Theorem psgnran 19488

Description: The range of the permutation sign function for finite permutations. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnran.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
psgnran.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
psgnran	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1})

Proof of Theorem psgnran

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2		psgnran.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
3	1, 2	sygbasnfpfi 19485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin)
4	3	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑄 ∈ 𝑃 → dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin))
5	4	pm4.71d 566	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑄 ∈ 𝑃 ↔ (𝑄 ∈ 𝑃 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin)))
6		psgnran.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
7	1, 6, 2	psgneldm 19476	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝑄 ∈ 𝑃 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin))
8	5, 7	bitr4di 290	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑄 ∈ 𝑃 ↔ 𝑄 ∈ dom 𝑆))
9		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ran (pmTrsp‘𝑁) = ran (pmTrsp‘𝑁)
10	1, 9, 6	psgnvali 19481	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ dom 𝑆 → ∃𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)(𝑄 = ((SymGrp‘𝑁) Σg 𝑤) ∧ (𝑆‘𝑄) = (-1↑(♯‘𝑤))))
11		lencl 14493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁) → (♯‘𝑤) ∈ ℕ0)
12	11	nn0zd 12547	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁) → (♯‘𝑤) ∈ ℤ)
13		m1expcl2 14045	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑤) ∈ ℤ → (-1↑(♯‘𝑤)) ∈ {-1, 1})
14		prcom 4671	. . . . . . . . . 10 ⊢ {-1, 1} = {1, -1}
15	13, 14	eleqtrdi 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑤) ∈ ℤ → (-1↑(♯‘𝑤)) ∈ {1, -1})
16	12, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁) → (-1↑(♯‘𝑤)) ∈ {1, -1})
17	16	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)) → (-1↑(♯‘𝑤)) ∈ {1, -1})
18		eleq1a 2835	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑(♯‘𝑤)) ∈ {1, -1} → ((𝑆‘𝑄) = (-1↑(♯‘𝑤)) → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1}))
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((𝑆‘𝑄) = (-1↑(♯‘𝑤)) → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1}))
20	19	adantld 491	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((𝑄 = ((SymGrp‘𝑁) Σg 𝑤) ∧ (𝑆‘𝑄) = (-1↑(♯‘𝑤))) → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1}))
21	20	rexlimdva 3141	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (∃𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)(𝑄 = ((SymGrp‘𝑁) Σg 𝑤) ∧ (𝑆‘𝑄) = (-1↑(♯‘𝑤))) → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1}))
22	10, 21	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑄 ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1}))
23	8, 22	sylbid 241	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑄 ∈ 𝑃 → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1}))
24	23	imp 407	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3064   ∖ cdif 3887  {cpr 4564   I cid 5519  dom cdm 5625  ran crn 5626  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Fincfn 8890  1c1 11037  -cneg 11376  ℤcz 12522  ↑cexp 14021  ♯chash 14290  Word cword 14473  Basecbs 17177   Σ_g cgsu 17401  SymGrpcsymg 19342  pmTrspcpmtr 19414  pmSgncpsgn 19462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-xor 1519  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-ot 4571  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-word 14474  df-lsw 14523  df-concat 14531  df-s1 14557  df-substr 14602  df-pfx 14632  df-splice 14710  df-reverse 14719  df-s2 14808  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-tset 17237  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-efmnd 18835  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-subg 19097  df-ghm 19186  df-gim 19232  df-oppg 19319  df-symg 19343  df-pmtr 19415  df-psgn 19464

This theorem is referenced by:  zrhpsgnelbas  21576  mdetpmtr1  34014  mdetpmtr12  34016