Theorem oppcthinendcALT 49800

Description: Alternate proof of oppcthinendc 49799. (Contributed by Zhi Wang, 16-Oct-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcthinco.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcthinco.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
oppcthinendc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
oppcthinendc.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
oppcthinendc.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅))

Assertion

Ref	Expression
oppcthinendcALT	⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘𝑂))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem oppcthinendcALT

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcthinendc.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
3		oppcthinco.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
4		simplr1 1217	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
5		simplr2 1218	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
6		simplr3 1219	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	oppcco 17652	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑂)𝑧)𝑓) = (𝑓(⟨𝑧, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑥)𝑔))
8		simpll 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝜑)
9	4, 5	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
10		simprl 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦))
11	10	ne0d 4296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑥𝐻𝑦) ≠ ∅)
12		oppcthinendc.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅))
13	12	necon1d 2955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑥𝐻𝑦) ≠ ∅ → 𝑥 = 𝑦))
14	13	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥𝐻𝑦) ≠ ∅) → 𝑥 = 𝑦)
15	8, 9, 11, 14	syl21anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑥 = 𝑦)
16		simprr 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))
17	16	ne0d 4296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑦𝐻𝑧) ≠ ∅)
18		neeq1 2995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≠ 𝑧 ↔ 𝑦 ≠ 𝑧))
19		oveq1 7375	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑦𝐻𝑧))
20	19	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐻𝑧) = ∅ ↔ (𝑦𝐻𝑧) = ∅))
21	18, 20	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ≠ 𝑧 → (𝑥𝐻𝑧) = ∅) ↔ (𝑦 ≠ 𝑧 → (𝑦𝐻𝑧) = ∅)))
22		neeq2 2996	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑥 ≠ 𝑧))
23		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑥𝐻𝑧))
24	23	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑥𝐻𝑦) = ∅ ↔ (𝑥𝐻𝑧) = ∅))
25	22, 24	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅) ↔ (𝑥 ≠ 𝑧 → (𝑥𝐻𝑧) = ∅)))
26	12	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅))
27	26	ralrimiva 3130	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅))
28	27	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥𝐻𝑦) = ∅))
29		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
30	25, 28, 29	rspcdva 3579	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≠ 𝑧 → (𝑥𝐻𝑧) = ∅))
31	30	ralrimiva 3130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ≠ 𝑧 → (𝑥𝐻𝑧) = ∅))
32	8, 6, 31	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ≠ 𝑧 → (𝑥𝐻𝑧) = ∅))
33	21, 32, 5	rspcdva 3579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑦 ≠ 𝑧 → (𝑦𝐻𝑧) = ∅))
34	33	necon1d 2955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → ((𝑦𝐻𝑧) ≠ ∅ → 𝑦 = 𝑧))
35	17, 34	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑦 = 𝑧)
36	15, 35	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑥 = 𝑧)
37	36	equcomd 2021	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑧 = 𝑥)
38	37	opeq1d 4837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → ⟨𝑧, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
39	38, 36	oveq12d 7386	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (⟨𝑧, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑥) = (⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧))
40	15	oveq1d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑦𝐻𝑦))
41	10, 40	eleqtrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓 ∈ (𝑦𝐻𝑦))
42	35	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑦𝐻𝑦) = (𝑦𝐻𝑧))
43	16, 42	eleqtrrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑦))
44		oppcthinendc.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
45		oppcthinco.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
46	8, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝐶 ∈ ThinCat)
47	5, 5, 41, 43, 1, 44, 46	thincmo2 49785	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓 = 𝑔)
48	47	equcomd 2021	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔 = 𝑓)
49	39, 47, 48	oveq123d 7389	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑓(⟨𝑧, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑥)𝑔) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓))
50	7, 49	eqtr2d 2773	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑂)𝑧)𝑓))
51	50	ralrimivva 3181	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑂)𝑧)𝑓))
52	51	ralrimivvva 3184	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑂)𝑧)𝑓))
53		eqid 2737	. . 3 ⊢ (comp‘𝑂) = (comp‘𝑂)
54	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
55	3, 1	oppcbas 17653	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)
56	55	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑂))
57	3, 1, 44, 12	oppcendc 49377	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝑂))
58	2, 53, 44, 54, 56, 57	comfeq 17641	. 2 ⊢ (𝜑 → ((compf‘𝐶) = (compf‘𝑂) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑂)𝑧)𝑓)))
59	52, 58	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∅c0 4287  ⟨cop 4588  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  Hom chom 17200  compcco 17201  comp_fccomf 17602  oppCatcoppc 17646  ThinCatcthinc 49776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-hom 17213  df-cco 17214  df-homf 17605  df-comf 17606  df-oppc 17647  df-thinc 49777

This theorem is referenced by: (None)