MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmulrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsmulrcl 20043
Description: A structure product of rings has closed binary operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmulrcl.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdsmulrcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdsmulrcl.t Β· = (.rβ€˜π‘Œ)
prdsmulrcl.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsmulrcl.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
prdsmulrcl.r (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Ring)
prdsmulrcl.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
prdsmulrcl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
prdsmulrcl (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡)

Proof of Theorem prdsmulrcl
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsmulrcl.y . . 3 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
2 prdsmulrcl.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
3 prdsmulrcl.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
4 prdsmulrcl.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
5 prdsmulrcl.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Ring)
65ffnd 6673 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
7 prdsmulrcl.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
8 prdsmulrcl.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
9 prdsmulrcl.t . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘Œ)
101, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9prdsmulrval 17365 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯))))
115ffvelcdmda 7039 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘₯) ∈ Ring)
123adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
134adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
146adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
157adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
16 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
171, 2, 12, 13, 14, 15, 16prdsbasprj 17362 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
188adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
191, 2, 12, 13, 14, 18, 16prdsbasprj 17362 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
20 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))
21 eqid 2733 . . . . . 6 (.rβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) = (.rβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))
2220, 21ringcl 19989 . . . . 5 (((π‘…β€˜π‘₯) ∈ Ring ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
2311, 17, 19, 22syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
2423ralrimiva 3140 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘₯)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
251, 2, 3, 4, 6prdsbasmpt 17360 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐡 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘₯)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))))
2624, 25mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐡)
2710, 26eqeltrd 2834 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   ↦ cmpt 5192   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  Xscprds 17335  Ringcrg 19972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-prds 17337  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mgp 19905  df-ring 19974
This theorem is referenced by:  prdsringd  20044
  Copyright terms: Public domain W3C validator