Theorem rngqiprnglinlem2 21245

Description: Lemma 2 for rngqiprnglin 21255. (Contributed by AV, 28-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngim.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )

Assertion

Ref	Expression
rngqiprnglinlem2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → [(𝐴 · 𝐶)] ∼ = ([𝐴] ∼ (.r‘𝑄)[𝐶] ∼ ))

Proof of Theorem rngqiprnglinlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlring.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rng2idlring.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		rng2idlring.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		rng2idlring.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
5		ringrng 20218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Rng)
7	3, 6	eqeltrrid 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
8	1, 2, 7	rng2idlsubrng 21218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅))
9		subrngsubg 20483	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
11	1, 2, 10	3jca 1128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)))
12		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
13		rngqiprngim.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
14		rngqiprngim.g	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
15	14	oveq2i 7367	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 /s ∼ ) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
16	13, 15	eqtri 2757	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
17		rng2idlring.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
18		rng2idlring.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
19		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
20	12, 16, 17, 18, 19	qusmulrng 21235	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ([𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)(.r‘𝑄)[𝐶](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝐴 · 𝐶)](𝑅 ~QG 𝐼))
21	11, 20	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ([𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)(.r‘𝑄)[𝐶](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝐴 · 𝐶)](𝑅 ~QG 𝐼))
22	14	eceq2i 8675	. . . 4 ⊢ [𝐴] ∼ = [𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)
23	14	eceq2i 8675	. . . 4 ⊢ [𝐶] ∼ = [𝐶](𝑅 ~QG 𝐼)
24	22, 23	oveq12i 7368	. . 3 ⊢ ([𝐴] ∼ (.r‘𝑄)[𝐶] ∼ ) = ([𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)(.r‘𝑄)[𝐶](𝑅 ~QG 𝐼))
25	14	eceq2i 8675	. . 3 ⊢ [(𝐴 · 𝐶)] ∼ = [(𝐴 · 𝐶)](𝑅 ~QG 𝐼)
26	21, 24, 25	3eqtr4g 2794	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ([𝐴] ∼ (.r‘𝑄)[𝐶] ∼ ) = [(𝐴 · 𝐶)] ∼ )
27	26	eqcomd 2740	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → [(𝐴 · 𝐶)] ∼ = ([𝐴] ∼ (.r‘𝑄)[𝐶] ∼ ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  [cec 8631  Basecbs 17134   ↾_s cress 17155  ._rcmulr 17176   /_s cqus 17424  SubGrpcsubg 19048   ~_QG cqg 19050  Rngcrng 20085  1_rcur 20114  Ringcrg 20166  SubRngcsubrng 20476  2Idealc2idl 21202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-ec 8635  df-qs 8639  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-0g 17359  df-imas 17427  df-qus 17428  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19051  df-eqg 19053  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20271  df-subrng 20477  df-lss 20881  df-sra 21123  df-rgmod 21124  df-lidl 21161  df-2idl 21203

This theorem is referenced by:  rngqiprnglinlem3  21246  rngqiprnglin  21255