Theorem qden1elz 16734

Description: A rational is an integer iff it has denominator 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qden1elz	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((denom‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))

Proof of Theorem qden1elz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qeqnumdivden 16723	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 = ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)))
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → 𝐴 = ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)))
3		oveq2 7398	. . . . 5 ⊢ ((denom‘𝐴) = 1 → ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)) = ((numer‘𝐴) / 1))
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)) = ((numer‘𝐴) / 1))
5		qnumcl 16717	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (numer‘𝐴) ∈ ℤ)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → (numer‘𝐴) ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12646	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → (numer‘𝐴) ∈ ℂ)
8	7	div1d 11957	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → ((numer‘𝐴) / 1) = (numer‘𝐴))
9	2, 4, 8	3eqtrd 2769	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → 𝐴 = (numer‘𝐴))
10	9, 6	eqeltrd 2829	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
11		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 12646	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	div1d 11957	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 / 1) = 𝐴)
14	13	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (denom‘(𝐴 / 1)) = (denom‘𝐴))
15		1nn 12204	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
16		divdenle 16726	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / 1)) ≤ 1)
17	11, 15, 16	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (denom‘(𝐴 / 1)) ≤ 1)
18	14, 17	eqbrtrrd 5134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (denom‘𝐴) ≤ 1)
19		qdencl 16718	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (denom‘𝐴) ∈ ℕ)
20	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (denom‘𝐴) ∈ ℕ)
21		nnle1eq1 12223	. . . 4 ⊢ ((denom‘𝐴) ∈ ℕ → ((denom‘𝐴) ≤ 1 ↔ (denom‘𝐴) = 1))
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((denom‘𝐴) ≤ 1 ↔ (denom‘𝐴) = 1))
23	18, 22	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (denom‘𝐴) = 1)
24	10, 23	impbida 800	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((denom‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  1c1 11076   ≤ cle 11216   / cdiv 11842  ℕcn 12193  ℤcz 12536  ℚcq 12914  numercnumer 16710  denomcdenom 16711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16230  df-gcd 16472  df-numer 16712  df-denom 16713

This theorem is referenced by:  zsqrtelqelz  16735  zrtelqelz  26675  oexpreposd  42317