Theorem prjspval2 42586

Description: Alternate definition of projective space. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjspval2.0	⊢ 0 = (0g‘𝑉)
prjspval2.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ { 0 })
prjspval2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑉)

Assertion

Ref	Expression
prjspval2	⊢ (𝑉 ∈ LVec → (ℙ𝕣𝕠𝕛‘𝑉) = ∪ 𝑧 ∈ 𝐵 {((𝑁‘{𝑧}) ∖ { 0 })})

Distinct variable groups:   𝑧,𝑉   𝑧,𝐵

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑧)   0 (𝑧)

Proof of Theorem prjspval2

Dummy variables 𝑥 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjspval2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ { 0 })
2		prjspval2.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑉)
3	2	sneqi 4590	. . . . 5 ⊢ { 0 } = {(0g‘𝑉)}
4	3	difeq2i 4076	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑉) ∖ { 0 }) = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
5	1, 4	eqtri 2752	. . 3 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
6		eqid 2729	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑉) = ( ·𝑠 ‘𝑉)
7		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑉) = (Scalar‘𝑉)
8		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑉)) = (Base‘(Scalar‘𝑉))
9	5, 6, 7, 8	prjspval 42576	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (ℙ𝕣𝕠𝕛‘𝑉) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}))
10		dfqs3 42211	. . 3 ⊢ (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}) = ∪ 𝑧 ∈ 𝐵 {[𝑧]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}}
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}) = ∪ 𝑧 ∈ 𝐵 {[𝑧]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}})
12		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}
13		prjspval2.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑉)
14	12, 5, 7, 6, 8, 13	prjspeclsp 42585	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → [𝑧]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))} = ((𝑁‘{𝑧}) ∖ {(0g‘𝑉)}))
15	3	difeq2i 4076	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘{𝑧}) ∖ { 0 }) = ((𝑁‘{𝑧}) ∖ {(0g‘𝑉)})
16	14, 15	eqtr4di 2782	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → [𝑧]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))} = ((𝑁‘{𝑧}) ∖ { 0 }))
17	16	sneqd 4591	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → {[𝑧]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}} = {((𝑁‘{𝑧}) ∖ { 0 })})
18	17	iuneq2dv 4969	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → ∪ 𝑧 ∈ 𝐵 {[𝑧]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑉)𝑦))}} = ∪ 𝑧 ∈ 𝐵 {((𝑁‘{𝑧}) ∖ { 0 })})
19	9, 11, 18	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (ℙ𝕣𝕠𝕛‘𝑉) = ∪ 𝑧 ∈ 𝐵 {((𝑁‘{𝑧}) ∖ { 0 })})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3902  {csn 4579  ∪ ciun 4944  {copab 5157  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  [cec 8630   / cqs 8631  Basecbs 17138  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183  0_gc0g 17361  LSpanclspn 20892  LVecclvec 21024  ℙ𝕣𝕠𝕛cprjsp 42574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-ec 8634  df-qs 8638  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-unit 20261  df-invr 20291  df-drng 20634  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-lsp 20893  df-lvec 21025  df-prjsp 42575

This theorem is referenced by: (None)