![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > prdsmulrngcl | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Closure of the multiplication in a structure product of non-unital rings. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) Generalization of prdsmulrcl 20255. (Revised by AV, 21-Feb-2025.) |
Ref | Expression |
---|---|
prdsmulrngcl.y | โข ๐ = (๐Xs๐ ) |
prdsmulrngcl.b | โข ๐ต = (Baseโ๐) |
prdsmulrngcl.t | โข ยท = (.rโ๐) |
prdsmulrngcl.s | โข (๐ โ ๐ โ ๐) |
prdsmulrngcl.i | โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) |
prdsmulrngcl.r | โข (๐ โ ๐ :๐ผโถRng) |
prdsmulrngcl.f | โข (๐ โ ๐น โ ๐ต) |
prdsmulrngcl.g | โข (๐ โ ๐บ โ ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
prdsmulrngcl | โข (๐ โ (๐น ยท ๐บ) โ ๐ต) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | prdsmulrngcl.y | . . 3 โข ๐ = (๐Xs๐ ) | |
2 | prdsmulrngcl.b | . . 3 โข ๐ต = (Baseโ๐) | |
3 | prdsmulrngcl.s | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ ๐) | |
4 | prdsmulrngcl.i | . . 3 โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) | |
5 | prdsmulrngcl.r | . . . 4 โข (๐ โ ๐ :๐ผโถRng) | |
6 | 5 | ffnd 6718 | . . 3 โข (๐ โ ๐ Fn ๐ผ) |
7 | prdsmulrngcl.f | . . 3 โข (๐ โ ๐น โ ๐ต) | |
8 | prdsmulrngcl.g | . . 3 โข (๐ โ ๐บ โ ๐ต) | |
9 | prdsmulrngcl.t | . . 3 โข ยท = (.rโ๐) | |
10 | 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 | prdsmulrval 17451 | . 2 โข (๐ โ (๐น ยท ๐บ) = (๐ฅ โ ๐ผ โฆ ((๐นโ๐ฅ)(.rโ(๐ โ๐ฅ))(๐บโ๐ฅ)))) |
11 | 5 | ffvelcdmda 7087 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ผ) โ (๐ โ๐ฅ) โ Rng) |
12 | 3 | adantr 479 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ผ) โ ๐ โ ๐) |
13 | 4 | adantr 479 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ผ) โ ๐ผ โ ๐) |
14 | 6 | adantr 479 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ผ) โ ๐ Fn ๐ผ) |
15 | 7 | adantr 479 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ผ) โ ๐น โ ๐ต) |
16 | simpr 483 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ผ) โ ๐ฅ โ ๐ผ) | |
17 | 1, 2, 12, 13, 14, 15, 16 | prdsbasprj 17448 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ผ) โ (๐นโ๐ฅ) โ (Baseโ(๐ โ๐ฅ))) |
18 | 8 | adantr 479 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ผ) โ ๐บ โ ๐ต) |
19 | 1, 2, 12, 13, 14, 18, 16 | prdsbasprj 17448 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ผ) โ (๐บโ๐ฅ) โ (Baseโ(๐ โ๐ฅ))) |
20 | eqid 2725 | . . . . . 6 โข (Baseโ(๐ โ๐ฅ)) = (Baseโ(๐ โ๐ฅ)) | |
21 | eqid 2725 | . . . . . 6 โข (.rโ(๐ โ๐ฅ)) = (.rโ(๐ โ๐ฅ)) | |
22 | 20, 21 | rngcl 20103 | . . . . 5 โข (((๐ โ๐ฅ) โ Rng โง (๐นโ๐ฅ) โ (Baseโ(๐ โ๐ฅ)) โง (๐บโ๐ฅ) โ (Baseโ(๐ โ๐ฅ))) โ ((๐นโ๐ฅ)(.rโ(๐ โ๐ฅ))(๐บโ๐ฅ)) โ (Baseโ(๐ โ๐ฅ))) |
23 | 11, 17, 19, 22 | syl3anc 1368 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ผ) โ ((๐นโ๐ฅ)(.rโ(๐ โ๐ฅ))(๐บโ๐ฅ)) โ (Baseโ(๐ โ๐ฅ))) |
24 | 23 | ralrimiva 3136 | . . 3 โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ผ ((๐นโ๐ฅ)(.rโ(๐ โ๐ฅ))(๐บโ๐ฅ)) โ (Baseโ(๐ โ๐ฅ))) |
25 | 1, 2, 3, 4, 6 | prdsbasmpt 17446 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ฅ โ ๐ผ โฆ ((๐นโ๐ฅ)(.rโ(๐ โ๐ฅ))(๐บโ๐ฅ))) โ ๐ต โ โ๐ฅ โ ๐ผ ((๐นโ๐ฅ)(.rโ(๐ โ๐ฅ))(๐บโ๐ฅ)) โ (Baseโ(๐ โ๐ฅ)))) |
26 | 24, 25 | mpbird 256 | . 2 โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ผ โฆ ((๐นโ๐ฅ)(.rโ(๐ โ๐ฅ))(๐บโ๐ฅ))) โ ๐ต) |
27 | 10, 26 | eqeltrd 2825 | 1 โข (๐ โ (๐น ยท ๐บ) โ ๐ต) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwral 3051 โฆ cmpt 5227 Fn wfn 6538 โถwf 6539 โcfv 6543 (class class class)co 7413 Basecbs 17174 .rcmulr 17228 Xscprds 17421 Rngcrng 20091 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5281 ax-sep 5295 ax-nul 5302 ax-pow 5360 ax-pr 5424 ax-un 7735 ax-cnex 11189 ax-resscn 11190 ax-1cn 11191 ax-icn 11192 ax-addcl 11193 ax-addrcl 11194 ax-mulcl 11195 ax-mulrcl 11196 ax-mulcom 11197 ax-addass 11198 ax-mulass 11199 ax-distr 11200 ax-i2m1 11201 ax-1ne0 11202 ax-1rid 11203 ax-rnegex 11204 ax-rrecex 11205 ax-cnre 11206 ax-pre-lttri 11207 ax-pre-lttrn 11208 ax-pre-ltadd 11209 ax-pre-mulgt0 11210 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3961 df-nul 4320 df-if 4526 df-pw 4601 df-sn 4626 df-pr 4628 df-tp 4630 df-op 4632 df-uni 4905 df-iun 4994 df-br 5145 df-opab 5207 df-mpt 5228 df-tr 5262 df-id 5571 df-eprel 5577 df-po 5585 df-so 5586 df-fr 5628 df-we 5630 df-xp 5679 df-rel 5680 df-cnv 5681 df-co 5682 df-dm 5683 df-rn 5684 df-res 5685 df-ima 5686 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7369 df-ov 7416 df-oprab 7417 df-mpo 7418 df-om 7866 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-1o 8480 df-er 8718 df-map 8840 df-ixp 8910 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-fin 8961 df-sup 9460 df-pnf 11275 df-mnf 11276 df-xr 11277 df-ltxr 11278 df-le 11279 df-sub 11471 df-neg 11472 df-nn 12238 df-2 12300 df-3 12301 df-4 12302 df-5 12303 df-6 12304 df-7 12305 df-8 12306 df-9 12307 df-n0 12498 df-z 12584 df-dec 12703 df-uz 12848 df-fz 13512 df-struct 17110 df-sets 17127 df-slot 17145 df-ndx 17157 df-base 17175 df-plusg 17240 df-mulr 17241 df-sca 17243 df-vsca 17244 df-ip 17245 df-tset 17246 df-ple 17247 df-ds 17249 df-hom 17251 df-cco 17252 df-prds 17423 df-mgm 18594 df-sgrp 18673 df-mgp 20074 df-rng 20092 |
This theorem is referenced by: prdsrngd 20115 prdsmulrcl 20255 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |