MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngqiprnglin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngqiprnglin 21065
Description: 𝐹 is linear with respect to the multiplication. (Contributed by AV, 28-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rng2idlring.r (𝜑𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i (𝜑𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j 𝐽 = (𝑅s 𝐼)
rng2idlring.u (𝜑𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t · = (.r𝑅)
rng2idlring.1 1 = (1r𝐽)
rngqiprngim.g = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q 𝑄 = (𝑅 /s )
rngqiprngim.c 𝐶 = (Base‘𝑄)
rngqiprngim.p 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
rngqiprngim.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ ⟨[𝑥] , ( 1 · 𝑥)⟩)
Assertion
Ref Expression
rngqiprnglin (𝜑 → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝐹‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝐹𝑎)(.r𝑃)(𝐹𝑏)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,   𝑥, 1   𝑥, ·   𝐵,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏   𝐽,𝑎   𝑄,𝑎   𝐶,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   ,𝑎   1 ,𝑎   · ,𝑎
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥,𝑏)   (𝑏)   · (𝑏)   1 (𝑏)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑏)

Proof of Theorem rngqiprnglin
StepHypRef Expression
1 rngqiprngim.p . . . . 5 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
2 eqid 2731 . . . . 5 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
3 eqid 2731 . . . . 5 (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
4 rngqiprngim.q . . . . . . 7 𝑄 = (𝑅 /s )
54ovexi 7446 . . . . . 6 𝑄 ∈ V
65a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑄 ∈ V)
7 rng2idlring.u . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ Ring)
87adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝐽 ∈ Ring)
9 rng2idlring.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Rng)
10 simpl 482 . . . . . 6 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → 𝑎𝐵)
11 rngqiprngim.g . . . . . . 7 = (𝑅 ~QG 𝐼)
12 rng2idlring.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
1311, 4, 12, 2quseccl0 19104 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑎𝐵) → [𝑎] ∈ (Base‘𝑄))
149, 10, 13syl2an 595 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → [𝑎] ∈ (Base‘𝑄))
15 rng2idlring.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
16 rng2idlring.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑅s 𝐼)
17 rng2idlring.t . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
18 rng2idlring.1 . . . . . . 7 1 = (1r𝐽)
199, 15, 16, 7, 12, 17, 18rngqiprngghmlem1 21050 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → ( 1 · 𝑎) ∈ (Base‘𝐽))
2010, 19sylan2 592 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ( 1 · 𝑎) ∈ (Base‘𝐽))
21 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → 𝑏𝐵)
2211, 4, 12, 2quseccl0 19104 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑏𝐵) → [𝑏] ∈ (Base‘𝑄))
239, 21, 22syl2an 595 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → [𝑏] ∈ (Base‘𝑄))
249, 15, 16, 7, 12, 17, 18rngqiprngghmlem1 21050 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐵) → ( 1 · 𝑏) ∈ (Base‘𝐽))
2521, 24sylan2 592 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ( 1 · 𝑏) ∈ (Base‘𝐽))
269, 15, 16, 7, 12, 17, 18, 11, 4rngqiprnglinlem3 21056 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ([𝑎] (.r𝑄)[𝑏] ) ∈ (Base‘𝑄))
27 eqid 2731 . . . . . 6 (.r𝐽) = (.r𝐽)
283, 27, 8, 20, 25ringcld 20155 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (( 1 · 𝑎)(.r𝐽)( 1 · 𝑏)) ∈ (Base‘𝐽))
29 eqid 2731 . . . . 5 (.r𝑄) = (.r𝑄)
30 eqid 2731 . . . . 5 (.r𝑃) = (.r𝑃)
311, 2, 3, 6, 8, 14, 20, 23, 25, 26, 28, 29, 27, 30xpsmul 17528 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (⟨[𝑎] , ( 1 · 𝑎)⟩(.r𝑃)⟨[𝑏] , ( 1 · 𝑏)⟩) = ⟨([𝑎] (.r𝑄)[𝑏] ), (( 1 · 𝑎)(.r𝐽)( 1 · 𝑏))⟩)
329, 15, 16, 7, 12, 17, 18, 11, 4rngqiprnglinlem2 21055 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → [(𝑎 · 𝑏)] = ([𝑎] (.r𝑄)[𝑏] ))
3332eqcomd 2737 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ([𝑎] (.r𝑄)[𝑏] ) = [(𝑎 · 𝑏)] )
3415adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3516, 17ressmulr 17259 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → · = (.r𝐽))
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → · = (.r𝐽))
3736eqcomd 2737 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (.r𝐽) = · )
3837oveqd 7429 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (( 1 · 𝑎)(.r𝐽)( 1 · 𝑏)) = (( 1 · 𝑎) · ( 1 · 𝑏)))
399, 15, 16, 7, 12, 17, 18rngqiprnglinlem1 21054 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (( 1 · 𝑎) · ( 1 · 𝑏)) = ( 1 · (𝑎 · 𝑏)))
4038, 39eqtrd 2771 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (( 1 · 𝑎)(.r𝐽)( 1 · 𝑏)) = ( 1 · (𝑎 · 𝑏)))
4133, 40opeq12d 4881 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ⟨([𝑎] (.r𝑄)[𝑏] ), (( 1 · 𝑎)(.r𝐽)( 1 · 𝑏))⟩ = ⟨[(𝑎 · 𝑏)] , ( 1 · (𝑎 · 𝑏))⟩)
4231, 41eqtr2d 2772 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ⟨[(𝑎 · 𝑏)] , ( 1 · (𝑎 · 𝑏))⟩ = (⟨[𝑎] , ( 1 · 𝑎)⟩(.r𝑃)⟨[𝑏] , ( 1 · 𝑏)⟩))
439anim1i 614 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)))
44 3anass 1094 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) ↔ (𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)))
4543, 44sylibr 233 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵))
4612, 17rngcl 20062 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
4745, 46syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
48 rngqiprngim.c . . . . 5 𝐶 = (Base‘𝑄)
49 rngqiprngim.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ ⟨[𝑥] , ( 1 · 𝑥)⟩)
509, 15, 16, 7, 12, 17, 18, 11, 4, 48, 1, 49rngqiprngimfv 21061 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑎 · 𝑏)) = ⟨[(𝑎 · 𝑏)] , ( 1 · (𝑎 · 𝑏))⟩)
5147, 50syldan 590 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹‘(𝑎 · 𝑏)) = ⟨[(𝑎 · 𝑏)] , ( 1 · (𝑎 · 𝑏))⟩)
529, 15, 16, 7, 12, 17, 18, 11, 4, 48, 1, 49rngqiprngimfv 21061 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝐹𝑎) = ⟨[𝑎] , ( 1 · 𝑎)⟩)
5310, 52sylan2 592 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹𝑎) = ⟨[𝑎] , ( 1 · 𝑎)⟩)
549, 15, 16, 7, 12, 17, 18, 11, 4, 48, 1, 49rngqiprngimfv 21061 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝐹𝑏) = ⟨[𝑏] , ( 1 · 𝑏)⟩)
5521, 54sylan2 592 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹𝑏) = ⟨[𝑏] , ( 1 · 𝑏)⟩)
5653, 55oveq12d 7430 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝐹𝑎)(.r𝑃)(𝐹𝑏)) = (⟨[𝑎] , ( 1 · 𝑎)⟩(.r𝑃)⟨[𝑏] , ( 1 · 𝑏)⟩))
5742, 51, 563eqtr4d 2781 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝐹𝑎)(.r𝑃)(𝐹𝑏)))
5857ralrimivva 3199 1 (𝜑 → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝐹‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝐹𝑎)(.r𝑃)(𝐹𝑏)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  Vcvv 3473  cop 4634  cmpt 5231  cfv 6543  (class class class)co 7412  [cec 8707  Basecbs 17151  s cress 17180  .rcmulr 17205   /s cqus 17458   ×s cxps 17459   ~QG cqg 19042  Rngcrng 20050  1rcur 20079  Ringcrg 20131  2Idealc2idl 21009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-ec 8711  df-qs 8715  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-prds 17400  df-imas 17461  df-qus 17462  df-xps 17463  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-grp 18861  df-minusg 18862  df-sbg 18863  df-subg 19043  df-eqg 19045  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20033  df-rng 20051  df-ur 20080  df-ring 20133  df-oppr 20229  df-subrng 20438  df-lss 20691  df-sra 20934  df-rgmod 20935  df-lidl 20936  df-2idl 21010
This theorem is referenced by:  rngqiprngho  21066
  Copyright terms: Public domain W3C validator