Theorem psgnran 19496

Description: The range of the permutation sign function for finite permutations. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnran.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
psgnran.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
psgnran	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1})

Proof of Theorem psgnran

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2		psgnran.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
3	1, 2	sygbasnfpfi 19493	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin)
4	3	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑄 ∈ 𝑃 → dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin))
5	4	pm4.71d 561	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑄 ∈ 𝑃 ↔ (𝑄 ∈ 𝑃 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin)))
6		psgnran.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
7	1, 6, 2	psgneldm 19484	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝑄 ∈ 𝑃 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin))
8	5, 7	bitr4di 289	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑄 ∈ 𝑃 ↔ 𝑄 ∈ dom 𝑆))
9		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ran (pmTrsp‘𝑁) = ran (pmTrsp‘𝑁)
10	1, 9, 6	psgnvali 19489	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ dom 𝑆 → ∃𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)(𝑄 = ((SymGrp‘𝑁) Σg 𝑤) ∧ (𝑆‘𝑄) = (-1↑(♯‘𝑤))))
11		lencl 14551	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁) → (♯‘𝑤) ∈ ℕ0)
12	11	nn0zd 12614	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁) → (♯‘𝑤) ∈ ℤ)
13		m1expcl2 14103	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑤) ∈ ℤ → (-1↑(♯‘𝑤)) ∈ {-1, 1})
14		prcom 4708	. . . . . . . . . 10 ⊢ {-1, 1} = {1, -1}
15	13, 14	eleqtrdi 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑤) ∈ ℤ → (-1↑(♯‘𝑤)) ∈ {1, -1})
16	12, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁) → (-1↑(♯‘𝑤)) ∈ {1, -1})
17	16	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)) → (-1↑(♯‘𝑤)) ∈ {1, -1})
18		eleq1a 2829	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑(♯‘𝑤)) ∈ {1, -1} → ((𝑆‘𝑄) = (-1↑(♯‘𝑤)) → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1}))
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((𝑆‘𝑄) = (-1↑(♯‘𝑤)) → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1}))
20	19	adantld 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((𝑄 = ((SymGrp‘𝑁) Σg 𝑤) ∧ (𝑆‘𝑄) = (-1↑(♯‘𝑤))) → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1}))
21	20	rexlimdva 3141	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (∃𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)(𝑄 = ((SymGrp‘𝑁) Σg 𝑤) ∧ (𝑆‘𝑄) = (-1↑(♯‘𝑤))) → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1}))
22	10, 21	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑄 ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1}))
23	8, 22	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑄 ∈ 𝑃 → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1}))
24	23	imp 406	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060   ∖ cdif 3923  {cpr 4603   I cid 5547  dom cdm 5654  ran crn 5655  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Fincfn 8959  1c1 11130  -cneg 11467  ℤcz 12588  ↑cexp 14079  ♯chash 14348  Word cword 14531  Basecbs 17228   Σ_g cgsu 17454  SymGrpcsymg 19350  pmTrspcpmtr 19422  pmSgncpsgn 19470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-ot 4610  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-word 14532  df-lsw 14581  df-concat 14589  df-s1 14614  df-substr 14659  df-pfx 14689  df-splice 14768  df-reverse 14777  df-s2 14867  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-tset 17290  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-submnd 18762  df-efmnd 18847  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-subg 19106  df-ghm 19196  df-gim 19242  df-oppg 19329  df-symg 19351  df-pmtr 19423  df-psgn 19472

This theorem is referenced by:  zrhpsgnelbas  21554  mdetpmtr1  33854  mdetpmtr12  33856