MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qden1elz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qden1elz 16639
Description: A rational is an integer iff it has denominator 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
qden1elz (𝐴 ∈ β„š β†’ ((denomβ€˜π΄) = 1 ↔ 𝐴 ∈ β„€))

Proof of Theorem qden1elz
StepHypRef Expression
1 qeqnumdivden 16628 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„š β†’ 𝐴 = ((numerβ€˜π΄) / (denomβ€˜π΄)))
21adantr 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„š ∧ (denomβ€˜π΄) = 1) β†’ 𝐴 = ((numerβ€˜π΄) / (denomβ€˜π΄)))
3 oveq2 7370 . . . . 5 ((denomβ€˜π΄) = 1 β†’ ((numerβ€˜π΄) / (denomβ€˜π΄)) = ((numerβ€˜π΄) / 1))
43adantl 483 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„š ∧ (denomβ€˜π΄) = 1) β†’ ((numerβ€˜π΄) / (denomβ€˜π΄)) = ((numerβ€˜π΄) / 1))
5 qnumcl 16622 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„š β†’ (numerβ€˜π΄) ∈ β„€)
65adantr 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„š ∧ (denomβ€˜π΄) = 1) β†’ (numerβ€˜π΄) ∈ β„€)
76zcnd 12615 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„š ∧ (denomβ€˜π΄) = 1) β†’ (numerβ€˜π΄) ∈ β„‚)
87div1d 11930 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„š ∧ (denomβ€˜π΄) = 1) β†’ ((numerβ€˜π΄) / 1) = (numerβ€˜π΄))
92, 4, 83eqtrd 2781 . . 3 ((𝐴 ∈ β„š ∧ (denomβ€˜π΄) = 1) β†’ 𝐴 = (numerβ€˜π΄))
109, 6eqeltrd 2838 . 2 ((𝐴 ∈ β„š ∧ (denomβ€˜π΄) = 1) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
11 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
1211zcnd 12615 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1312div1d 11930 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (𝐴 / 1) = 𝐴)
1413fveq2d 6851 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / 1)) = (denomβ€˜π΄))
15 1nn 12171 . . . . 5 1 ∈ β„•
16 divdenle 16631 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / 1)) ≀ 1)
1711, 15, 16sylancl 587 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / 1)) ≀ 1)
1814, 17eqbrtrrd 5134 . . 3 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (denomβ€˜π΄) ≀ 1)
19 qdencl 16623 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„š β†’ (denomβ€˜π΄) ∈ β„•)
2019adantr 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (denomβ€˜π΄) ∈ β„•)
21 nnle1eq1 12190 . . . 4 ((denomβ€˜π΄) ∈ β„• β†’ ((denomβ€˜π΄) ≀ 1 ↔ (denomβ€˜π΄) = 1))
2220, 21syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ ((denomβ€˜π΄) ≀ 1 ↔ (denomβ€˜π΄) = 1))
2318, 22mpbid 231 . 2 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (denomβ€˜π΄) = 1)
2410, 23impbida 800 1 (𝐴 ∈ β„š β†’ ((denomβ€˜π΄) = 1 ↔ 𝐴 ∈ β„€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1c1 11059   ≀ cle 11197   / cdiv 11819  β„•cn 12160  β„€cz 12506  β„šcq 12880  numercnumer 16615  denomcdenom 16616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-numer 16617  df-denom 16618
This theorem is referenced by:  zsqrtelqelz  16640  oexpreposd  40836  zrtelqelz  40860
  Copyright terms: Public domain W3C validator