Theorem 00ply1bas 21015

Description: Lemma for ply1basfvi 21016 and deg1fvi 24838. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
00ply1bas	⊢ ∅ = (Base‘(Poly1‘∅))

Proof of Theorem 00ply1bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 4219	. . 3 ⊢ ¬ 𝑎 ∈ ∅
2		noel 4219	. . . 4 ⊢ ¬ (𝑎‘(1o × {0})) ∈ ∅
3		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘∅) = (Poly1‘∅)
4		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Poly1‘∅)) = (Base‘(Poly1‘∅))
5		base0 16639	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
6	3, 4, 5	ply1basf 20977	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (Base‘(Poly1‘∅)) → 𝑎:(ℕ0 ↑m 1o)⟶∅)
7		0nn0 11991	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
8	7	fconst6 6568	. . . . . 6 ⊢ (1o × {0}):1o⟶ℕ0
9		nn0ex 11982	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
10		1oex 8144	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ V
11	9, 10	elmap 8481	. . . . . 6 ⊢ ((1o × {0}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↔ (1o × {0}):1o⟶ℕ0)
12	8, 11	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ (1o × {0}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o)
13		ffvelrn 6859	. . . . 5 ⊢ ((𝑎:(ℕ0 ↑m 1o)⟶∅ ∧ (1o × {0}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑎‘(1o × {0})) ∈ ∅)
14	6, 12, 13	sylancl 589	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (Base‘(Poly1‘∅)) → (𝑎‘(1o × {0})) ∈ ∅)
15	2, 14	mto 200	. . 3 ⊢ ¬ 𝑎 ∈ (Base‘(Poly1‘∅))
16	1, 15	2false 379	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ ∅ ↔ 𝑎 ∈ (Base‘(Poly1‘∅)))
17	16	eqriv 2735	1 ⊢ ∅ = (Base‘(Poly1‘∅))

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4211  {csn 4516   × cxp 5523  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  1_oc1o 8124   ↑_m cmap 8437  0cc0 10615  ℕ₀cn0 11976  Basecbs 16586  Poly₁cpl1 20952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-fz 12982  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-tset 16687  df-ple 16688  df-psr 20722  df-mpl 20724  df-opsr 20726  df-psr1 20955  df-ply1 20957

This theorem is referenced by:  ply1basfvi  21016  deg1fvi  24838