Theorem rngcbas 20783

Description: Set of objects of the category of non-unital rings (in a universe). (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcbas.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rngcbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
rngcbas	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Rng))

Proof of Theorem rngcbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngcbas.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
2		rngcbas.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) = (𝑈 ∩ Rng))
4		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) = ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))
5	1, 2, 3, 4	rngcval 20780	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))))
6	5	fveq2d 6882	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (Base‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))))
7		rngcbas.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
9		eqid 2760	. . 3 ⊢ ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))
10		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈))
11		fvexd 6893	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ExtStrCat‘𝑈) ∈ V)
12	3, 4	rnghmresfn 20781	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) Fn ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))
13		inss1 4182	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∩ Rng) ⊆ 𝑈
14		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
15	14, 2	estrcbas 18213	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
16	13, 15	sseqtrid 3973	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) ⊆ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
17	9, 10, 11, 12, 16	rescbas 17918	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) = (Base‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))))
18	6, 8, 17	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Rng))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∩ cin 3898   × cxp 5653   ↾ cres 5657  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301   ↾_cat cresc 17897  ExtStrCatcestrc 18210  Rngcrng 20287   RngHom crnghm 20575  RngCatcrngc 20778

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-fz 13562  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-hom 17366  df-cco 17367  df-resc 17900  df-estrc 18211  df-rnghm 20577  df-rngc 20779

This theorem is used by:  rngchomfval  20784  rngchomfeqhom  20787  rngccofval  20788  rnghmsubcsetclem1  20793  rngcid  20797  rngcsect  20798  rngcifuestrc  20801  funcrngcsetc  20802  funcrngcsetcALT  20803  zrinitorngc  20804  zrtermorngc  20805  zrzeroorngc  20806  rhmsubcrngclem1  20828  rhmsubcrngc  20830  rhmsubclem3  20849  rhmsubc  20851