Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngqiprnglinlem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rngqiprnglinlem1 46756
Description: Lemma 1 for rngqiprnglin 46767. (Contributed by AV, 28-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rng2idlring.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
rng2idlring.j 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
rng2idlring.u (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
rng2idlring.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
rng2idlring.1 1 = (1rβ€˜π½)
Assertion
Ref Expression
rngqiprnglinlem1 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ (( 1 Β· 𝐴) Β· ( 1 Β· 𝐢)) = ( 1 Β· (𝐴 Β· 𝐢)))
Proof of Theorem rngqiprnglinlem1
StepHypRef Expression
1 rng2idlring.i . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
21adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
3 rng2idlring.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
4 rng2idlring.t . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜π‘…)
53, 4ressmulr 17248 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…) β†’ Β· = (.rβ€˜π½))
62, 5syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ Β· = (.rβ€˜π½))
76oveqd 7422 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ (( 1 Β· 𝐴) Β· 1 ) = (( 1 Β· 𝐴)(.rβ€˜π½) 1 ))
8 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π½) = (Baseβ€˜π½)
9 eqid 2732 . . . . 5 (.rβ€˜π½) = (.rβ€˜π½)
10 rng2idlring.1 . . . . 5 1 = (1rβ€˜π½)
11 rng2idlring.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Ring)
1211adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐽 ∈ Ring)
13 rng2idlring.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
14 rng2idlring.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
1513, 1, 3, 11, 14, 4, 10rngqiprngghmlem1 46752 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 Β· 𝐴) ∈ (Baseβ€˜π½))
1615adantrr 715 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ ( 1 Β· 𝐴) ∈ (Baseβ€˜π½))
178, 9, 10, 12, 16ringridmd 20083 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ (( 1 Β· 𝐴)(.rβ€˜π½) 1 ) = ( 1 Β· 𝐴))
187, 17eqtrd 2772 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ (( 1 Β· 𝐴) Β· 1 ) = ( 1 Β· 𝐴))
1918oveq1d 7420 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ ((( 1 Β· 𝐴) Β· 1 ) Β· 𝐢) = (( 1 Β· 𝐴) Β· 𝐢))
2013adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑅 ∈ Rng)
21 eqid 2732 . . . . . . . 8 (2Idealβ€˜π‘…) = (2Idealβ€˜π‘…)
2214, 212idlss 20860 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…) β†’ 𝐼 βŠ† 𝐡)
231, 22syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† 𝐡)
248, 10ringidcl 20076 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π½))
2511, 24syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π½))
261, 3, 82idlbas 20861 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π½) = 𝐼)
2725, 26eleqtrd 2835 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐼)
2823, 27sseldd 3982 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐡)
2928adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ 1 ∈ 𝐡)
30 simprl 769 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
3114, 4rngcl 46649 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 Β· 𝐴) ∈ 𝐡)
3220, 29, 30, 31syl3anc 1371 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ ( 1 Β· 𝐴) ∈ 𝐡)
33 simprr 771 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
3414, 4rngass 46644 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ (( 1 Β· 𝐴) ∈ 𝐡 ∧ 1 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ ((( 1 Β· 𝐴) Β· 1 ) Β· 𝐢) = (( 1 Β· 𝐴) Β· ( 1 Β· 𝐢)))
3520, 32, 29, 33, 34syl13anc 1372 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ ((( 1 Β· 𝐴) Β· 1 ) Β· 𝐢) = (( 1 Β· 𝐴) Β· ( 1 Β· 𝐢)))
3614, 4rngass 46644 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ (( 1 Β· 𝐴) Β· 𝐢) = ( 1 Β· (𝐴 Β· 𝐢)))
3720, 29, 30, 33, 36syl13anc 1372 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ (( 1 Β· 𝐴) Β· 𝐢) = ( 1 Β· (𝐴 Β· 𝐢)))
3819, 35, 373eqtr3d 2780 1 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ (( 1 Β· 𝐴) Β· ( 1 Β· 𝐢)) = ( 1 Β· (𝐴 Β· 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3947  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  .rcmulr 17194  1rcur 19998  Ringcrg 20049  2Idealc2idl 20848  Rngcrng 46634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-subg 18997  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779  df-2idl 20849  df-rng 46635  df-subrng 46709
This theorem is referenced by:  rngqiprnglin  46767
  Copyright terms: Public domain W3C validator