Theorem rngqiprnglinlem1 21208

Description: Lemma 1 for rngqiprnglin 21219. (Contributed by AV, 28-Feb-2025.) (Proof shortened by AV, 24-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprnglinlem1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (( 1 · 𝐴) · ( 1 · 𝐶)) = ( 1 · (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem rngqiprnglinlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlring.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		rng2idlring.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		rng2idlring.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5	3, 4	ressmulr 17277	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → · = (.r‘𝐽))
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → · = (.r‘𝐽))
7	6	oveqd 7407	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (( 1 · 𝐴) · 1 ) = (( 1 · 𝐴)(.r‘𝐽) 1 ))
8		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
9		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
10		rng2idlring.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
11		rng2idlring.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐽 ∈ Ring)
13		rng2idlring.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
14		rng2idlring.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15	13, 1, 3, 11, 14, 4, 10	rngqiprngghmlem1 21204	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐴) ∈ (Base‘𝐽))
16	15	adantrr 717	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ( 1 · 𝐴) ∈ (Base‘𝐽))
17	8, 9, 10, 12, 16	ringridmd 20189	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (( 1 · 𝐴)(.r‘𝐽) 1 ) = ( 1 · 𝐴))
18	7, 17	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (( 1 · 𝐴) · 1 ) = ( 1 · 𝐴))
19	18	oveq1d 7405	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ((( 1 · 𝐴) · 1 ) · 𝐶) = (( 1 · 𝐴) · 𝐶))
20	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Rng)
21	13, 1, 3, 11, 14, 4, 10	rngqiprng1elbas 21203	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 1 ∈ 𝐵)
23		simprl 770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
24	14, 4	rngcl 20080	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐴) ∈ 𝐵)
25	20, 22, 23, 24	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ( 1 · 𝐴) ∈ 𝐵)
26		simprr 772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
27	14, 4	rngass 20075	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (( 1 · 𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ((( 1 · 𝐴) · 1 ) · 𝐶) = (( 1 · 𝐴) · ( 1 · 𝐶)))
28	20, 25, 22, 26, 27	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ((( 1 · 𝐴) · 1 ) · 𝐶) = (( 1 · 𝐴) · ( 1 · 𝐶)))
29	14, 4	rngass 20075	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (( 1 · 𝐴) · 𝐶) = ( 1 · (𝐴 · 𝐶)))
30	20, 22, 23, 26, 29	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (( 1 · 𝐴) · 𝐶) = ( 1 · (𝐴 · 𝐶)))
31	19, 28, 30	3eqtr3d 2773	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (( 1 · 𝐴) · ( 1 · 𝐶)) = ( 1 · (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207  ._rcmulr 17228  Rngcrng 20068  1_rcur 20097  Ringcrg 20149  2Idealc2idl 21166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-subg 19062  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-subrng 20462  df-lss 20845  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-lidl 21125  df-2idl 21167

This theorem is referenced by:  rngqiprnglin  21219