MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ragflat3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ragflat3 28729
Description: Right angle and colinearity. Theorem 8.9 of [Schwabhauser] p. 58. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
israg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d = (dist‘𝐺)
israg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a (𝜑𝐴𝑃)
israg.b (𝜑𝐵𝑃)
israg.c (𝜑𝐶𝑃)
ragflat3.1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
ragflat3.2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
Assertion
Ref Expression
ragflat3 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝐶 = 𝐵))

Proof of Theorem ragflat3
StepHypRef Expression
1 israg.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 israg.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
3 israg.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 israg.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 israg.s . . . 4 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6 israg.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 israg.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
98adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐶𝑃)
10 israg.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
1110adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵𝑃)
12 israg.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
1312adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝑃)
14 ragflat3.1 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1514adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
16 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
1716neqned 2945 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
18 ragflat3.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
1918adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
201, 4, 3, 7, 13, 11, 9, 19colrot1 28582 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
211, 2, 3, 4, 5, 7, 13, 11, 9, 9, 15, 17, 20ragcol 28722 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ⟨“𝐶𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
221, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 21ragtriva 28728 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐵)
2322ex 412 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐶 = 𝐵))
2423orrd 863 1 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝐶 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  ⟨“cs3 14878  Basecbs 17245  distcds 17307  TarskiGcstrkg 28450  Itvcitv 28456  LineGclng 28457  pInvGcmir 28675  ∟Gcrag 28716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-trkgc 28471  df-trkgb 28472  df-trkgcb 28473  df-trkg 28476  df-cgrg 28534  df-mir 28676  df-rag 28717
This theorem is referenced by:  ragncol  28732  mideulem2  28757  opphllem  28758
  Copyright terms: Public domain W3C validator