MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmulrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsmulrcl 20132
Description: A structure product of rings has closed binary operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmulrcl.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdsmulrcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdsmulrcl.t Β· = (.rβ€˜π‘Œ)
prdsmulrcl.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsmulrcl.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
prdsmulrcl.r (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Ring)
prdsmulrcl.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
prdsmulrcl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
prdsmulrcl (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡)

Proof of Theorem prdsmulrcl
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsmulrcl.y . . 3 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
2 prdsmulrcl.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
3 prdsmulrcl.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
4 prdsmulrcl.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
5 prdsmulrcl.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Ring)
65ffnd 6718 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
7 prdsmulrcl.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
8 prdsmulrcl.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
9 prdsmulrcl.t . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘Œ)
101, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9prdsmulrval 17420 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯))))
115ffvelcdmda 7086 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘₯) ∈ Ring)
123adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
134adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
146adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
157adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
16 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
171, 2, 12, 13, 14, 15, 16prdsbasprj 17417 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
188adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
191, 2, 12, 13, 14, 18, 16prdsbasprj 17417 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
20 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))
21 eqid 2732 . . . . . 6 (.rβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) = (.rβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))
2220, 21ringcl 20072 . . . . 5 (((π‘…β€˜π‘₯) ∈ Ring ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
2311, 17, 19, 22syl3anc 1371 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
2423ralrimiva 3146 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘₯)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
251, 2, 3, 4, 6prdsbasmpt 17415 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐡 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘₯)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))))
2624, 25mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)(.rβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐡)
2710, 26eqeltrd 2833 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   ↦ cmpt 5231   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  Xscprds 17390  Ringcrg 20055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-prds 17392  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mgp 19987  df-ring 20057
This theorem is referenced by:  prdsringd  20133
  Copyright terms: Public domain W3C validator