Theorem psgnran 19586

Description: The range of the permutation sign function for finite permutations. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnran.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
psgnran.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
psgnran	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1})

Proof of Theorem psgnran

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2		psgnran.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
3	1, 2	sygbasnfpfi 19583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin)
4	3	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑄 ∈ 𝑃 → dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin))
5	4	pm4.71d 570	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑄 ∈ 𝑃 ↔ (𝑄 ∈ 𝑃 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin)))
6		psgnran.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
7	1, 6, 2	psgneldm 19574	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝑄 ∈ 𝑃 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin))
8	5, 7	bitr4di 292	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑄 ∈ 𝑃 ↔ 𝑄 ∈ dom 𝑆))
9		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ran (pmTrsp‘𝑁) = ran (pmTrsp‘𝑁)
10	1, 9, 6	psgnvali 19579	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ dom 𝑆 → ∃𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)(𝑄 = ((SymGrp‘𝑁) Σg 𝑤) ∧ (𝑆‘𝑄) = (-1↑(♯‘𝑤))))
11		lencl 14572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁) → (♯‘𝑤) ∈ ℕ0)
12	11	nn0zd 12617	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁) → (♯‘𝑤) ∈ ℤ)
13		m1expcl2 14123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑤) ∈ ℤ → (-1↑(♯‘𝑤)) ∈ {-1, 1})
14		prcom 4699	. . . . . . . . . 10 ⊢ {-1, 1} = {1, -1}
15	13, 14	eleqtrdi 2873	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑤) ∈ ℤ → (-1↑(♯‘𝑤)) ∈ {1, -1})
16	12, 15	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁) → (-1↑(♯‘𝑤)) ∈ {1, -1})
17	16	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)) → (-1↑(♯‘𝑤)) ∈ {1, -1})
18		eleq1a 2858	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑(♯‘𝑤)) ∈ {1, -1} → ((𝑆‘𝑄) = (-1↑(♯‘𝑤)) → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1}))
19	17, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((𝑆‘𝑄) = (-1↑(♯‘𝑤)) → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1}))
20	19	adantld 495	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((𝑄 = ((SymGrp‘𝑁) Σg 𝑤) ∧ (𝑆‘𝑄) = (-1↑(♯‘𝑤))) → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1}))
21	20	rexlimdva 3166	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (∃𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)(𝑄 = ((SymGrp‘𝑁) Σg 𝑤) ∧ (𝑆‘𝑄) = (-1↑(♯‘𝑤))) → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1}))
22	10, 21	syl5 35	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑄 ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1}))
23	8, 22	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑄 ∈ 𝑃 → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1}))
24	23	imp 411	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3903  {cpr 4592   I cid 5557  dom cdm 5663  ran crn 5664  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Fincfn 8944  1c1 11102  -cneg 11443  ℤcz 12592  ↑cexp 14099  ♯chash 14368  Word cword 14552  Basecbs 17270   Σ_g cgsu 17494  SymGrpcsymg 19440  pmTrspcpmtr 19512  pmSgncpsgn 19560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-word 14553  df-lsw 14602  df-concat 14610  df-s1 14636  df-substr 14681  df-pfx 14711  df-splice 14789  df-reverse 14798  df-s2 14887  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-tset 17330  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-submnd 18843  df-efmnd 18929  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-subg 19190  df-ghm 19285  df-gim 19330  df-oppg 19417  df-symg 19441  df-pmtr 19513  df-psgn 19562

This theorem is referenced by:  zrhpsgnelbas  21725  mdetpmtr1  34194  mdetpmtr12  34196