Theorem rngqiprnglinlem2 21432

Description: Lemma 2 for rngqiprnglin 21442. (Contributed by AV, 28-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngim.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )

Assertion

Ref	Expression
rngqiprnglinlem2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → [(𝐴 · 𝐶)] ∼ = ([𝐴] ∼ (.r‘𝑄)[𝐶] ∼ ))

Proof of Theorem rngqiprnglinlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlring.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rng2idlring.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		rng2idlring.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		rng2idlring.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
5		ringrng 20364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Rng)
7	3, 6	eqeltrrid 2868	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
8	1, 2, 7	rng2idlsubrng 21404	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅))
9		subrngsubg 20651	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
10	8, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
11	1, 2, 10	3jca 1146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)))
12		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
13		rngqiprngim.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
14		rngqiprngim.g	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
15	14	oveq2i 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 /s ∼ ) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
16	13, 15	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
17		rng2idlring.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
18		rng2idlring.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
19		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
20	12, 16, 17, 18, 19	qusmulrng 21422	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ([𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)(.r‘𝑄)[𝐶](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝐴 · 𝐶)](𝑅 ~QG 𝐼))
21	11, 20	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ([𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)(.r‘𝑄)[𝐶](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝐴 · 𝐶)](𝑅 ~QG 𝐼))
22	14	eceq2i 8733	. . . 4 ⊢ [𝐴] ∼ = [𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)
23	14	eceq2i 8733	. . . 4 ⊢ [𝐶] ∼ = [𝐶](𝑅 ~QG 𝐼)
24	22, 23	oveq12i 7422	. . 3 ⊢ ([𝐴] ∼ (.r‘𝑄)[𝐶] ∼ ) = ([𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)(.r‘𝑄)[𝐶](𝑅 ~QG 𝐼))
25	14	eceq2i 8733	. . 3 ⊢ [(𝐴 · 𝐶)] ∼ = [(𝐴 · 𝐶)](𝑅 ~QG 𝐼)
26	21, 24, 25	3eqtr4g 2823	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ([𝐴] ∼ (.r‘𝑄)[𝐶] ∼ ) = [(𝐴 · 𝐶)] ∼ )
27	26	eqcomd 2769	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → [(𝐴 · 𝐶)] ∼ = ([𝐴] ∼ (.r‘𝑄)[𝐶] ∼ ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  [cec 8688  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285  ._rcmulr 17306   /_s cqus 17554  SubGrpcsubg 19181   ~_QG cqg 19183  Rngcrng 20225  1_rcur 20258  Ringcrg 20310  SubRngcsubrng 20644  2Idealc2idl 21388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-ec 8692  df-qs 8696  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-0g 17489  df-imas 17557  df-qus 17558  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-subg 19184  df-eqg 19186  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-oppr 20415  df-subrng 20645  df-lss 21053  df-sra 21294  df-rgmod 21295  df-lidl 21332  df-2idl 21389

This theorem is referenced by:  rngqiprnglinlem3  21433  rngqiprnglin  21442