Theorem pcqcl 16890

Description: Closure of the general prime count function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcqcl	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem pcqcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 771	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℚ)
2		elq 12990	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
3	1, 2	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
4		nncn 12272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
5		nnne0 12298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
6	4, 5	div0d 12040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (0 / 𝑦) = 0)
7	6	ad2antll 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0 / 𝑦) = 0)
8		oveq1 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 / 𝑦) = (0 / 𝑦))
9	8	eqeq1d 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 / 𝑦) = 0 ↔ (0 / 𝑦) = 0))
10	7, 9	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑥 = 0 → (𝑥 / 𝑦) = 0))
11	10	necon3d 2959	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑦) ≠ 0 → 𝑥 ≠ 0))
12		an32 646	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))
13		pcdiv 16886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑃 pCnt 𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
14		pczcl 16882	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑥) ∈ ℕ0)
15	14	nn0zd 12637	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑥) ∈ ℤ)
16	15	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt 𝑥) ∈ ℤ)
17		nnz 12632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
18	17, 5	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0))
19		pczcl 16882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℕ0)
20	19	nn0zd 12637	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
21	18, 20	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
22	21	3adant2 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
23	16, 22	zsubcld 12725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)) ∈ ℤ)
24	13, 23	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ)
25	24	3expb 1119	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ)
26	12, 25	sylan2b 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ)
27	26	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑥 ≠ 0 → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ))
28	11, 27	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑦) ≠ 0 → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ))
29		neeq1 3001	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑁 ≠ 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) ≠ 0))
30		oveq2 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt 𝑁) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
31	30	eleq1d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ ↔ (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ))
32	29, 31	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑁 ≠ 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ) ↔ ((𝑥 / 𝑦) ≠ 0 → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ)))
33	28, 32	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑁 ≠ 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)))
34	33	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑁 ≠ 0 → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)))
35	34	impancom 451	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)))
36	35	adantrl 716	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)))
37	36	rexlimdvv 3210	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ))
38	3, 37	mpd 15	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068  (class class class)co 7431  0cc0 11153   − cmin 11490   / cdiv 11918  ℕcn 12264  ℤcz 12611  ℚcq 12988  ℙcprime 16705   pCnt cpc 16870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-pc 16871

This theorem is referenced by:  pcqdiv  16891  pcexp  16893  pcxcl  16895  pcadd  16923  qexpz  16935  expnprm  16936  padicabv  27689  padicabvf  27690  padicabvcxp  27691