Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjspval2 42600
Description: Alternate definition of projective space. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjspval2.0 0 = (0g𝑉)
prjspval2.b 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ { 0 })
prjspval2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑉)
Assertion
Ref Expression
prjspval2 (𝑉 ∈ LVec → (ℙ𝕣𝕠𝕛‘𝑉) = 𝑧𝐵 {((𝑁‘{𝑧}) ∖ { 0 })})
Distinct variable groups:   𝑧,𝑉   𝑧,𝐵
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑧)   0 (𝑧)

Proof of Theorem prjspval2
Dummy variables 𝑥 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prjspval2.b . . . 4 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ { 0 })
2 prjspval2.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑉)
32sneqi 4642 . . . . 5 { 0 } = {(0g𝑉)}
43difeq2i 4133 . . . 4 ((Base‘𝑉) ∖ { 0 }) = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
51, 4eqtri 2763 . . 3 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
6 eqid 2735 . . 3 ( ·𝑠𝑉) = ( ·𝑠𝑉)
7 eqid 2735 . . 3 (Scalar‘𝑉) = (Scalar‘𝑉)
8 eqid 2735 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝑉)) = (Base‘(Scalar‘𝑉))
95, 6, 7, 8prjspval 42590 . 2 (𝑉 ∈ LVec → (ℙ𝕣𝕠𝕛‘𝑉) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑉)𝑦))}))
10 dfqs3 42258 . . 3 (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑉)𝑦))}) = 𝑧𝐵 {[𝑧]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑉)𝑦))}}
1110a1i 11 . 2 (𝑉 ∈ LVec → (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑉)𝑦))}) = 𝑧𝐵 {[𝑧]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑉)𝑦))}})
12 eqid 2735 . . . . . 6 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑉)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑉)𝑦))}
13 prjspval2.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑉)
1412, 5, 7, 6, 8, 13prjspeclsp 42599 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑧𝐵) → [𝑧]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑉)𝑦))} = ((𝑁‘{𝑧}) ∖ {(0g𝑉)}))
153difeq2i 4133 . . . . 5 ((𝑁‘{𝑧}) ∖ { 0 }) = ((𝑁‘{𝑧}) ∖ {(0g𝑉)})
1614, 15eqtr4di 2793 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑧𝐵) → [𝑧]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑉)𝑦))} = ((𝑁‘{𝑧}) ∖ { 0 }))
1716sneqd 4643 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑧𝐵) → {[𝑧]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑉)𝑦))}} = {((𝑁‘{𝑧}) ∖ { 0 })})
1817iuneq2dv 5021 . 2 (𝑉 ∈ LVec → 𝑧𝐵 {[𝑧]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑉)𝑦))}} = 𝑧𝐵 {((𝑁‘{𝑧}) ∖ { 0 })})
199, 11, 183eqtrd 2779 1 (𝑉 ∈ LVec → (ℙ𝕣𝕠𝕛‘𝑉) = 𝑧𝐵 {((𝑁‘{𝑧}) ∖ { 0 })})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  cdif 3960  {csn 4631   ciun 4996  {copab 5210  cfv 6563  (class class class)co 7431  [cec 8742   / cqs 8743  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17486  LSpanclspn 20987  LVecclvec 21119  ℙ𝕣𝕠𝕛cprjsp 42588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-prjsp 42589
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator