Theorem rngqiprnglinlem2 21282

Description: Lemma 2 for rngqiprnglin 21292. (Contributed by AV, 28-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngim.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )

Assertion

Ref	Expression
rngqiprnglinlem2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → [(𝐴 · 𝐶)] ∼ = ([𝐴] ∼ (.r‘𝑄)[𝐶] ∼ ))

Proof of Theorem rngqiprnglinlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlring.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rng2idlring.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		rng2idlring.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		rng2idlring.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
5		ringrng 20257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Rng)
7	3, 6	eqeltrrid 2842	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
8	1, 2, 7	rng2idlsubrng 21255	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅))
9		subrngsubg 20520	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
11	1, 2, 10	3jca 1129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)))
12		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
13		rngqiprngim.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
14		rngqiprngim.g	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
15	14	oveq2i 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 /s ∼ ) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
16	13, 15	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
17		rng2idlring.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
18		rng2idlring.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
19		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
20	12, 16, 17, 18, 19	qusmulrng 21272	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ([𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)(.r‘𝑄)[𝐶](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝐴 · 𝐶)](𝑅 ~QG 𝐼))
21	11, 20	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ([𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)(.r‘𝑄)[𝐶](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝐴 · 𝐶)](𝑅 ~QG 𝐼))
22	14	eceq2i 8679	. . . 4 ⊢ [𝐴] ∼ = [𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)
23	14	eceq2i 8679	. . . 4 ⊢ [𝐶] ∼ = [𝐶](𝑅 ~QG 𝐼)
24	22, 23	oveq12i 7372	. . 3 ⊢ ([𝐴] ∼ (.r‘𝑄)[𝐶] ∼ ) = ([𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)(.r‘𝑄)[𝐶](𝑅 ~QG 𝐼))
25	14	eceq2i 8679	. . 3 ⊢ [(𝐴 · 𝐶)] ∼ = [(𝐴 · 𝐶)](𝑅 ~QG 𝐼)
26	21, 24, 25	3eqtr4g 2797	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ([𝐴] ∼ (.r‘𝑄)[𝐶] ∼ ) = [(𝐴 · 𝐶)] ∼ )
27	26	eqcomd 2743	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → [(𝐴 · 𝐶)] ∼ = ([𝐴] ∼ (.r‘𝑄)[𝐶] ∼ ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  [cec 8634  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  ._rcmulr 17212   /_s cqus 17460  SubGrpcsubg 19087   ~_QG cqg 19089  Rngcrng 20124  1_rcur 20153  Ringcrg 20205  SubRngcsubrng 20513  2Idealc2idl 21239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-ec 8638  df-qs 8642  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-0g 17395  df-imas 17463  df-qus 17464  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-eqg 19092  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-subrng 20514  df-lss 20918  df-sra 21160  df-rgmod 21161  df-lidl 21198  df-2idl 21240

This theorem is referenced by:  rngqiprnglinlem3  21283  rngqiprnglin  21292