Theorem 00ply1bas 22100

Description: Lemma for ply1basfvi 22101 and deg1fvi 25966. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
00ply1bas	⊢ ∅ = (Base‘(Poly1‘∅))

Proof of Theorem 00ply1bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 4297	. . 3 ⊢ ¬ 𝑎 ∈ ∅
2		noel 4297	. . . 4 ⊢ ¬ (𝑎‘(1o × {0})) ∈ ∅
3		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘∅) = (Poly1‘∅)
4		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Poly1‘∅)) = (Base‘(Poly1‘∅))
5		base0 17160	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
6	3, 4, 5	ply1basf 22063	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (Base‘(Poly1‘∅)) → 𝑎:(ℕ0 ↑m 1o)⟶∅)
7		0nn0 12433	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
8	7	fconst6 6732	. . . . . 6 ⊢ (1o × {0}):1o⟶ℕ0
9		nn0ex 12424	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
10		1oex 8421	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ V
11	9, 10	elmap 8821	. . . . . 6 ⊢ ((1o × {0}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↔ (1o × {0}):1o⟶ℕ0)
12	8, 11	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ (1o × {0}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o)
13		ffvelcdm 7035	. . . . 5 ⊢ ((𝑎:(ℕ0 ↑m 1o)⟶∅ ∧ (1o × {0}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑎‘(1o × {0})) ∈ ∅)
14	6, 12, 13	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (Base‘(Poly1‘∅)) → (𝑎‘(1o × {0})) ∈ ∅)
15	2, 14	mto 197	. . 3 ⊢ ¬ 𝑎 ∈ (Base‘(Poly1‘∅))
16	1, 15	2false 375	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ ∅ ↔ 𝑎 ∈ (Base‘(Poly1‘∅)))
17	16	eqriv 2726	1 ⊢ ∅ = (Base‘(Poly1‘∅))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4292  {csn 4585   × cxp 5629  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  1_oc1o 8404   ↑_m cmap 8776  0cc0 11044  ℕ₀cn0 12418  Basecbs 17155  Poly₁cpl1 22037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-tset 17215  df-ple 17216  df-psr 21794  df-mpl 21796  df-opsr 21798  df-psr1 22040  df-ply1 22042

This theorem is referenced by:  ply1basfvi  22101  deg1fvi  25966