MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnran Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnran 19297
Description: The range of the permutation sign function for finite permutations. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnran.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
psgnran.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
Assertion
Ref Expression
psgnran ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1})

Proof of Theorem psgnran
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . . . . 7 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2 psgnran.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
31, 2sygbasnfpfi 19294 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin)
43ex 413 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (𝑄𝑃 → dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin))
54pm4.71d 562 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → (𝑄𝑃 ↔ (𝑄𝑃 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin)))
6 psgnran.s . . . . 5 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
71, 6, 2psgneldm 19285 . . . 4 (𝑄 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝑄𝑃 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin))
85, 7bitr4di 288 . . 3 (𝑁 ∈ Fin → (𝑄𝑃𝑄 ∈ dom 𝑆))
9 eqid 2736 . . . . 5 ran (pmTrsp‘𝑁) = ran (pmTrsp‘𝑁)
101, 9, 6psgnvali 19290 . . . 4 (𝑄 ∈ dom 𝑆 → ∃𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)(𝑄 = ((SymGrp‘𝑁) Σg 𝑤) ∧ (𝑆𝑄) = (-1↑(♯‘𝑤))))
11 lencl 14421 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁) → (♯‘𝑤) ∈ ℕ0)
1211nn0zd 12525 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁) → (♯‘𝑤) ∈ ℤ)
13 m1expcl2 13991 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑤) ∈ ℤ → (-1↑(♯‘𝑤)) ∈ {-1, 1})
14 prcom 4693 . . . . . . . . . 10 {-1, 1} = {1, -1}
1513, 14eleqtrdi 2848 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑤) ∈ ℤ → (-1↑(♯‘𝑤)) ∈ {1, -1})
1612, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁) → (-1↑(♯‘𝑤)) ∈ {1, -1})
1716adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)) → (-1↑(♯‘𝑤)) ∈ {1, -1})
18 eleq1a 2833 . . . . . . 7 ((-1↑(♯‘𝑤)) ∈ {1, -1} → ((𝑆𝑄) = (-1↑(♯‘𝑤)) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1}))
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((𝑆𝑄) = (-1↑(♯‘𝑤)) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1}))
2019adantld 491 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((𝑄 = ((SymGrp‘𝑁) Σg 𝑤) ∧ (𝑆𝑄) = (-1↑(♯‘𝑤))) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1}))
2120rexlimdva 3152 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → (∃𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)(𝑄 = ((SymGrp‘𝑁) Σg 𝑤) ∧ (𝑆𝑄) = (-1↑(♯‘𝑤))) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1}))
2210, 21syl5 34 . . 3 (𝑁 ∈ Fin → (𝑄 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1}))
238, 22sylbid 239 . 2 (𝑁 ∈ Fin → (𝑄𝑃 → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1}))
2423imp 407 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  cdif 3907  {cpr 4588   I cid 5530  dom cdm 5633  ran crn 5634  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  1c1 11052  -cneg 11386  cz 12499  cexp 13967  chash 14230  Word cword 14402  Basecbs 17083   Σg cgsu 17322  SymGrpcsymg 19148  pmTrspcpmtr 19223  pmSgncpsgn 19271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-word 14403  df-lsw 14451  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-splice 14638  df-reverse 14647  df-s2 14737  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-tset 17152  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-efmnd 18679  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-gim 19049  df-oppg 19124  df-symg 19149  df-pmtr 19224  df-psgn 19273
This theorem is referenced by:  zrhpsgnelbas  20998  mdetpmtr1  32404  mdetpmtr12  32406
  Copyright terms: Public domain W3C validator