MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmulrngcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsmulrngcl 20114
Description: Closure of the multiplication in a structure product of non-unital rings. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) Generalization of prdsmulrcl 20255. (Revised by AV, 21-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmulrngcl.y ๐‘Œ = (๐‘†Xs๐‘…)
prdsmulrngcl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘Œ)
prdsmulrngcl.t ยท = (.rโ€˜๐‘Œ)
prdsmulrngcl.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ ๐‘‰)
prdsmulrngcl.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
prdsmulrngcl.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘…:๐ผโŸถRng)
prdsmulrngcl.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐ต)
prdsmulrngcl.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
prdsmulrngcl (๐œ‘ โ†’ (๐น ยท ๐บ) โˆˆ ๐ต)

Proof of Theorem prdsmulrngcl
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsmulrngcl.y . . 3 ๐‘Œ = (๐‘†Xs๐‘…)
2 prdsmulrngcl.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘Œ)
3 prdsmulrngcl.s . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ ๐‘‰)
4 prdsmulrngcl.i . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
5 prdsmulrngcl.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘…:๐ผโŸถRng)
65ffnd 6718 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… Fn ๐ผ)
7 prdsmulrngcl.f . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐ต)
8 prdsmulrngcl.g . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ ๐ต)
9 prdsmulrngcl.t . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘Œ)
101, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9prdsmulrval 17451 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐น ยท ๐บ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))(๐บโ€˜๐‘ฅ))))
115ffvelcdmda 7087 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ Rng)
123adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐‘† โˆˆ ๐‘‰)
134adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
146adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐‘… Fn ๐ผ)
157adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐น โˆˆ ๐ต)
16 simpr 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ)
171, 2, 12, 13, 14, 15, 16prdsbasprj 17448 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ)))
188adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐บ โˆˆ ๐ต)
191, 2, 12, 13, 14, 18, 16prdsbasprj 17448 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ)))
20 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ)) = (Baseโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))
21 eqid 2725 . . . . . 6 (.rโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ)) = (.rโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))
2220, 21rngcl 20103 . . . . 5 (((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ Rng โˆง (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ)) โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))(๐บโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ)))
2311, 17, 19, 22syl3anc 1368 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))(๐บโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ)))
2423ralrimiva 3136 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))(๐บโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ)))
251, 2, 3, 4, 6prdsbasmpt 17446 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))(๐บโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ ๐ต โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))(๐บโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))))
2624, 25mpbird 256 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))(๐บโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ ๐ต)
2710, 26eqeltrd 2825 1 (๐œ‘ โ†’ (๐น ยท ๐บ) โˆˆ ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3051   โ†ฆ cmpt 5227   Fn wfn 6538  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17174  .rcmulr 17228  Xscprds 17421  Rngcrng 20091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-prds 17423  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mgp 20074  df-rng 20092
This theorem is referenced by:  prdsrngd  20115  prdsmulrcl  20255
  Copyright terms: Public domain W3C validator