Theorem pcqcl 16926

Description: Closure of the general prime count function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcqcl	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem pcqcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 783	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℚ)
2		elq 12984	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
3	1, 2	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
4		nncn 12251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
5		nnne0 12280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
6	4, 5	div0d 12000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (0 / 𝑦) = 0)
7	6	ad2antll 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0 / 𝑦) = 0)
8		oveq1 7423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 / 𝑦) = (0 / 𝑦))
9	8	eqeq1d 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 / 𝑦) = 0 ↔ (0 / 𝑦) = 0))
10	7, 9	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑥 = 0 → (𝑥 / 𝑦) = 0))
11	10	necon3d 2982	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑦) ≠ 0 → 𝑥 ≠ 0))
12		an32 659	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))
13		pcdiv 16922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑃 pCnt 𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
14		pczcl 16918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑥) ∈ ℕ0)
15	14	nn0zd 12626	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑥) ∈ ℤ)
16	15	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt 𝑥) ∈ ℤ)
17		nnz 12622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
18	17, 5	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0))
19		pczcl 16918	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℕ0)
20	19	nn0zd 12626	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
21	18, 20	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
22	21	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
23	16, 22	zsubcld 12715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)) ∈ ℤ)
24	13, 23	eqeltrd 2866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ)
25	24	3expb 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ)
26	12, 25	sylan2b 606	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ)
27	26	expr 462	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑥 ≠ 0 → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ))
28	11, 27	syld 48	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑦) ≠ 0 → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ))
29		neeq1 3023	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑁 ≠ 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) ≠ 0))
30		oveq2 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt 𝑁) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
31	30	eleq1d 2851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ ↔ (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ))
32	29, 31	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑁 ≠ 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ) ↔ ((𝑥 / 𝑦) ≠ 0 → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℤ)))
33	28, 32	syl5ibrcom 250	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑁 ≠ 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)))
34	33	com23 87	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑁 ≠ 0 → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)))
35	34	impancom 457	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)))
36	35	adantrl 729	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)))
37	36	rexlimdvv 3224	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ))
38	3, 37	mpd 16	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∃wrex 3092  (class class class)co 7416  0cc0 11110   − cmin 11451   / cdiv 11881  ℕcn 12243  ℤcz 12601  ℚcq 12982  ℙcprime 16739   pCnt cpc 16906

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9404  df-inf 9405  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11882  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12515  df-z 12602  df-uz 12873  df-q 12983  df-rp 13027  df-fl 13836  df-mod 13914  df-seq 14049  df-exp 14109  df-cj 15161  df-re 15162  df-im 15163  df-sqrt 15297  df-abs 15298  df-dvds 16321  df-gcd 16563  df-prm 16740  df-pc 16907

This theorem is used by:  pcqdiv  16927  pcexp  16929  pcxcl  16931  pcadd  16959  qexpz  16971  expnprm  16972  padicabv  27809  padicabvf  27810  padicabvcxp  27811