Theorem prmdvdsfz 16874

Description: Each integer greater than 1 and less than or equal to a fixed number is divisible by a prime less than or equal to this fixed number. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsfz	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼))

Distinct variable groups:   𝐼,𝑝   𝑁,𝑝

Proof of Theorem prmdvdsfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13645	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘2))
2	1	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘2))
3		exprmfct 16873	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐼)
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐼)
5		prmz 16843	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
6		eluz2nn 13008	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐼 ∈ ℕ)
7	1, 6	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℕ)
8	7	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ)
9		dvdsle 16473	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ 𝐼 → 𝑝 ≤ 𝐼))
10	5, 8, 9	syl2anr 609	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝐼 → 𝑝 ≤ 𝐼))
11		elfzle2 13654	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ≤ 𝑁)
12	11	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐼 ≤ 𝑁)
13	5	zred 12796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
14	13	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ)
15		elfzelz 13649	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
16	15	zred 12796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℝ)
17	16	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐼 ∈ ℝ)
18		nnre 12335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
19	18	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
20		letr 11397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑝 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 ≤ 𝑁) → 𝑝 ≤ 𝑁))
21	14, 17, 19, 20	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 ≤ 𝑁) → 𝑝 ≤ 𝑁))
22	12, 21	mpan2d 707	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≤ 𝐼 → 𝑝 ≤ 𝑁))
23	10, 22	syld 48	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝐼 → 𝑝 ≤ 𝑁))
24	23	ancrd 561	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝐼 → (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)))
25	24	reximdva 3176	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐼 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)))
26	4, 25	mpd 16	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℝcr 11192   ≤ cle 11337  ℕcn 12328  2c2 12390  ℤcz 12686  ℤ_≥cuz 12958  ...cfz 13632   ∥ cdvds 16415  ℙcprime 16839

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-dvds 16416  df-prm 16840

This theorem is used by:  prmdvdsprmop  17214