Theorem rngqiprnglinlem1 21258

Description: Lemma 1 for rngqiprnglin 21269. (Contributed by AV, 28-Feb-2025.) (Proof shortened by AV, 24-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprnglinlem1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (( 1 · 𝐴) · ( 1 · 𝐶)) = ( 1 · (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem rngqiprnglinlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlring.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		rng2idlring.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		rng2idlring.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5	3, 4	ressmulr 17239	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → · = (.r‘𝐽))
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → · = (.r‘𝐽))
7	6	oveqd 7385	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (( 1 · 𝐴) · 1 ) = (( 1 · 𝐴)(.r‘𝐽) 1 ))
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
10		rng2idlring.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
11		rng2idlring.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐽 ∈ Ring)
13		rng2idlring.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
14		rng2idlring.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15	13, 1, 3, 11, 14, 4, 10	rngqiprngghmlem1 21254	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐴) ∈ (Base‘𝐽))
16	15	adantrr 718	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ( 1 · 𝐴) ∈ (Base‘𝐽))
17	8, 9, 10, 12, 16	ringridmd 20220	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (( 1 · 𝐴)(.r‘𝐽) 1 ) = ( 1 · 𝐴))
18	7, 17	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (( 1 · 𝐴) · 1 ) = ( 1 · 𝐴))
19	18	oveq1d 7383	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ((( 1 · 𝐴) · 1 ) · 𝐶) = (( 1 · 𝐴) · 𝐶))
20	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Rng)
21	13, 1, 3, 11, 14, 4, 10	rngqiprng1elbas 21253	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 1 ∈ 𝐵)
23		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
24	14, 4	rngcl 20111	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐴) ∈ 𝐵)
25	20, 22, 23, 24	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ( 1 · 𝐴) ∈ 𝐵)
26		simprr 773	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
27	14, 4	rngass 20106	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (( 1 · 𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ((( 1 · 𝐴) · 1 ) · 𝐶) = (( 1 · 𝐴) · ( 1 · 𝐶)))
28	20, 25, 22, 26, 27	syl13anc 1375	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ((( 1 · 𝐴) · 1 ) · 𝐶) = (( 1 · 𝐴) · ( 1 · 𝐶)))
29	14, 4	rngass 20106	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (( 1 · 𝐴) · 𝐶) = ( 1 · (𝐴 · 𝐶)))
30	20, 22, 23, 26, 29	syl13anc 1375	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (( 1 · 𝐴) · 𝐶) = ( 1 · (𝐴 · 𝐶)))
31	19, 28, 30	3eqtr3d 2780	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (( 1 · 𝐴) · ( 1 · 𝐶)) = ( 1 · (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169  ._rcmulr 17190  Rngcrng 20099  1_rcur 20128  Ringcrg 20180  2Idealc2idl 21216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-subg 19065  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20285  df-subrng 20491  df-lss 20895  df-sra 21137  df-rgmod 21138  df-lidl 21175  df-2idl 21217

This theorem is referenced by:  rngqiprnglin  21269