MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnran Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnran 18639
Description: The range of the permutation sign function for finite permutations. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnran.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
psgnran.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
Assertion
Ref Expression
psgnran ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1})

Proof of Theorem psgnran
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . . . . . . 7 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2 psgnran.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
31, 2sygbasnfpfi 18636 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin)
43ex 416 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (𝑄𝑃 → dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin))
54pm4.71d 565 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → (𝑄𝑃 ↔ (𝑄𝑃 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin)))
6 psgnran.s . . . . 5 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
71, 6, 2psgneldm 18627 . . . 4 (𝑄 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝑄𝑃 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin))
85, 7syl6bbr 292 . . 3 (𝑁 ∈ Fin → (𝑄𝑃𝑄 ∈ dom 𝑆))
9 eqid 2801 . . . . 5 ran (pmTrsp‘𝑁) = ran (pmTrsp‘𝑁)
101, 9, 6psgnvali 18632 . . . 4 (𝑄 ∈ dom 𝑆 → ∃𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)(𝑄 = ((SymGrp‘𝑁) Σg 𝑤) ∧ (𝑆𝑄) = (-1↑(♯‘𝑤))))
11 lencl 13880 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁) → (♯‘𝑤) ∈ ℕ0)
1211nn0zd 12077 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁) → (♯‘𝑤) ∈ ℤ)
13 m1expcl2 13451 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑤) ∈ ℤ → (-1↑(♯‘𝑤)) ∈ {-1, 1})
14 prcom 4631 . . . . . . . . . 10 {-1, 1} = {1, -1}
1513, 14eleqtrdi 2903 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑤) ∈ ℤ → (-1↑(♯‘𝑤)) ∈ {1, -1})
1612, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁) → (-1↑(♯‘𝑤)) ∈ {1, -1})
1716adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)) → (-1↑(♯‘𝑤)) ∈ {1, -1})
18 eleq1a 2888 . . . . . . 7 ((-1↑(♯‘𝑤)) ∈ {1, -1} → ((𝑆𝑄) = (-1↑(♯‘𝑤)) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1}))
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((𝑆𝑄) = (-1↑(♯‘𝑤)) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1}))
2019adantld 494 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((𝑄 = ((SymGrp‘𝑁) Σg 𝑤) ∧ (𝑆𝑄) = (-1↑(♯‘𝑤))) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1}))
2120rexlimdva 3246 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → (∃𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)(𝑄 = ((SymGrp‘𝑁) Σg 𝑤) ∧ (𝑆𝑄) = (-1↑(♯‘𝑤))) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1}))
2210, 21syl5 34 . . 3 (𝑁 ∈ Fin → (𝑄 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1}))
238, 22sylbid 243 . 2 (𝑁 ∈ Fin → (𝑄𝑃 → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1}))
2423imp 410 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wrex 3110  cdif 3881  {cpr 4530   I cid 5427  dom cdm 5523  ran crn 5524  cfv 6328  (class class class)co 7139  Fincfn 8496  1c1 10531  -cneg 10864  cz 11973  cexp 13429  chash 13690  Word cword 13861  Basecbs 16479   Σg cgsu 16710  SymGrpcsymg 18491  pmTrspcpmtr 18565  pmSgncpsgn 18613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-ot 4537  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-word 13862  df-lsw 13910  df-concat 13918  df-s1 13945  df-substr 13998  df-pfx 14028  df-splice 14107  df-reverse 14116  df-s2 14205  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-tset 16580  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952  df-submnd 17953  df-efmnd 18030  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-gim 18395  df-oppg 18470  df-symg 18492  df-pmtr 18566  df-psgn 18615
This theorem is referenced by:  zrhpsgnelbas  20287  mdetpmtr1  31180  mdetpmtr12  31182
  Copyright terms: Public domain W3C validator