Theorem prdsmulrngcl 20333

Description: Closure of the multiplication in a structure product of non-unital rings. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) Generalization of prdsmulrcl 20485. (Revised by AV, 21-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsmulrngcl.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsmulrngcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsmulrngcl.t	⊢ · = (.r‘𝑌)
prdsmulrngcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsmulrngcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsmulrngcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Rng)
prdsmulrngcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
prdsmulrngcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prdsmulrngcl	⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem prdsmulrngcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsmulrngcl.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsmulrngcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsmulrngcl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsmulrngcl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		prdsmulrngcl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Rng)
6	5	ffnd 6705	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
7		prdsmulrngcl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
8		prdsmulrngcl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
9		prdsmulrngcl.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑌)
10	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9	prdsmulrval 17582	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))
11	5	ffvelcdmda 7079	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑥) ∈ Rng)
12	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
13	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
14	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
15	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ 𝐵)
16		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
17	1, 2, 12, 13, 14, 15, 16	prdsbasprj 17579	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
18	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ 𝐵)
19	1, 2, 12, 13, 14, 18, 16	prdsbasprj 17579	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
20		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(𝑅‘𝑥))
21		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(𝑅‘𝑥)) = (.r‘(𝑅‘𝑥))
22	20, 21	rngcl 20322	. . . . 5 ⊢ (((𝑅‘𝑥) ∈ Rng ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥))) → ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
23	11, 17, 19, 22	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
24	23	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
25	1, 2, 3, 4, 6	prdsbasmpt 17577	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥))))
26	24, 25	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) ∈ 𝐵)
27	10, 26	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ↦ cmpt 5186   Fn wfn 6529  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7415  Basecbs 17323  ._rcmulr 17365  X_scprds 17552  Rngcrng 20310

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7738  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7372  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8282  df-wrecs 8313  df-recs 8362  df-rdg 8401  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11489  df-neg 11490  df-nn 12280  df-2 12349  df-3 12350  df-4 12351  df-5 12352  df-6 12353  df-7 12354  df-8 12355  df-9 12356  df-n0 12551  df-z 12638  df-dec 12759  df-uz 12910  df-fz 13584  df-struct 17261  df-sets 17278  df-slot 17296  df-ndx 17308  df-base 17324  df-plusg 17377  df-mulr 17378  df-sca 17380  df-vsca 17381  df-ip 17382  df-tset 17383  df-ple 17384  df-ds 17386  df-hom 17388  df-cco 17389  df-prds 17554  df-mgm 18752  df-sgrp 18844  df-mgp 20297  df-rng 20311

This theorem is used by:  prdsrngd  20334  prdsmulrcl  20485