Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngqiprnglin Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rngqiprnglin 46767
Description: 𝐹 is linear with respect to the multiplication. (Contributed by AV, 28-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rng2idlring.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
rng2idlring.j 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
rng2idlring.u (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
rng2idlring.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
rng2idlring.1 1 = (1rβ€˜π½)
rngqiprngim.g ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngim.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘„)
rngqiprngim.p 𝑃 = (𝑄 Γ—s 𝐽)
rngqiprngim.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ⟨[π‘₯] ∼ , ( 1 Β· π‘₯)⟩)
Assertion
Ref Expression
rngqiprnglin (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(π‘Ž Β· 𝑏)) = ((πΉβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘ƒ)(πΉβ€˜π‘)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯   π‘₯, ∼   π‘₯, 1   π‘₯, Β·   𝐡,π‘Ž,𝑏   𝐹,π‘Ž,𝑏   𝑃,π‘Ž,𝑏   𝑅,π‘Ž,𝑏,π‘₯   πœ‘,π‘Ž,𝑏   𝐽,π‘Ž   𝑄,π‘Ž   𝐢,π‘Ž,𝑏   𝐼,π‘Ž,𝑏   ∼ ,π‘Ž   1 ,π‘Ž   Β· ,π‘Ž
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘₯)   𝑄(π‘₯,𝑏)   ∼ (𝑏)   Β· (𝑏)   1 (𝑏)   𝐹(π‘₯)   𝐽(π‘₯,𝑏)
Proof of Theorem rngqiprnglin
StepHypRef Expression
1 rngqiprngim.p . . . . 5 𝑃 = (𝑄 Γ—s 𝐽)
2 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘„) = (Baseβ€˜π‘„)
3 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π½) = (Baseβ€˜π½)
4 rngqiprngim.q . . . . . . 7 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
54ovexi 7439 . . . . . 6 𝑄 ∈ V
65a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑄 ∈ V)
7 rng2idlring.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Ring)
87adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐽 ∈ Ring)
9 rng2idlring.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
10 simpl 483 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
11 rngqiprngim.g . . . . . . 7 ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
12 rng2idlring.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
1311, 4, 12, 2quseccl0 19058 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ [π‘Ž] ∼ ∈ (Baseβ€˜π‘„))
149, 10, 13syl2an 596 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ [π‘Ž] ∼ ∈ (Baseβ€˜π‘„))
15 rng2idlring.i . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
16 rng2idlring.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
17 rng2idlring.t . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜π‘…)
18 rng2idlring.1 . . . . . . 7 1 = (1rβ€˜π½)
199, 15, 16, 7, 12, 17, 18rngqiprngghmlem1 46752 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ( 1 Β· π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜π½))
2010, 19sylan2 593 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ ( 1 Β· π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜π½))
21 simpr 485 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
2211, 4, 12, 2quseccl0 19058 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ [𝑏] ∼ ∈ (Baseβ€˜π‘„))
239, 21, 22syl2an 596 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ [𝑏] ∼ ∈ (Baseβ€˜π‘„))
249, 15, 16, 7, 12, 17, 18rngqiprngghmlem1 46752 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 Β· 𝑏) ∈ (Baseβ€˜π½))
2521, 24sylan2 593 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ ( 1 Β· 𝑏) ∈ (Baseβ€˜π½))
269, 15, 16, 7, 12, 17, 18, 11, 4rngqiprnglinlem3 46758 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ ([π‘Ž] ∼ (.rβ€˜π‘„)[𝑏] ∼ ) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
27 eqid 2732 . . . . . 6 (.rβ€˜π½) = (.rβ€˜π½)
283, 27, 8, 20, 25ringcld 20073 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (( 1 Β· π‘Ž)(.rβ€˜π½)( 1 Β· 𝑏)) ∈ (Baseβ€˜π½))
29 eqid 2732 . . . . 5 (.rβ€˜π‘„) = (.rβ€˜π‘„)
30 eqid 2732 . . . . 5 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
311, 2, 3, 6, 8, 14, 20, 23, 25, 26, 28, 29, 27, 30xpsmul 17517 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (⟨[π‘Ž] ∼ , ( 1 Β· π‘Ž)⟩(.rβ€˜π‘ƒ)⟨[𝑏] ∼ , ( 1 Β· 𝑏)⟩) = ⟨([π‘Ž] ∼ (.rβ€˜π‘„)[𝑏] ∼ ), (( 1 Β· π‘Ž)(.rβ€˜π½)( 1 Β· 𝑏))⟩)
329, 15, 16, 7, 12, 17, 18, 11, 4rngqiprnglinlem2 46757 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ [(π‘Ž Β· 𝑏)] ∼ = ([π‘Ž] ∼ (.rβ€˜π‘„)[𝑏] ∼ ))
3332eqcomd 2738 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ ([π‘Ž] ∼ (.rβ€˜π‘„)[𝑏] ∼ ) = [(π‘Ž Β· 𝑏)] ∼ )
3415adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
3516, 17ressmulr 17248 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…) β†’ Β· = (.rβ€˜π½))
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ Β· = (.rβ€˜π½))
3736eqcomd 2738 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (.rβ€˜π½) = Β· )
3837oveqd 7422 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (( 1 Β· π‘Ž)(.rβ€˜π½)( 1 Β· 𝑏)) = (( 1 Β· π‘Ž) Β· ( 1 Β· 𝑏)))
399, 15, 16, 7, 12, 17, 18rngqiprnglinlem1 46756 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (( 1 Β· π‘Ž) Β· ( 1 Β· 𝑏)) = ( 1 Β· (π‘Ž Β· 𝑏)))
4038, 39eqtrd 2772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (( 1 Β· π‘Ž)(.rβ€˜π½)( 1 Β· 𝑏)) = ( 1 Β· (π‘Ž Β· 𝑏)))
4133, 40opeq12d 4880 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ ⟨([π‘Ž] ∼ (.rβ€˜π‘„)[𝑏] ∼ ), (( 1 Β· π‘Ž)(.rβ€˜π½)( 1 Β· 𝑏))⟩ = ⟨[(π‘Ž Β· 𝑏)] ∼ , ( 1 Β· (π‘Ž Β· 𝑏))⟩)
4231, 41eqtr2d 2773 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ ⟨[(π‘Ž Β· 𝑏)] ∼ , ( 1 Β· (π‘Ž Β· 𝑏))⟩ = (⟨[π‘Ž] ∼ , ( 1 Β· π‘Ž)⟩(.rβ€˜π‘ƒ)⟨[𝑏] ∼ , ( 1 Β· 𝑏)⟩))
439anim1i 615 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑅 ∈ Rng ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)))
44 3anass 1095 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ↔ (𝑅 ∈ Rng ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)))
4543, 44sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑅 ∈ Rng ∧ π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡))
4612, 17rngcl 46649 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ 𝐡)
4745, 46syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ 𝐡)
48 rngqiprngim.c . . . . 5 𝐢 = (Baseβ€˜π‘„)
49 rngqiprngim.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ⟨[π‘₯] ∼ , ( 1 Β· π‘₯)⟩)
509, 15, 16, 7, 12, 17, 18, 11, 4, 48, 1, 49rngqiprngimfv 46763 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž Β· 𝑏)) = ⟨[(π‘Ž Β· 𝑏)] ∼ , ( 1 Β· (π‘Ž Β· 𝑏))⟩)
5147, 50syldan 591 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž Β· 𝑏)) = ⟨[(π‘Ž Β· 𝑏)] ∼ , ( 1 Β· (π‘Ž Β· 𝑏))⟩)
529, 15, 16, 7, 12, 17, 18, 11, 4, 48, 1, 49rngqiprngimfv 46763 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = ⟨[π‘Ž] ∼ , ( 1 Β· π‘Ž)⟩)
5310, 52sylan2 593 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = ⟨[π‘Ž] ∼ , ( 1 Β· π‘Ž)⟩)
549, 15, 16, 7, 12, 17, 18, 11, 4, 48, 1, 49rngqiprngimfv 46763 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘) = ⟨[𝑏] ∼ , ( 1 Β· 𝑏)⟩)
5521, 54sylan2 593 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) = ⟨[𝑏] ∼ , ( 1 Β· 𝑏)⟩)
5653, 55oveq12d 7423 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘ƒ)(πΉβ€˜π‘)) = (⟨[π‘Ž] ∼ , ( 1 Β· π‘Ž)⟩(.rβ€˜π‘ƒ)⟨[𝑏] ∼ , ( 1 Β· 𝑏)⟩))
5742, 51, 563eqtr4d 2782 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž Β· 𝑏)) = ((πΉβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘ƒ)(πΉβ€˜π‘)))
5857ralrimivva 3200 1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(π‘Ž Β· 𝑏)) = ((πΉβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘ƒ)(πΉβ€˜π‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474  βŸ¨cop 4633   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  [cec 8697  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  .rcmulr 17194   /s cqus 17447   Γ—s cxps 17448   ~QG cqg 18996  1rcur 19998  Ringcrg 20049  2Idealc2idl 20848  Rngcrng 46634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-prds 17389  df-imas 17450  df-qus 17451  df-xps 17452  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-eqg 18999  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779  df-2idl 20849  df-rng 46635  df-subrng 46709
This theorem is referenced by:  rngqiprngho  46768
  Copyright terms: Public domain W3C validator