Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngcbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngcbas 44757
 Description: Set of objects of the category of non-unital rings (in a universe). (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcbas.c 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcbas.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
rngcbas.u (𝜑𝑈𝑉)
Assertion
Ref Expression
rngcbas (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Rng))

Proof of Theorem rngcbas
StepHypRef Expression
1 rngcbas.c . . . 4 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
2 rngcbas.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
3 eqidd 2799 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) = (𝑈 ∩ Rng))
4 eqidd 2799 . . . 4 (𝜑 → ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) = ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))
51, 2, 3, 4rngcval 44754 . . 3 (𝜑𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))))
65fveq2d 6659 . 2 (𝜑 → (Base‘𝐶) = (Base‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))))
7 rngcbas.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
87a1i 11 . 2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐶))
9 eqid 2798 . . 3 ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))
10 eqid 2798 . . 3 (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈))
11 fvexd 6670 . . 3 (𝜑 → (ExtStrCat‘𝑈) ∈ V)
123, 4rnghmresfn 44755 . . 3 (𝜑 → ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) Fn ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))
13 inss1 4158 . . . 4 (𝑈 ∩ Rng) ⊆ 𝑈
14 eqid 2798 . . . . 5 (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
1514, 2estrcbas 17387 . . . 4 (𝜑𝑈 = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
1613, 15sseqtrid 3969 . . 3 (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) ⊆ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
179, 10, 11, 12, 16rescbas 17111 . 2 (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) = (Base‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))))
186, 8, 173eqtr4d 2843 1 (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Rng))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3442   ∩ cin 3882   × cxp 5521   ↾ cres 5525  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  Basecbs 16495   ↾cat cresc 17090  ExtStrCatcestrc 17384  Rngcrng 44666   RngHomo crngh 44677  RngCatcrngc 44749 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-fz 12906  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-hom 16601  df-cco 16602  df-resc 17093  df-estrc 17385  df-rnghomo 44679  df-rngc 44751 This theorem is referenced by:  rngchomfval  44758  rngchomfeqhom  44761  rngccofval  44762  rnghmsubcsetclem1  44767  rngcid  44771  rngcsect  44772  rngcifuestrc  44789  funcrngcsetc  44790  funcrngcsetcALT  44791  zrinitorngc  44792  zrtermorngc  44793  zrzeroorngc  44794  rhmsubcrngclem1  44819  rhmsubcrngc  44821  rhmsubclem3  44880  rhmsubc  44882
 Copyright terms: Public domain W3C validator