Theorem rngqiprnglinlem2 21264

Description: Lemma 2 for rngqiprnglin 21274. (Contributed by AV, 28-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngim.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )

Assertion

Ref	Expression
rngqiprnglinlem2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → [(𝐴 · 𝐶)] ∼ = ([𝐴] ∼ (.r‘𝑄)[𝐶] ∼ ))

Proof of Theorem rngqiprnglinlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlring.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rng2idlring.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		rng2idlring.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		rng2idlring.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
5		ringrng 20250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Rng)
7	3, 6	eqeltrrid 2838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
8	1, 2, 7	rng2idlsubrng 21237	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅))
9		subrngsubg 20520	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
11	1, 2, 10	3jca 1128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)))
12		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
13		rngqiprngim.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
14		rngqiprngim.g	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
15	14	oveq2i 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 /s ∼ ) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
16	13, 15	eqtri 2757	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
17		rng2idlring.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
18		rng2idlring.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
19		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
20	12, 16, 17, 18, 19	qusmulrng 21254	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ([𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)(.r‘𝑄)[𝐶](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝐴 · 𝐶)](𝑅 ~QG 𝐼))
21	11, 20	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ([𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)(.r‘𝑄)[𝐶](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝐴 · 𝐶)](𝑅 ~QG 𝐼))
22	14	eceq2i 8769	. . . 4 ⊢ [𝐴] ∼ = [𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)
23	14	eceq2i 8769	. . . 4 ⊢ [𝐶] ∼ = [𝐶](𝑅 ~QG 𝐼)
24	22, 23	oveq12i 7425	. . 3 ⊢ ([𝐴] ∼ (.r‘𝑄)[𝐶] ∼ ) = ([𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)(.r‘𝑄)[𝐶](𝑅 ~QG 𝐼))
25	14	eceq2i 8769	. . 3 ⊢ [(𝐴 · 𝐶)] ∼ = [(𝐴 · 𝐶)](𝑅 ~QG 𝐼)
26	21, 24, 25	3eqtr4g 2794	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ([𝐴] ∼ (.r‘𝑄)[𝐶] ∼ ) = [(𝐴 · 𝐶)] ∼ )
27	26	eqcomd 2740	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → [(𝐴 · 𝐶)] ∼ = ([𝐴] ∼ (.r‘𝑄)[𝐶] ∼ ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  [cec 8725  Basecbs 17229   ↾_s cress 17252  ._rcmulr 17274   /_s cqus 17521  SubGrpcsubg 19107   ~_QG cqg 19109  Rngcrng 20117  1_rcur 20146  Ringcrg 20198  SubRngcsubrng 20513  2Idealc2idl 21221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-tpos 8233  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8727  df-ec 8729  df-qs 8733  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-fz 13530  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-mulr 17287  df-sca 17289  df-vsca 17290  df-ip 17291  df-tset 17292  df-ple 17293  df-ds 17295  df-0g 17457  df-imas 17524  df-qus 17525  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-grp 18923  df-minusg 18924  df-sbg 18925  df-subg 19110  df-eqg 19112  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-oppr 20302  df-subrng 20514  df-lss 20898  df-sra 21140  df-rgmod 21141  df-lidl 21180  df-2idl 21222

This theorem is referenced by:  rngqiprnglinlem3  21265  rngqiprnglin  21274