Theorem rngcbas 43740

Description: Set of objects of the category of non-unital rings (in a universe). (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcbas.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rngcbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
rngcbas	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Rng))

Proof of Theorem rngcbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngcbas.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
2		rngcbas.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		eqidd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) = (𝑈 ∩ Rng))
4		eqidd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) = ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))
5	1, 2, 3, 4	rngcval 43737	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))))
6	5	fveq2d 6547	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (Base‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))))
7		rngcbas.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
9		eqid 2795	. . 3 ⊢ ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))
10		eqid 2795	. . 3 ⊢ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈))
11		fvexd 6558	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ExtStrCat‘𝑈) ∈ V)
12	3, 4	rnghmresfn 43738	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) Fn ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))
13		inss1 4129	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∩ Rng) ⊆ 𝑈
14		eqid 2795	. . . . 5 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
15	14, 2	estrcbas 17209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
16	13, 15	sseqtrid 3944	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) ⊆ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
17	9, 10, 11, 12, 16	rescbas 16933	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) = (Base‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))))
18	6, 8, 17	3eqtr4d 2841	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Rng))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  Vcvv 3437   ∩ cin 3862   × cxp 5446   ↾ cres 5450  ‘cfv 6230  (class class class)co 7021  Basecbs 16317   ↾_cat cresc 16912  ExtStrCatcestrc 17206  Rngcrng 43649   RngHomo crngh 43660  RngCatcrngc 43732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-oadd 7962  df-er 8144  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-7 11558  df-8 11559  df-9 11560  df-n0 11751  df-z 11835  df-dec 11953  df-uz 12099  df-fz 12748  df-struct 16319  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-sets 16324  df-ress 16325  df-hom 16423  df-cco 16424  df-resc 16915  df-estrc 17207  df-rnghomo 43662  df-rngc 43734

This theorem is referenced by:  rngchomfval  43741  rngchomfeqhom  43744  rngccofval  43745  rnghmsubcsetclem1  43750  rngcid  43754  rngcsect  43755  rngcifuestrc  43772  funcrngcsetc  43773  funcrngcsetcALT  43774  zrinitorngc  43775  zrtermorngc  43776  zrzeroorngc  43777  rhmsubcrngclem1  43802  rhmsubcrngc  43804  rhmsubclem3  43863  rhmsubc  43865