Theorem qden1elz 16738

Description: A rational is an integer iff it has denominator 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qden1elz	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((denom‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))

Proof of Theorem qden1elz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qeqnumdivden 16727	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 = ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)))
2	1	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → 𝐴 = ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)))
3		oveq2 7434	. . . . 5 ⊢ ((denom‘𝐴) = 1 → ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)) = ((numer‘𝐴) / 1))
4	3	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)) = ((numer‘𝐴) / 1))
5		qnumcl 16721	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (numer‘𝐴) ∈ ℤ)
6	5	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → (numer‘𝐴) ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12707	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → (numer‘𝐴) ∈ ℂ)
8	7	div1d 12022	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → ((numer‘𝐴) / 1) = (numer‘𝐴))
9	2, 4, 8	3eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → 𝐴 = (numer‘𝐴))
10	9, 6	eqeltrd 2829	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
11		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 12707	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	div1d 12022	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 / 1) = 𝐴)
14	13	fveq2d 6906	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (denom‘(𝐴 / 1)) = (denom‘𝐴))
15		1nn 12263	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
16		divdenle 16730	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / 1)) ≤ 1)
17	11, 15, 16	sylancl 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (denom‘(𝐴 / 1)) ≤ 1)
18	14, 17	eqbrtrrd 5176	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (denom‘𝐴) ≤ 1)
19		qdencl 16722	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (denom‘𝐴) ∈ ℕ)
20	19	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (denom‘𝐴) ∈ ℕ)
21		nnle1eq1 12282	. . . 4 ⊢ ((denom‘𝐴) ∈ ℕ → ((denom‘𝐴) ≤ 1 ↔ (denom‘𝐴) = 1))
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((denom‘𝐴) ≤ 1 ↔ (denom‘𝐴) = 1))
23	18, 22	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (denom‘𝐴) = 1)
24	10, 23	impbida 799	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((denom‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  1c1 11149   ≤ cle 11289   / cdiv 11911  ℕcn 12252  ℤcz 12598  ℚcq 12972  numercnumer 16714  denomcdenom 16715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-dvds 16241  df-gcd 16479  df-numer 16716  df-denom 16717

This theorem is referenced by:  zsqrtelqelz  16739  oexpreposd  41930  zrtelqelz  41953