MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngqiprnglin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngqiprnglin 21312
Description: 𝐹 is linear with respect to the multiplication. (Contributed by AV, 28-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rng2idlring.r (𝜑𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i (𝜑𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j 𝐽 = (𝑅s 𝐼)
rng2idlring.u (𝜑𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t · = (.r𝑅)
rng2idlring.1 1 = (1r𝐽)
rngqiprngim.g = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q 𝑄 = (𝑅 /s )
rngqiprngim.c 𝐶 = (Base‘𝑄)
rngqiprngim.p 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
rngqiprngim.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ ⟨[𝑥] , ( 1 · 𝑥)⟩)
Assertion
Ref Expression
rngqiprnglin (𝜑 → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝐹‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝐹𝑎)(.r𝑃)(𝐹𝑏)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,   𝑥, 1   𝑥, ·   𝐵,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏   𝐽,𝑎   𝑄,𝑎   𝐶,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   ,𝑎   1 ,𝑎   · ,𝑎
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥,𝑏)   (𝑏)   · (𝑏)   1 (𝑏)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑏)

Proof of Theorem rngqiprnglin
StepHypRef Expression
1 rngqiprngim.p . . . . 5 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
2 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
3 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
4 rngqiprngim.q . . . . . . 7 𝑄 = (𝑅 /s )
54ovexi 7465 . . . . . 6 𝑄 ∈ V
65a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑄 ∈ V)
7 rng2idlring.u . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ Ring)
87adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝐽 ∈ Ring)
9 rng2idlring.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Rng)
10 simpl 482 . . . . . 6 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → 𝑎𝐵)
11 rngqiprngim.g . . . . . . 7 = (𝑅 ~QG 𝐼)
12 rng2idlring.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
1311, 4, 12, 2quseccl0 19203 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑎𝐵) → [𝑎] ∈ (Base‘𝑄))
149, 10, 13syl2an 596 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → [𝑎] ∈ (Base‘𝑄))
15 rng2idlring.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
16 rng2idlring.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑅s 𝐼)
17 rng2idlring.t . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
18 rng2idlring.1 . . . . . . 7 1 = (1r𝐽)
199, 15, 16, 7, 12, 17, 18rngqiprngghmlem1 21297 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → ( 1 · 𝑎) ∈ (Base‘𝐽))
2010, 19sylan2 593 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ( 1 · 𝑎) ∈ (Base‘𝐽))
21 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → 𝑏𝐵)
2211, 4, 12, 2quseccl0 19203 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑏𝐵) → [𝑏] ∈ (Base‘𝑄))
239, 21, 22syl2an 596 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → [𝑏] ∈ (Base‘𝑄))
249, 15, 16, 7, 12, 17, 18rngqiprngghmlem1 21297 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐵) → ( 1 · 𝑏) ∈ (Base‘𝐽))
2521, 24sylan2 593 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ( 1 · 𝑏) ∈ (Base‘𝐽))
269, 15, 16, 7, 12, 17, 18, 11, 4rngqiprnglinlem3 21303 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ([𝑎] (.r𝑄)[𝑏] ) ∈ (Base‘𝑄))
27 eqid 2737 . . . . . 6 (.r𝐽) = (.r𝐽)
283, 27, 8, 20, 25ringcld 20257 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (( 1 · 𝑎)(.r𝐽)( 1 · 𝑏)) ∈ (Base‘𝐽))
29 eqid 2737 . . . . 5 (.r𝑄) = (.r𝑄)
30 eqid 2737 . . . . 5 (.r𝑃) = (.r𝑃)
311, 2, 3, 6, 8, 14, 20, 23, 25, 26, 28, 29, 27, 30xpsmul 17620 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (⟨[𝑎] , ( 1 · 𝑎)⟩(.r𝑃)⟨[𝑏] , ( 1 · 𝑏)⟩) = ⟨([𝑎] (.r𝑄)[𝑏] ), (( 1 · 𝑎)(.r𝐽)( 1 · 𝑏))⟩)
329, 15, 16, 7, 12, 17, 18, 11, 4rngqiprnglinlem2 21302 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → [(𝑎 · 𝑏)] = ([𝑎] (.r𝑄)[𝑏] ))
3332eqcomd 2743 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ([𝑎] (.r𝑄)[𝑏] ) = [(𝑎 · 𝑏)] )
3415adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3516, 17ressmulr 17351 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → · = (.r𝐽))
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → · = (.r𝐽))
3736eqcomd 2743 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (.r𝐽) = · )
3837oveqd 7448 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (( 1 · 𝑎)(.r𝐽)( 1 · 𝑏)) = (( 1 · 𝑎) · ( 1 · 𝑏)))
399, 15, 16, 7, 12, 17, 18rngqiprnglinlem1 21301 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (( 1 · 𝑎) · ( 1 · 𝑏)) = ( 1 · (𝑎 · 𝑏)))
4038, 39eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (( 1 · 𝑎)(.r𝐽)( 1 · 𝑏)) = ( 1 · (𝑎 · 𝑏)))
4133, 40opeq12d 4881 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ⟨([𝑎] (.r𝑄)[𝑏] ), (( 1 · 𝑎)(.r𝐽)( 1 · 𝑏))⟩ = ⟨[(𝑎 · 𝑏)] , ( 1 · (𝑎 · 𝑏))⟩)
4231, 41eqtr2d 2778 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ⟨[(𝑎 · 𝑏)] , ( 1 · (𝑎 · 𝑏))⟩ = (⟨[𝑎] , ( 1 · 𝑎)⟩(.r𝑃)⟨[𝑏] , ( 1 · 𝑏)⟩))
439anim1i 615 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)))
44 3anass 1095 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) ↔ (𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)))
4543, 44sylibr 234 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵))
4612, 17rngcl 20161 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
4745, 46syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
48 rngqiprngim.c . . . . 5 𝐶 = (Base‘𝑄)
49 rngqiprngim.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ ⟨[𝑥] , ( 1 · 𝑥)⟩)
509, 15, 16, 7, 12, 17, 18, 11, 4, 48, 1, 49rngqiprngimfv 21308 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑎 · 𝑏)) = ⟨[(𝑎 · 𝑏)] , ( 1 · (𝑎 · 𝑏))⟩)
5147, 50syldan 591 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹‘(𝑎 · 𝑏)) = ⟨[(𝑎 · 𝑏)] , ( 1 · (𝑎 · 𝑏))⟩)
529, 15, 16, 7, 12, 17, 18, 11, 4, 48, 1, 49rngqiprngimfv 21308 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝐹𝑎) = ⟨[𝑎] , ( 1 · 𝑎)⟩)
5310, 52sylan2 593 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹𝑎) = ⟨[𝑎] , ( 1 · 𝑎)⟩)
549, 15, 16, 7, 12, 17, 18, 11, 4, 48, 1, 49rngqiprngimfv 21308 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝐹𝑏) = ⟨[𝑏] , ( 1 · 𝑏)⟩)
5521, 54sylan2 593 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹𝑏) = ⟨[𝑏] , ( 1 · 𝑏)⟩)
5653, 55oveq12d 7449 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝐹𝑎)(.r𝑃)(𝐹𝑏)) = (⟨[𝑎] , ( 1 · 𝑎)⟩(.r𝑃)⟨[𝑏] , ( 1 · 𝑏)⟩))
5742, 51, 563eqtr4d 2787 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝐹𝑎)(.r𝑃)(𝐹𝑏)))
5857ralrimivva 3202 1 (𝜑 → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝐹‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝐹𝑎)(.r𝑃)(𝐹𝑏)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  cop 4632  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  [cec 8743  Basecbs 17247  s cress 17274  .rcmulr 17298   /s cqus 17550   ×s cxps 17551   ~QG cqg 19140  Rngcrng 20149  1rcur 20178  Ringcrg 20230  2Idealc2idl 21259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-imas 17553  df-qus 17554  df-xps 17555  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-eqg 19143  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-subrng 20546  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-2idl 21260
This theorem is referenced by:  rngqiprngho  21313
  Copyright terms: Public domain W3C validator