Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1qr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pell1qr1 41912
Description: 1 is a Pell solution and in the first quadrant as one. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1qr1 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ 1 โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท))

Proof of Theorem pell1qr1
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 11220 . 2 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
2 1nn0 12493 . . . 4 1 โˆˆ โ„•0
32a1i 11 . . 3 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
4 0nn0 12492 . . . 4 0 โˆˆ โ„•0
54a1i 11 . . 3 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ 0 โˆˆ โ„•0)
6 eldifi 4126 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
76nncnd 12233 . . . . . . 7 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
87sqrtcld 15389 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
98mul01d 11418 . . . . 5 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท 0) = 0)
109oveq2d 7428 . . . 4 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (1 + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท 0)) = (1 + 0))
11 1p0e1 12341 . . . 4 (1 + 0) = 1
1210, 11eqtr2di 2788 . . 3 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ 1 = (1 + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท 0)))
13 sq1 14164 . . . . . 6 (1โ†‘2) = 1
1413a1i 11 . . . . 5 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (1โ†‘2) = 1)
15 sq0 14161 . . . . . . 7 (0โ†‘2) = 0
1615oveq2i 7423 . . . . . 6 (๐ท ยท (0โ†‘2)) = (๐ท ยท 0)
177mul01d 11418 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (๐ท ยท 0) = 0)
1816, 17eqtrid 2783 . . . . 5 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (๐ท ยท (0โ†‘2)) = 0)
1914, 18oveq12d 7430 . . . 4 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ((1โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (0โ†‘2))) = (1 โˆ’ 0))
20 1m0e1 12338 . . . 4 (1 โˆ’ 0) = 1
2119, 20eqtrdi 2787 . . 3 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ((1โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (0โ†‘2))) = 1)
22 oveq1 7419 . . . . . 6 (๐‘Ž = 1 โ†’ (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = (1 + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)))
2322eqeq2d 2742 . . . . 5 (๐‘Ž = 1 โ†’ (1 = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โ†” 1 = (1 + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘))))
24 oveq1 7419 . . . . . . 7 (๐‘Ž = 1 โ†’ (๐‘Žโ†‘2) = (1โ†‘2))
2524oveq1d 7427 . . . . . 6 (๐‘Ž = 1 โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = ((1โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))))
2625eqeq1d 2733 . . . . 5 (๐‘Ž = 1 โ†’ (((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1 โ†” ((1โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))
2723, 26anbi12d 630 . . . 4 (๐‘Ž = 1 โ†’ ((1 = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†” (1 = (1 + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((1โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)))
28 oveq2 7420 . . . . . . 7 (๐‘ = 0 โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘) = ((โˆšโ€˜๐ท) ยท 0))
2928oveq2d 7428 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ (1 + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = (1 + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท 0)))
3029eqeq2d 2742 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ (1 = (1 + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โ†” 1 = (1 + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท 0))))
31 oveq1 7419 . . . . . . . 8 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘โ†‘2) = (0โ†‘2))
3231oveq2d 7428 . . . . . . 7 (๐‘ = 0 โ†’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2)) = (๐ท ยท (0โ†‘2)))
3332oveq2d 7428 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ ((1โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = ((1โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (0โ†‘2))))
3433eqeq1d 2733 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ (((1โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1 โ†” ((1โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (0โ†‘2))) = 1))
3530, 34anbi12d 630 . . . 4 (๐‘ = 0 โ†’ ((1 = (1 + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((1โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†” (1 = (1 + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท 0)) โˆง ((1โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (0โ†‘2))) = 1)))
3627, 35rspc2ev 3624 . . 3 ((1 โˆˆ โ„•0 โˆง 0 โˆˆ โ„•0 โˆง (1 = (1 + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท 0)) โˆง ((1โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (0โ†‘2))) = 1)) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 (1 = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))
373, 5, 12, 21, 36syl112anc 1373 . 2 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 (1 = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))
38 elpell1qr 41888 . 2 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (1 โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โ†” (1 โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 (1 = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))))
391, 37, 38mpbir2and 710 1 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ 1 โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โˆƒwrex 3069   โˆ– cdif 3945  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  โ„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   ยท cmul 11118   โˆ’ cmin 11449  โ„•cn 12217  2c2 12272  โ„•0cn0 12477  โ†‘cexp 14032  โˆšcsqrt 15185  โ—ปNNcsquarenn 41877  Pell1QRcpell1qr 41878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-pell1qr 41883
This theorem is referenced by:  elpell1qr2  41913
  Copyright terms: Public domain W3C validator