Theorem prmdvdsfz 16632

Description: Each integer greater than 1 and less than or equal to a fixed number is divisible by a prime less than or equal to this fixed number. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsfz	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼))

Distinct variable groups:   𝐼,𝑝   𝑁,𝑝

Proof of Theorem prmdvdsfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13436	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘2))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘2))
3		exprmfct 16631	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐼)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐼)
5		prmz 16602	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
6		eluz2nn 12801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐼 ∈ ℕ)
7	1, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℕ)
8	7	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ)
9		dvdsle 16237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ 𝐼 → 𝑝 ≤ 𝐼))
10	5, 8, 9	syl2anr 597	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝐼 → 𝑝 ≤ 𝐼))
11		elfzle2 13444	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ≤ 𝑁)
12	11	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐼 ≤ 𝑁)
13	5	zred 12596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
14	13	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ)
15		elfzelz 13440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
16	15	zred 12596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℝ)
17	16	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐼 ∈ ℝ)
18		nnre 12152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
20		letr 11227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑝 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 ≤ 𝑁) → 𝑝 ≤ 𝑁))
21	14, 17, 19, 20	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 ≤ 𝑁) → 𝑝 ≤ 𝑁))
22	12, 21	mpan2d 694	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≤ 𝐼 → 𝑝 ≤ 𝑁))
23	10, 22	syld 47	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝐼 → 𝑝 ≤ 𝑁))
24	23	ancrd 551	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝐼 → (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)))
25	24	reximdva 3149	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝐼 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)))
26	4, 25	mpd 15	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025   ≤ cle 11167  ℕcn 12145  2c2 12200  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ...cfz 13423   ∥ cdvds 16179  ℙcprime 16598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-prm 16599

This theorem is referenced by:  prmdvdsprmop  16971