MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcqcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcqcl 16858
Description: Closure of the general prime count function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcqcl ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem pcqcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 769 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℚ)
2 elq 12986 . . 3 (𝑁 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
31, 2sylib 217 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
4 nncn 12272 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
5 nnne0 12298 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
64, 5div0d 12040 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (0 / 𝑦) = 0)
76ad2antll 727 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0 / 𝑦) = 0)
8 oveq1 7431 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (𝑥 / 𝑦) = (0 / 𝑦))
98eqeq1d 2728 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → ((𝑥 / 𝑦) = 0 ↔ (0 / 𝑦) = 0))
107, 9syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑥 = 0 → (𝑥 / 𝑦) = 0))
1110necon3d 2951 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑦) ≠ 0 → 𝑥 ≠ 0))
12 an32 644 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))
13 pcdiv 16854 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑃 pCnt 𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
14 pczcl 16850 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑥) ∈ ℕ0)
1514nn0zd 12636 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑥) ∈ ℤ)
16153adant3 1129 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt 𝑥) ∈ ℤ)
17 nnz 12631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
1817, 5jca 510 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0))
19 pczcl 16850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℕ0)
2019nn0zd 12636 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
2118, 20sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
22213adant2 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
2316, 22zsubcld 12723 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)) ∈ ℤ)
2413, 23eqeltrd 2826 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ)
25243expb 1117 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ)
2612, 25sylan2b 592 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ)
2726expr 455 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑥 ≠ 0 → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ))
2811, 27syld 47 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑦) ≠ 0 → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ))
29 neeq1 2993 . . . . . . . 8 (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑁 ≠ 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) ≠ 0))
30 oveq2 7432 . . . . . . . . 9 (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt 𝑁) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
3130eleq1d 2811 . . . . . . . 8 (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ ↔ (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ))
3229, 31imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑁 ≠ 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ) ↔ ((𝑥 / 𝑦) ≠ 0 → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ)))
3328, 32syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑁 ≠ 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)))
3433com23 86 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑁 ≠ 0 → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)))
3534impancom 450 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)))
3635adantrl 714 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)))
3736rexlimdvv 3201 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ))
383, 37mpd 15 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wrex 3060  (class class class)co 7424  0cc0 11158  cmin 11494   / cdiv 11921  cn 12264  cz 12610  cq 12984  cprime 16672   pCnt cpc 16838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-dvds 16257  df-gcd 16495  df-prm 16673  df-pc 16839
This theorem is referenced by:  pcqdiv  16859  pcexp  16861  pcxcl  16863  pcadd  16891  qexpz  16903  expnprm  16904  padicabv  27659  padicabvf  27660  padicabvcxp  27661
  Copyright terms: Public domain W3C validator