Theorem rngqiprnglinlem1 21170

Description: Lemma 1 for rngqiprnglin 21181. (Contributed by AV, 28-Feb-2025.) (Proof shortened by AV, 24-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprnglinlem1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (( 1 · 𝐴) · ( 1 · 𝐶)) = ( 1 · (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem rngqiprnglinlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlring.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		rng2idlring.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		rng2idlring.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5	3, 4	ressmulr 17279	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → · = (.r‘𝐽))
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → · = (.r‘𝐽))
7	6	oveqd 7431	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (( 1 · 𝐴) · 1 ) = (( 1 · 𝐴)(.r‘𝐽) 1 ))
8		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
9		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
10		rng2idlring.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
11		rng2idlring.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐽 ∈ Ring)
13		rng2idlring.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
14		rng2idlring.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15	13, 1, 3, 11, 14, 4, 10	rngqiprngghmlem1 21166	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐴) ∈ (Base‘𝐽))
16	15	adantrr 716	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ( 1 · 𝐴) ∈ (Base‘𝐽))
17	8, 9, 10, 12, 16	ringridmd 20198	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (( 1 · 𝐴)(.r‘𝐽) 1 ) = ( 1 · 𝐴))
18	7, 17	eqtrd 2767	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (( 1 · 𝐴) · 1 ) = ( 1 · 𝐴))
19	18	oveq1d 7429	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ((( 1 · 𝐴) · 1 ) · 𝐶) = (( 1 · 𝐴) · 𝐶))
20	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Rng)
21	13, 1, 3, 11, 14, 4, 10	rngqiprng1elbas 21165	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 1 ∈ 𝐵)
23		simprl 770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
24	14, 4	rngcl 20095	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐴) ∈ 𝐵)
25	20, 22, 23, 24	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ( 1 · 𝐴) ∈ 𝐵)
26		simprr 772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
27	14, 4	rngass 20090	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (( 1 · 𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ((( 1 · 𝐴) · 1 ) · 𝐶) = (( 1 · 𝐴) · ( 1 · 𝐶)))
28	20, 25, 22, 26, 27	syl13anc 1370	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ((( 1 · 𝐴) · 1 ) · 𝐶) = (( 1 · 𝐴) · ( 1 · 𝐶)))
29	14, 4	rngass 20090	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (( 1 · 𝐴) · 𝐶) = ( 1 · (𝐴 · 𝐶)))
30	20, 22, 23, 26, 29	syl13anc 1370	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (( 1 · 𝐴) · 𝐶) = ( 1 · (𝐴 · 𝐶)))
31	19, 28, 30	3eqtr3d 2775	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (( 1 · 𝐴) · ( 1 · 𝐶)) = ( 1 · (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171   ↾_s cress 17200  ._rcmulr 17225  Rngcrng 20083  1_rcur 20112  Ringcrg 20164  2Idealc2idl 21132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-0g 17414  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-subg 19069  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-oppr 20262  df-subrng 20472  df-lss 20805  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-lidl 21093  df-2idl 21133

This theorem is referenced by:  rngqiprnglin  21181