Theorem prjspval2 43907

Description: Alternate definition of projective space. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjspval2.0	⊢ 0 = (0g‘𝑉)
prjspval2.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ { 0 })
prjspval2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑉)

Assertion

Ref	Expression
prjspval2	⊢ (𝑉 ∈ LVec → (ℙroj‘𝑉) = ∪ 𝑧 ∈ 𝐵 {((𝑁‘{𝑧}) ∖ { 0 })})

Distinct variable groups:   𝑧,𝑉   𝑧,𝐵

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑧)   0 (𝑧)

Proof of Theorem prjspval2

Dummy variables 𝑥 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjspval2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ { 0 })
2		prjspval2.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑉)
3	2	sneqi 4595	. . . . 5 ⊢ { 0 } = {(0g‘𝑉)}
4	3	difeq2i 4063	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑉) ∖ { 0 }) = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
5	1, 4	eqtri 2786	. . 3 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
6		eqid 2763	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑉) = ( ·𝑠 ‘𝑉)
7		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑉) = (Scalar‘𝑉)
8		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑉)) = (Base‘(Scalar‘𝑉))
9	5, 6, 7, 8	prjspval 43897	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (ℙroj‘𝑉) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}))
10		dfqs3 43557	. . 3 ⊢ (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}) = ∪ 𝑧 ∈ 𝐵 {[𝑧]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}}
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}) = ∪ 𝑧 ∈ 𝐵 {[𝑧]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}})
12		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}
13		prjspval2.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑉)
14	12, 5, 7, 6, 8, 13	prjspeclsp 43906	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → [𝑧]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))} = ((𝑁‘{𝑧}) ∖ {(0g‘𝑉)}))
15	3	difeq2i 4063	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘{𝑧}) ∖ { 0 }) = ((𝑁‘{𝑧}) ∖ {(0g‘𝑉)})
16	14, 15	eqtr4di 2816	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → [𝑧]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))} = ((𝑁‘{𝑧}) ∖ { 0 }))
17	16	sneqd 4596	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → {[𝑧]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}} = {((𝑁‘{𝑧}) ∖ { 0 })})
18	17	iuneq2dv 4981	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → ∪ 𝑧 ∈ 𝐵 {[𝑧]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}} = ∪ 𝑧 ∈ 𝐵 {((𝑁‘{𝑧}) ∖ { 0 })})
19	9, 11, 18	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (ℙroj‘𝑉) = ∪ 𝑧 ∈ 𝐵 {((𝑁‘{𝑧}) ∖ { 0 })})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   ∖ cdif 4048  {csn 4588  ∪ ciun 4956  {copab 5173  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  [cec 8753   / cqs 8754  Basecbs 17431  Scalarcsca 17475   ·_𝑠 cvsca 17476  0_gc0g 17660  LSpanclspn 21297  LVecclvec 21428  ℙrojcprjsp 43895

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-ec 8757  df-qs 8761  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-drng 21033  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-lvec 21429  df-prjsp 43896

This theorem is used by: (None)