Theorem pell1qr1 43134

Description: 1 is a Pell solution and in the first quadrant as one. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pell1qr1	⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ (Pell1QR‘𝐷))

Proof of Theorem pell1qr1

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11135	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ ℝ)
2		1nn0 12419	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ ℕ0)
4		0nn0 12418	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ∈ ℕ0)
6		eldifi 4083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
7	6	nncnd 12163	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℂ)
8	7	sqrtcld 15365	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
9	8	mul01d 11334	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘𝐷) · 0) = 0)
10	9	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1 + ((√‘𝐷) · 0)) = (1 + 0))
11		1p0e1 12266	. . . 4 ⊢ (1 + 0) = 1
12	10, 11	eqtr2di 2788	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 = (1 + ((√‘𝐷) · 0)))
13		sq1 14120	. . . . . 6 ⊢ (1↑2) = 1
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1↑2) = 1)
15		sq0 14117	. . . . . . 7 ⊢ (0↑2) = 0
16	15	oveq2i 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 · (0↑2)) = (𝐷 · 0)
17	7	mul01d 11334	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 · 0) = 0)
18	16, 17	eqtrid 2783	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 · (0↑2)) = 0)
19	14, 18	oveq12d 7376	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((1↑2) − (𝐷 · (0↑2))) = (1 − 0))
20		1m0e1 12263	. . . 4 ⊢ (1 − 0) = 1
21	19, 20	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((1↑2) − (𝐷 · (0↑2))) = 1)
22		oveq1 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (1 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
23	22	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → (1 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ↔ 1 = (1 + ((√‘𝐷) · 𝑏))))
24		oveq1 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑎↑2) = (1↑2))
25	24	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((1↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
26	25	eqeq1d 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → (((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ ((1↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
27	23, 26	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → ((1 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ↔ (1 = (1 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((1↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)))
28		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 0 → ((√‘𝐷) · 𝑏) = ((√‘𝐷) · 0))
29	28	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 0 → (1 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (1 + ((√‘𝐷) · 0)))
30	29	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 0 → (1 = (1 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ↔ 1 = (1 + ((√‘𝐷) · 0))))
31		oveq1 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝑏↑2) = (0↑2))
32	31	oveq2d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝐷 · (𝑏↑2)) = (𝐷 · (0↑2)))
33	32	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 0 → ((1↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((1↑2) − (𝐷 · (0↑2))))
34	33	eqeq1d 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 0 → (((1↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ ((1↑2) − (𝐷 · (0↑2))) = 1))
35	30, 34	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 0 → ((1 = (1 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((1↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ↔ (1 = (1 + ((√‘𝐷) · 0)) ∧ ((1↑2) − (𝐷 · (0↑2))) = 1)))
36	27, 35	rspc2ev 3589	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ (1 = (1 + ((√‘𝐷) · 0)) ∧ ((1↑2) − (𝐷 · (0↑2))) = 1)) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (1 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
37	3, 5, 12, 21, 36	syl112anc 1376	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (1 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
38		elpell1qr 43110	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (1 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
39	1, 37, 38	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ (Pell1QR‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060   ∖ cdif 3898  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   − cmin 11366  ℕcn 12147  2c2 12202  ℕ₀cn0 12403  ↑cexp 13986  √csqrt 15158  ◻_NNcsquarenn 43099  Pell1QRcpell1qr 43100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-sup 9347  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-rp 12908  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-pell1qr 43105

This theorem is referenced by:  elpell1qr2  43135