Theorem qden1elz 16804

Description: A rational is an integer iff it has denominator 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qden1elz	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((denom‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))

Proof of Theorem qden1elz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qeqnumdivden 16793	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 = ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)))
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → 𝐴 = ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)))
3		oveq2 7456	. . . . 5 ⊢ ((denom‘𝐴) = 1 → ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)) = ((numer‘𝐴) / 1))
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)) = ((numer‘𝐴) / 1))
5		qnumcl 16787	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (numer‘𝐴) ∈ ℤ)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → (numer‘𝐴) ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12748	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → (numer‘𝐴) ∈ ℂ)
8	7	div1d 12062	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → ((numer‘𝐴) / 1) = (numer‘𝐴))
9	2, 4, 8	3eqtrd 2784	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → 𝐴 = (numer‘𝐴))
10	9, 6	eqeltrd 2844	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
11		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 12748	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	div1d 12062	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 / 1) = 𝐴)
14	13	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (denom‘(𝐴 / 1)) = (denom‘𝐴))
15		1nn 12304	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
16		divdenle 16796	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / 1)) ≤ 1)
17	11, 15, 16	sylancl 585	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (denom‘(𝐴 / 1)) ≤ 1)
18	14, 17	eqbrtrrd 5190	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (denom‘𝐴) ≤ 1)
19		qdencl 16788	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (denom‘𝐴) ∈ ℕ)
20	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (denom‘𝐴) ∈ ℕ)
21		nnle1eq1 12323	. . . 4 ⊢ ((denom‘𝐴) ∈ ℕ → ((denom‘𝐴) ≤ 1 ↔ (denom‘𝐴) = 1))
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((denom‘𝐴) ≤ 1 ↔ (denom‘𝐴) = 1))
23	18, 22	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (denom‘𝐴) = 1)
24	10, 23	impbida 800	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((denom‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  1c1 11185   ≤ cle 11325   / cdiv 11947  ℕcn 12293  ℤcz 12639  ℚcq 13013  numercnumer 16780  denomcdenom 16781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-numer 16782  df-denom 16783

This theorem is referenced by:  zsqrtelqelz  16805  zrtelqelz  26819  oexpreposd  42309