Theorem prdsmulrngcl 20147

Description: Closure of the multiplication in a structure product of non-unital rings. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) Generalization of prdsmulrcl 20290. (Revised by AV, 21-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsmulrngcl.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsmulrngcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsmulrngcl.t	⊢ · = (.r‘𝑌)
prdsmulrngcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsmulrngcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsmulrngcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Rng)
prdsmulrngcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
prdsmulrngcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prdsmulrngcl	⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem prdsmulrngcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsmulrngcl.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsmulrngcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsmulrngcl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsmulrngcl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		prdsmulrngcl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Rng)
6	5	ffnd 6656	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
7		prdsmulrngcl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
8		prdsmulrngcl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
9		prdsmulrngcl.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑌)
10	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9	prdsmulrval 17429	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))
11	5	ffvelcdmda 7025	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑥) ∈ Rng)
12	3	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
13	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
14	6	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
15	7	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ 𝐵)
16		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
17	1, 2, 12, 13, 14, 15, 16	prdsbasprj 17426	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
18	8	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ 𝐵)
19	1, 2, 12, 13, 14, 18, 16	prdsbasprj 17426	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
20		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(𝑅‘𝑥))
21		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(𝑅‘𝑥)) = (.r‘(𝑅‘𝑥))
22	20, 21	rngcl 20136	. . . . 5 ⊢ (((𝑅‘𝑥) ∈ Rng ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥))) → ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
23	11, 17, 19, 22	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
24	23	ralrimiva 3131	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
25	1, 2, 3, 4, 6	prdsbasmpt 17424	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥))))
26	24, 25	mpbird 258	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) ∈ 𝐵)
27	10, 26	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053   ↦ cmpt 5153   Fn wfn 6480  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  X_scprds 17399  Rngcrng 20124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-prds 17401  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mgp 20113  df-rng 20125

This theorem is referenced by:  prdsrngd  20148  prdsmulrcl  20290