Theorem fthres2 18102

Description: A faithful functor into a restricted category is also a faithful functor into the whole category. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fthres2	⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (𝐶 Faith (𝐷 ↾cat 𝑅)) ⊆ (𝐶 Faith 𝐷))

Proof of Theorem fthres2

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfth 18079	. . 3 ⊢ Rel (𝐶 Faith (𝐷 ↾cat 𝑅))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → Rel (𝐶 Faith (𝐷 ↾cat 𝑅)))
3		funcres2 18066	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅)) ⊆ (𝐶 Func 𝐷))
4	3	ssbrd 5148	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔 → 𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔))
5	4	anim1d 623	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → ((𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)Fun ◡(𝑥𝑔𝑦)) → (𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)Fun ◡(𝑥𝑔𝑦))))
6		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
7	6	isfth 18084	. . . 4 ⊢ (𝑓(𝐶 Faith (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔 ↔ (𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)Fun ◡(𝑥𝑔𝑦)))
8	6	isfth 18084	. . . 4 ⊢ (𝑓(𝐶 Faith 𝐷)𝑔 ↔ (𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)Fun ◡(𝑥𝑔𝑦)))
9	5, 7, 8	3imtr4g 299	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (𝑓(𝐶 Faith (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔 → 𝑓(𝐶 Faith 𝐷)𝑔))
10		df-br 5104	. . 3 ⊢ (𝑓(𝐶 Faith (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔 ↔ ⟨𝑓, 𝑔⟩ ∈ (𝐶 Faith (𝐷 ↾cat 𝑅)))
11		df-br 5104	. . 3 ⊢ (𝑓(𝐶 Faith 𝐷)𝑔 ↔ ⟨𝑓, 𝑔⟩ ∈ (𝐶 Faith 𝐷))
12	9, 10, 11	3imtr3g 298	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (⟨𝑓, 𝑔⟩ ∈ (𝐶 Faith (𝐷 ↾cat 𝑅)) → ⟨𝑓, 𝑔⟩ ∈ (𝐶 Faith 𝐷)))
13	2, 12	relssdv 5764	1 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (𝐶 Faith (𝐷 ↾cat 𝑅)) ⊆ (𝐶 Faith 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ⊆ wss 3899  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  ^◡ccnv 5650  Rel wrel 5656  Fun wfun 6531  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380   ↾_cat cresc 17976  Subcatcsubc 17977   Func cfunc 18022   Faith cfth 18073

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-hom 17445  df-cco 17446  df-cat 17835  df-cid 17836  df-homf 17837  df-ssc 17978  df-resc 17979  df-subc 17980  df-func 18026  df-fth 18075

This theorem is used by:  rescfth  18107