)𝑧)𝑓) = (𝑓(⟨𝑧, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑥)𝑔))
8		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝜑)
9	4, 5	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
10		simprl 770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦))
11	10	ne0d 4308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑥𝐻𝑦) ≠ ∅)
12		oppcthinendc.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅))
13	12	necon1d 2948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑥𝐻𝑦) ≠ ∅ → 𝑥 = 𝑦))
14	13	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥𝐻𝑦) ≠ ∅) → 𝑥 = 𝑦)
15	8, 9, 11, 14	syl21anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑥 = 𝑦)
16		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))
17	16	ne0d 4308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑦𝐻𝑧) ≠ ∅)
18		neeq1 2988	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≠ 𝑧 ↔ 𝑦 ≠ 𝑧))
19		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑦𝐻𝑧))
20	19	eqeq1d 2732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐻𝑧) = ∅ ↔ (𝑦𝐻𝑧) = ∅))
21	18, 20	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ≠ 𝑧 → (𝑥𝐻𝑧) = ∅) ↔ (𝑦 ≠ 𝑧 → (𝑦𝐻𝑧) = ∅)))
22		neeq2 2989	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑥 ≠ 𝑧))
23		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑥𝐻𝑧))
24	23	eqeq1d 2732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ (𝑥𝐻𝑧) = ∅))
25	22, 24	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅) ↔ (𝑥 ≠ 𝑧 → (𝑥𝐻𝑧) = ∅)))
26	12	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅))
27	26	ralrimiva 3126	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅))
28	27	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅))
29		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
30	25, 28, 29	rspcdva 3592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≠ 𝑧 → (𝑥𝐻𝑧) = ∅))
31	30	ralrimiva 3126	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ≠ 𝑧 → (𝑥𝐻𝑧) = ∅))
32	8, 6, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ≠ 𝑧 → (𝑥𝐻𝑧) = ∅))
33	21, 32, 5	rspcdva 3592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑦 ≠ 𝑧 → (𝑦𝐻𝑧) = ∅))
34	33	necon1d 2948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → ((𝑦𝐻𝑧) ≠ ∅ → 𝑦 = 𝑧))
35	17, 34	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑦 = 𝑧)
36	15, 35	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑥 = 𝑧)
37	36	equcomd 2019	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑧 = 𝑥)
38	37	opeq1d 4846	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → ⟨𝑧, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
39	38, 36	oveq12d 7408	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (⟨𝑧, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑥) = (⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧))
40	15	oveq1d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑦𝐻𝑦))
41	10, 40	eleqtrd 2831	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓 ∈ (𝑦𝐻𝑦))
42	35	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑦𝐻𝑦) = (𝑦𝐻𝑧))
43	16, 42	eleqtrrd 2832	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑦))
44		oppcthinendc.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
45		oppcthinco.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
46	8, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝐶 ∈ ThinCat)
47	5, 5, 41, 43, 1, 44, 46	thincmo2 49419	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓 = 𝑔)
48	47	equcomd 2019	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔 = 𝑓)
49	39, 47, 48	oveq123d 7411	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑓(⟨𝑧, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑥)𝑔) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓))
50	7, 49	eqtr2d 2766	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑂)𝑧)𝑓))
51	50	ralrimivva 3181	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑂)𝑧)𝑓))
52	51	ralrimivvva 3184	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑂)𝑧)𝑓))
53		eqid 2730	. . 3 ⊢ (comp‘𝑂) = (comp‘𝑂)
54	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
55	3, 1	oppcbas 17686	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)
56	55	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑂))
57	3, 1, 44, 12	oppcendc 49011	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝑂))
58	2, 53, 44, 54, 56, 57	comfeq 17674	. 2 ⊢ (𝜑 → ((compf‘𝐶) = (compf‘𝑂) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑂)𝑧)𝑓)))
59	52, 58	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∅c0 4299  ⟨cop 4598  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  Hom chom 17238  compcco 17239  comp_fccomf 17635  oppCatcoppc 17679  ThinCatcthinc 49410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-hom 17251  df-cco 17252  df-homf 17638  df-comf 17639  df-oppc 17680  df-thinc 49411

This theorem is referenced by: (None)