Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1qr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pell1qr1 38870
Description: 1 is a Pell solution and in the first quadrant as one. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1qr1 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ (Pell1QR‘𝐷))

Proof of Theorem pell1qr1
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 10440 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ ℝ)
2 1nn0 11725 . . . 4 1 ∈ ℕ0
32a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ ℕ0)
4 0nn0 11724 . . . 4 0 ∈ ℕ0
54a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ∈ ℕ0)
6 eldifi 3993 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
76nncnd 11457 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℂ)
87sqrtcld 14658 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
98mul01d 10639 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘𝐷) · 0) = 0)
109oveq2d 6992 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1 + ((√‘𝐷) · 0)) = (1 + 0))
11 1p0e1 11571 . . . 4 (1 + 0) = 1
1210, 11syl6req 2831 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 = (1 + ((√‘𝐷) · 0)))
13 sq1 13373 . . . . . 6 (1↑2) = 1
1413a1i 11 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1↑2) = 1)
15 sq0 13370 . . . . . . 7 (0↑2) = 0
1615oveq2i 6987 . . . . . 6 (𝐷 · (0↑2)) = (𝐷 · 0)
177mul01d 10639 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 · 0) = 0)
1816, 17syl5eq 2826 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 · (0↑2)) = 0)
1914, 18oveq12d 6994 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((1↑2) − (𝐷 · (0↑2))) = (1 − 0))
20 1m0e1 11568 . . . 4 (1 − 0) = 1
2119, 20syl6eq 2830 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((1↑2) − (𝐷 · (0↑2))) = 1)
22 oveq1 6983 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (1 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
2322eqeq2d 2788 . . . . 5 (𝑎 = 1 → (1 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ↔ 1 = (1 + ((√‘𝐷) · 𝑏))))
24 oveq1 6983 . . . . . . 7 (𝑎 = 1 → (𝑎↑2) = (1↑2))
2524oveq1d 6991 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((1↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
2625eqeq1d 2780 . . . . 5 (𝑎 = 1 → (((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ ((1↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
2723, 26anbi12d 621 . . . 4 (𝑎 = 1 → ((1 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ↔ (1 = (1 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((1↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)))
28 oveq2 6984 . . . . . . 7 (𝑏 = 0 → ((√‘𝐷) · 𝑏) = ((√‘𝐷) · 0))
2928oveq2d 6992 . . . . . 6 (𝑏 = 0 → (1 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (1 + ((√‘𝐷) · 0)))
3029eqeq2d 2788 . . . . 5 (𝑏 = 0 → (1 = (1 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ↔ 1 = (1 + ((√‘𝐷) · 0))))
31 oveq1 6983 . . . . . . . 8 (𝑏 = 0 → (𝑏↑2) = (0↑2))
3231oveq2d 6992 . . . . . . 7 (𝑏 = 0 → (𝐷 · (𝑏↑2)) = (𝐷 · (0↑2)))
3332oveq2d 6992 . . . . . 6 (𝑏 = 0 → ((1↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((1↑2) − (𝐷 · (0↑2))))
3433eqeq1d 2780 . . . . 5 (𝑏 = 0 → (((1↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ ((1↑2) − (𝐷 · (0↑2))) = 1))
3530, 34anbi12d 621 . . . 4 (𝑏 = 0 → ((1 = (1 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((1↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ↔ (1 = (1 + ((√‘𝐷) · 0)) ∧ ((1↑2) − (𝐷 · (0↑2))) = 1)))
3627, 35rspc2ev 3550 . . 3 ((1 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ (1 = (1 + ((√‘𝐷) · 0)) ∧ ((1↑2) − (𝐷 · (0↑2))) = 1)) → ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (1 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
373, 5, 12, 21, 36syl112anc 1354 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (1 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
38 elpell1qr 38846 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (1 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
391, 37, 38mpbir2and 700 1 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wrex 3089  cdif 3826  cfv 6188  (class class class)co 6976  cr 10334  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   · cmul 10340  cmin 10670  cn 11439  2c2 11495  0cn0 11707  cexp 13244  csqrt 14453  NNcsquarenn 38835  Pell1QRcpell1qr 38836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-sup 8701  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-seq 13185  df-exp 13245  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-pell1qr 38841
This theorem is referenced by:  elpell1qr2  38871
  Copyright terms: Public domain W3C validator