Theorem prjspval2 43459

Description: Alternate definition of projective space. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjspval2.0	⊢ 0 = (0g‘𝑉)
prjspval2.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ { 0 })
prjspval2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑉)

Assertion

Ref	Expression
prjspval2	⊢ (𝑉 ∈ LVec → (ℙ𝕣𝕠𝕛‘𝑉) = ∪ 𝑧 ∈ 𝐵 {((𝑁‘{𝑧}) ∖ { 0 })})

Distinct variable groups:   𝑧,𝑉   𝑧,𝐵

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑧)   0 (𝑧)

Proof of Theorem prjspval2

Dummy variables 𝑥 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjspval2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ { 0 })
2		prjspval2.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑉)
3	2	sneqi 4595	. . . . 5 ⊢ { 0 } = {(0g‘𝑉)}
4	3	difeq2i 4071	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑉) ∖ { 0 }) = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
5	1, 4	eqtri 2783	. . 3 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
6		eqid 2760	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑉) = ( ·𝑠 ‘𝑉)
7		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑉) = (Scalar‘𝑉)
8		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑉)) = (Base‘(Scalar‘𝑉))
9	5, 6, 7, 8	prjspval 43449	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (ℙ𝕣𝕠𝕛‘𝑉) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}))
10		dfqs3 43106	. . 3 ⊢ (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}) = ∪ 𝑧 ∈ 𝐵 {[𝑧]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}}
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}) = ∪ 𝑧 ∈ 𝐵 {[𝑧]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}})
12		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}
13		prjspval2.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑉)
14	12, 5, 7, 6, 8, 13	prjspeclsp 43458	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → [𝑧]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))} = ((𝑁‘{𝑧}) ∖ {(0g‘𝑉)}))
15	3	difeq2i 4071	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘{𝑧}) ∖ { 0 }) = ((𝑁‘{𝑧}) ∖ {(0g‘𝑉)})
16	14, 15	eqtr4di 2813	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → [𝑧]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))} = ((𝑁‘{𝑧}) ∖ { 0 }))
17	16	sneqd 4596	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → {[𝑧]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}} = {((𝑁‘{𝑧}) ∖ { 0 })})
18	17	iuneq2dv 4976	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → ∪ 𝑧 ∈ 𝐵 {[𝑧]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}} = ∪ 𝑧 ∈ 𝐵 {((𝑁‘{𝑧}) ∖ { 0 })})
19	9, 11, 18	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (ℙ𝕣𝕠𝕛‘𝑉) = ∪ 𝑧 ∈ 𝐵 {((𝑁‘{𝑧}) ∖ { 0 })})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3896  {csn 4584  ∪ ciun 4951  {copab 5167  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  [cec 8694   / cqs 8695  Basecbs 17301  Scalarcsca 17345   ·_𝑠 cvsca 17346  0_gc0g 17524  LSpanclspn 21155  LVecclvec 21286  ℙ𝕣𝕠𝕛cprjsp 43447

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-oppr 20478  df-dvdsr 20498  df-unit 20499  df-invr 20529  df-drng 20892  df-lmod 21046  df-lss 21116  df-lsp 21156  df-lvec 21287  df-prjsp 43448

This theorem is used by: (None)