Theorem fthres2 17892

Description: A faithful functor into a restricted category is also a faithful functor into the whole category. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fthres2	⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (𝐶 Faith (𝐷 ↾cat 𝑅)) ⊆ (𝐶 Faith 𝐷))

Proof of Theorem fthres2

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfth 17869	. . 3 ⊢ Rel (𝐶 Faith (𝐷 ↾cat 𝑅))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → Rel (𝐶 Faith (𝐷 ↾cat 𝑅)))
3		funcres2 17855	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅)) ⊆ (𝐶 Func 𝐷))
4	3	ssbrd 5184	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔 → 𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔))
5	4	anim1d 610	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → ((𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)Fun ◡(𝑥𝑔𝑦)) → (𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)Fun ◡(𝑥𝑔𝑦))))
6		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
7	6	isfth 17874	. . . 4 ⊢ (𝑓(𝐶 Faith (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔 ↔ (𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)Fun ◡(𝑥𝑔𝑦)))
8	6	isfth 17874	. . . 4 ⊢ (𝑓(𝐶 Faith 𝐷)𝑔 ↔ (𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)Fun ◡(𝑥𝑔𝑦)))
9	5, 7, 8	3imtr4g 296	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (𝑓(𝐶 Faith (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔 → 𝑓(𝐶 Faith 𝐷)𝑔))
10		df-br 5142	. . 3 ⊢ (𝑓(𝐶 Faith (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔 ↔ ⟨𝑓, 𝑔⟩ ∈ (𝐶 Faith (𝐷 ↾cat 𝑅)))
11		df-br 5142	. . 3 ⊢ (𝑓(𝐶 Faith 𝐷)𝑔 ↔ ⟨𝑓, 𝑔⟩ ∈ (𝐶 Faith 𝐷))
12	9, 10, 11	3imtr3g 295	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (⟨𝑓, 𝑔⟩ ∈ (𝐶 Faith (𝐷 ↾cat 𝑅)) → ⟨𝑓, 𝑔⟩ ∈ (𝐶 Faith 𝐷)))
13	2, 12	relssdv 5781	1 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (𝐶 Faith (𝐷 ↾cat 𝑅)) ⊆ (𝐶 Faith 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055   ⊆ wss 3943  ⟨cop 4629   class class class wbr 5141  ^◡ccnv 5668  Rel wrel 5674  Fun wfun 6530  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151   ↾_cat cresc 17762  Subcatcsubc 17763   Func cfunc 17811   Faith cfth 17863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-hom 17228  df-cco 17229  df-cat 17619  df-cid 17620  df-homf 17621  df-ssc 17764  df-resc 17765  df-subc 17766  df-func 17815  df-fth 17865

This theorem is referenced by:  rescfth  17897