Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1qr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pell1qr1 40396
Description: 1 is a Pell solution and in the first quadrant as one. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1qr1 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ (Pell1QR‘𝐷))

Proof of Theorem pell1qr1
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 10834 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ ℝ)
2 1nn0 12106 . . . 4 1 ∈ ℕ0
32a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ ℕ0)
4 0nn0 12105 . . . 4 0 ∈ ℕ0
54a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ∈ ℕ0)
6 eldifi 4041 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
76nncnd 11846 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℂ)
87sqrtcld 15001 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
98mul01d 11031 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘𝐷) · 0) = 0)
109oveq2d 7229 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1 + ((√‘𝐷) · 0)) = (1 + 0))
11 1p0e1 11954 . . . 4 (1 + 0) = 1
1210, 11eqtr2di 2795 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 = (1 + ((√‘𝐷) · 0)))
13 sq1 13764 . . . . . 6 (1↑2) = 1
1413a1i 11 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1↑2) = 1)
15 sq0 13761 . . . . . . 7 (0↑2) = 0
1615oveq2i 7224 . . . . . 6 (𝐷 · (0↑2)) = (𝐷 · 0)
177mul01d 11031 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 · 0) = 0)
1816, 17syl5eq 2790 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 · (0↑2)) = 0)
1914, 18oveq12d 7231 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((1↑2) − (𝐷 · (0↑2))) = (1 − 0))
20 1m0e1 11951 . . . 4 (1 − 0) = 1
2119, 20eqtrdi 2794 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((1↑2) − (𝐷 · (0↑2))) = 1)
22 oveq1 7220 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (1 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
2322eqeq2d 2748 . . . . 5 (𝑎 = 1 → (1 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ↔ 1 = (1 + ((√‘𝐷) · 𝑏))))
24 oveq1 7220 . . . . . . 7 (𝑎 = 1 → (𝑎↑2) = (1↑2))
2524oveq1d 7228 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((1↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
2625eqeq1d 2739 . . . . 5 (𝑎 = 1 → (((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ ((1↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
2723, 26anbi12d 634 . . . 4 (𝑎 = 1 → ((1 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ↔ (1 = (1 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((1↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)))
28 oveq2 7221 . . . . . . 7 (𝑏 = 0 → ((√‘𝐷) · 𝑏) = ((√‘𝐷) · 0))
2928oveq2d 7229 . . . . . 6 (𝑏 = 0 → (1 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (1 + ((√‘𝐷) · 0)))
3029eqeq2d 2748 . . . . 5 (𝑏 = 0 → (1 = (1 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ↔ 1 = (1 + ((√‘𝐷) · 0))))
31 oveq1 7220 . . . . . . . 8 (𝑏 = 0 → (𝑏↑2) = (0↑2))
3231oveq2d 7229 . . . . . . 7 (𝑏 = 0 → (𝐷 · (𝑏↑2)) = (𝐷 · (0↑2)))
3332oveq2d 7229 . . . . . 6 (𝑏 = 0 → ((1↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((1↑2) − (𝐷 · (0↑2))))
3433eqeq1d 2739 . . . . 5 (𝑏 = 0 → (((1↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ ((1↑2) − (𝐷 · (0↑2))) = 1))
3530, 34anbi12d 634 . . . 4 (𝑏 = 0 → ((1 = (1 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((1↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ↔ (1 = (1 + ((√‘𝐷) · 0)) ∧ ((1↑2) − (𝐷 · (0↑2))) = 1)))
3627, 35rspc2ev 3549 . . 3 ((1 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ (1 = (1 + ((√‘𝐷) · 0)) ∧ ((1↑2) − (𝐷 · (0↑2))) = 1)) → ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (1 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
373, 5, 12, 21, 36syl112anc 1376 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (1 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
38 elpell1qr 40372 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (1 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
391, 37, 38mpbir2and 713 1 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wrex 3062  cdif 3863  cfv 6380  (class class class)co 7213  cr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  cmin 11062  cn 11830  2c2 11885  0cn0 12090  cexp 13635  csqrt 14796  NNcsquarenn 40361  Pell1QRcpell1qr 40362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-pell1qr 40367
This theorem is referenced by:  elpell1qr2  40397
  Copyright terms: Public domain W3C validator