Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjspval2 41657
Description: Alternate definition of projective space. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjspval2.0 0 = (0gβ€˜π‘‰)
prjspval2.b 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– { 0 })
prjspval2.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘‰)
Assertion
Ref Expression
prjspval2 (𝑉 ∈ LVec β†’ (β„™π•£π• π•›β€˜π‘‰) = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝐡 {((π‘β€˜{𝑧}) βˆ– { 0 })})
Distinct variable groups:   𝑧,𝑉   𝑧,𝐡
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑧)   0 (𝑧)

Proof of Theorem prjspval2
Dummy variables π‘₯ 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prjspval2.b . . . 4 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– { 0 })
2 prjspval2.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘‰)
32sneqi 4638 . . . . 5 { 0 } = {(0gβ€˜π‘‰)}
43difeq2i 4118 . . . 4 ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– { 0 }) = ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)})
51, 4eqtri 2758 . . 3 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)})
6 eqid 2730 . . 3 ( ·𝑠 β€˜π‘‰) = ( ·𝑠 β€˜π‘‰)
7 eqid 2730 . . 3 (Scalarβ€˜π‘‰) = (Scalarβ€˜π‘‰)
8 eqid 2730 . . 3 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‰)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‰))
95, 6, 7, 8prjspval 41647 . 2 (𝑉 ∈ LVec β†’ (β„™π•£π• π•›β€˜π‘‰) = (𝐡 / {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‰))π‘₯ = (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘‰)𝑦))}))
10 dfqs3 41366 . . 3 (𝐡 / {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‰))π‘₯ = (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘‰)𝑦))}) = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝐡 {[𝑧]{⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‰))π‘₯ = (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘‰)𝑦))}}
1110a1i 11 . 2 (𝑉 ∈ LVec β†’ (𝐡 / {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‰))π‘₯ = (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘‰)𝑦))}) = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝐡 {[𝑧]{⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‰))π‘₯ = (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘‰)𝑦))}})
12 eqid 2730 . . . . . 6 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‰))π‘₯ = (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘‰)𝑦))} = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‰))π‘₯ = (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘‰)𝑦))}
13 prjspval2.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘‰)
1412, 5, 7, 6, 8, 13prjspeclsp 41656 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ [𝑧]{⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‰))π‘₯ = (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘‰)𝑦))} = ((π‘β€˜{𝑧}) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}))
153difeq2i 4118 . . . . 5 ((π‘β€˜{𝑧}) βˆ– { 0 }) = ((π‘β€˜{𝑧}) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)})
1614, 15eqtr4di 2788 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ [𝑧]{⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‰))π‘₯ = (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘‰)𝑦))} = ((π‘β€˜{𝑧}) βˆ– { 0 }))
1716sneqd 4639 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ {[𝑧]{⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‰))π‘₯ = (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘‰)𝑦))}} = {((π‘β€˜{𝑧}) βˆ– { 0 })})
1817iuneq2dv 5020 . 2 (𝑉 ∈ LVec β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝐡 {[𝑧]{⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‰))π‘₯ = (𝑙( ·𝑠 β€˜π‘‰)𝑦))}} = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝐡 {((π‘β€˜{𝑧}) βˆ– { 0 })})
199, 11, 183eqtrd 2774 1 (𝑉 ∈ LVec β†’ (β„™π•£π• π•›β€˜π‘‰) = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝐡 {((π‘β€˜{𝑧}) βˆ– { 0 })})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068   βˆ– cdif 3944  {csn 4627  βˆͺ ciun 4996  {copab 5209  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  [cec 8703   / cqs 8704  Basecbs 17148  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  0gc0g 17389  LSpanclspn 20726  LVecclvec 20857  β„™π•£π• π•›cprjsp 41645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858  df-prjsp 41646
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator