MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngcbas Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rngcbas 20514
Description: Set of objects of the category of non-unital rings (in a universe). (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcbas.c ๐ถ = (RngCatโ€˜๐‘ˆ)
rngcbas.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
rngcbas.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ ๐‘‰)
Assertion
Ref Expression
rngcbas (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (๐‘ˆ โˆฉ Rng))
Proof of Theorem rngcbas
StepHypRef Expression
1 rngcbas.c . . . 4 ๐ถ = (RngCatโ€˜๐‘ˆ)
2 rngcbas.u . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ ๐‘‰)
3 eqidd 2727 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆฉ Rng) = (๐‘ˆ โˆฉ Rng))
4 eqidd 2727 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ( RngHom โ†พ ((๐‘ˆ โˆฉ Rng) ร— (๐‘ˆ โˆฉ Rng))) = ( RngHom โ†พ ((๐‘ˆ โˆฉ Rng) ร— (๐‘ˆ โˆฉ Rng))))
51, 2, 3, 4rngcval 20511 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ = ((ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ) โ†พcat ( RngHom โ†พ ((๐‘ˆ โˆฉ Rng) ร— (๐‘ˆ โˆฉ Rng)))))
65fveq2d 6888 . 2 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜๐ถ) = (Baseโ€˜((ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ) โ†พcat ( RngHom โ†พ ((๐‘ˆ โˆฉ Rng) ร— (๐‘ˆ โˆฉ Rng))))))
7 rngcbas.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
87a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ))
9 eqid 2726 . . 3 ((ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ) โ†พcat ( RngHom โ†พ ((๐‘ˆ โˆฉ Rng) ร— (๐‘ˆ โˆฉ Rng)))) = ((ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ) โ†พcat ( RngHom โ†พ ((๐‘ˆ โˆฉ Rng) ร— (๐‘ˆ โˆฉ Rng))))
10 eqid 2726 . . 3 (Baseโ€˜(ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ)) = (Baseโ€˜(ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ))
11 fvexd 6899 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ) โˆˆ V)
123, 4rnghmresfn 20512 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ( RngHom โ†พ ((๐‘ˆ โˆฉ Rng) ร— (๐‘ˆ โˆฉ Rng))) Fn ((๐‘ˆ โˆฉ Rng) ร— (๐‘ˆ โˆฉ Rng)))
13 inss1 4223 . . . 4 (๐‘ˆ โˆฉ Rng) โŠ† ๐‘ˆ
14 eqid 2726 . . . . 5 (ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ) = (ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ)
1514, 2estrcbas 18085 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (Baseโ€˜(ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ)))
1613, 15sseqtrid 4029 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆฉ Rng) โŠ† (Baseโ€˜(ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ)))
179, 10, 11, 12, 16rescbas 17782 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆฉ Rng) = (Baseโ€˜((ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ) โ†พcat ( RngHom โ†พ ((๐‘ˆ โˆฉ Rng) ร— (๐‘ˆ โˆฉ Rng))))))
186, 8, 173eqtr4d 2776 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (๐‘ˆ โˆฉ Rng))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3468   โˆฉ cin 3942   ร— cxp 5667   โ†พ cres 5671  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150   โ†พcat cresc 17761  ExtStrCatcestrc 18082  Rngcrng 20054   RngHom crnghm 20333  RngCatcrngc 20509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-hom 17227  df-cco 17228  df-resc 17764  df-estrc 18083  df-rnghm 20335  df-rngc 20510
This theorem is referenced by:  rngchomfval  20515  rngchomfeqhom  20518  rngccofval  20519  rnghmsubcsetclem1  20524  rngcid  20528  rngcsect  20529  rngcifuestrc  20532  funcrngcsetc  20533  funcrngcsetcALT  20534  zrinitorngc  20535  zrtermorngc  20536  zrzeroorngc  20537  rhmsubcrngclem1  20559  rhmsubcrngc  20561  rhmsubclem3  20580  rhmsubc  20582
  Copyright terms: Public domain W3C validator