Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1qr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pell1qr1 41599
Description: 1 is a Pell solution and in the first quadrant as one. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1qr1 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ 1 โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท))

Proof of Theorem pell1qr1
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 11214 . 2 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
2 1nn0 12487 . . . 4 1 โˆˆ โ„•0
32a1i 11 . . 3 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
4 0nn0 12486 . . . 4 0 โˆˆ โ„•0
54a1i 11 . . 3 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ 0 โˆˆ โ„•0)
6 eldifi 4126 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
76nncnd 12227 . . . . . . 7 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
87sqrtcld 15383 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
98mul01d 11412 . . . . 5 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท 0) = 0)
109oveq2d 7424 . . . 4 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (1 + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท 0)) = (1 + 0))
11 1p0e1 12335 . . . 4 (1 + 0) = 1
1210, 11eqtr2di 2789 . . 3 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ 1 = (1 + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท 0)))
13 sq1 14158 . . . . . 6 (1โ†‘2) = 1
1413a1i 11 . . . . 5 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (1โ†‘2) = 1)
15 sq0 14155 . . . . . . 7 (0โ†‘2) = 0
1615oveq2i 7419 . . . . . 6 (๐ท ยท (0โ†‘2)) = (๐ท ยท 0)
177mul01d 11412 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (๐ท ยท 0) = 0)
1816, 17eqtrid 2784 . . . . 5 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (๐ท ยท (0โ†‘2)) = 0)
1914, 18oveq12d 7426 . . . 4 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ((1โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (0โ†‘2))) = (1 โˆ’ 0))
20 1m0e1 12332 . . . 4 (1 โˆ’ 0) = 1
2119, 20eqtrdi 2788 . . 3 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ((1โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (0โ†‘2))) = 1)
22 oveq1 7415 . . . . . 6 (๐‘Ž = 1 โ†’ (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = (1 + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)))
2322eqeq2d 2743 . . . . 5 (๐‘Ž = 1 โ†’ (1 = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โ†” 1 = (1 + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘))))
24 oveq1 7415 . . . . . . 7 (๐‘Ž = 1 โ†’ (๐‘Žโ†‘2) = (1โ†‘2))
2524oveq1d 7423 . . . . . 6 (๐‘Ž = 1 โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = ((1โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))))
2625eqeq1d 2734 . . . . 5 (๐‘Ž = 1 โ†’ (((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1 โ†” ((1โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))
2723, 26anbi12d 631 . . . 4 (๐‘Ž = 1 โ†’ ((1 = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†” (1 = (1 + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((1โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)))
28 oveq2 7416 . . . . . . 7 (๐‘ = 0 โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘) = ((โˆšโ€˜๐ท) ยท 0))
2928oveq2d 7424 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ (1 + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = (1 + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท 0)))
3029eqeq2d 2743 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ (1 = (1 + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โ†” 1 = (1 + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท 0))))
31 oveq1 7415 . . . . . . . 8 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘โ†‘2) = (0โ†‘2))
3231oveq2d 7424 . . . . . . 7 (๐‘ = 0 โ†’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2)) = (๐ท ยท (0โ†‘2)))
3332oveq2d 7424 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ ((1โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = ((1โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (0โ†‘2))))
3433eqeq1d 2734 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ (((1โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1 โ†” ((1โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (0โ†‘2))) = 1))
3530, 34anbi12d 631 . . . 4 (๐‘ = 0 โ†’ ((1 = (1 + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((1โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†” (1 = (1 + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท 0)) โˆง ((1โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (0โ†‘2))) = 1)))
3627, 35rspc2ev 3624 . . 3 ((1 โˆˆ โ„•0 โˆง 0 โˆˆ โ„•0 โˆง (1 = (1 + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท 0)) โˆง ((1โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (0โ†‘2))) = 1)) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 (1 = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))
373, 5, 12, 21, 36syl112anc 1374 . 2 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 (1 = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))
38 elpell1qr 41575 . 2 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (1 โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โ†” (1 โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 (1 = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))))
391, 37, 38mpbir2and 711 1 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ 1 โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆƒwrex 3070   โˆ– cdif 3945  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โˆ’ cmin 11443  โ„•cn 12211  2c2 12266  โ„•0cn0 12471  โ†‘cexp 14026  โˆšcsqrt 15179  โ—ปNNcsquarenn 41564  Pell1QRcpell1qr 41565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-pell1qr 41570
This theorem is referenced by:  elpell1qr2  41600
  Copyright terms: Public domain W3C validator