Theorem prjspval2 42608

Description: Alternate definition of projective space. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjspval2.0	⊢ 0 = (0g‘𝑉)
prjspval2.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ { 0 })
prjspval2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑉)

Assertion

Ref	Expression
prjspval2	⊢ (𝑉 ∈ LVec → (ℙ𝕣𝕠𝕛‘𝑉) = ∪ 𝑧 ∈ 𝐵 {((𝑁‘{𝑧}) ∖ { 0 })})

Distinct variable groups:   𝑧,𝑉   𝑧,𝐵

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑧)   0 (𝑧)

Proof of Theorem prjspval2

Dummy variables 𝑥 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjspval2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ { 0 })
2		prjspval2.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑉)
3	2	sneqi 4603	. . . . 5 ⊢ { 0 } = {(0g‘𝑉)}
4	3	difeq2i 4089	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑉) ∖ { 0 }) = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
5	1, 4	eqtri 2753	. . 3 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
6		eqid 2730	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑉) = ( ·𝑠 ‘𝑉)
7		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑉) = (Scalar‘𝑉)
8		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑉)) = (Base‘(Scalar‘𝑉))
9	5, 6, 7, 8	prjspval 42598	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (ℙ𝕣𝕠𝕛‘𝑉) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}))
10		dfqs3 42233	. . 3 ⊢ (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}) = ∪ 𝑧 ∈ 𝐵 {[𝑧]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}}
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}) = ∪ 𝑧 ∈ 𝐵 {[𝑧]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}})
12		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}
13		prjspval2.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑉)
14	12, 5, 7, 6, 8, 13	prjspeclsp 42607	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → [𝑧]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))} = ((𝑁‘{𝑧}) ∖ {(0g‘𝑉)}))
15	3	difeq2i 4089	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘{𝑧}) ∖ { 0 }) = ((𝑁‘{𝑧}) ∖ {(0g‘𝑉)})
16	14, 15	eqtr4di 2783	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → [𝑧]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))} = ((𝑁‘{𝑧}) ∖ { 0 }))
17	16	sneqd 4604	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → {[𝑧]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}} = {((𝑁‘{𝑧}) ∖ { 0 })})
18	17	iuneq2dv 4983	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → ∪ 𝑧 ∈ 𝐵 {[𝑧]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}} = ∪ 𝑧 ∈ 𝐵 {((𝑁‘{𝑧}) ∖ { 0 })})
19	9, 11, 18	3eqtrd 2769	1 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (ℙ𝕣𝕠𝕛‘𝑉) = ∪ 𝑧 ∈ 𝐵 {((𝑁‘{𝑧}) ∖ { 0 })})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   ∖ cdif 3914  {csn 4592  ∪ ciun 4958  {copab 5172  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  [cec 8672   / cqs 8673  Basecbs 17186  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231  0_gc0g 17409  LSpanclspn 20884  LVecclvec 21016  ℙ𝕣𝕠𝕛cprjsp 42596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-ec 8676  df-qs 8680  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-drng 20647  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-lvec 21017  df-prjsp 42597

This theorem is referenced by: (None)