Theorem rnglidlmcl 21525

Description: A (left) ideal containing the zero element is closed under left-multiplication by elements of the full non-unital ring. If the ring is not a unital ring, and the ideal does not contain the zero element of the ring, then the closure cannot be proven as in lidlmcl 21534. (Contributed by AV, 18-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnglidlmcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
rnglidlmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rnglidlmcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rnglidlmcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rnglidlmcl	⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem rnglidlmcl

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnglidlmcl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
2		rnglidlmcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		rnglidlmcl.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	islidl 21524	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
6		oveq1 7450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 𝑎) = (𝑋 · 𝑎))
7	6	oveq1d 7458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) = ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏))
8	7	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
9	8	ralbidv 3189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
10		oveq2 7451	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑎) = (𝑋 · 𝑌))
11	10	oveq1d 7458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏))
12	11	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
13	12	ralbidv 3189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
14	9, 13	rspc2v 3590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
15	14	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
16		oveq2 7451	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = 0 → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ))
17	16	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 0 → (((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝐼))
18	17	rspcv 3576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( 0 ∈ 𝐼 → (∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝐼))
19	18	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) → (∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝐼))
20		rnglidlmcl.z	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
21		rnggrp 20410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
22	21	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) → 𝑅 ∈ Grp)
23	22	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Grp)
24	23	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝑅 ∈ Grp)
25		simpll1 1231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝑅 ∈ Rng)
26		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
27		ssel 3907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝐵 → (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ 𝐵))
28	27	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ 𝐵))
29	28	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) → (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ 𝐵))
30	29	adantld 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ 𝐵))
31	30	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
32	2, 4	rngcl 20416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
33	25, 26, 31, 32	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
34	2, 3, 20, 24, 33	grpridd 19210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) = (𝑋 · 𝑌))
35	34	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝐼 ↔ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))
36	35	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝐼 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))
37	36	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝐼 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)))
38	19, 37	syl5d 74	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)))
39	38	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))
40	15, 39	syld 48	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))
41	40	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)))
42	41	com23 87	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)))
43	42	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) → ( 0 ∈ 𝐼 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))))
44	43	com23 87	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ( 0 ∈ 𝐼 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))))
45	44	3exp 1137	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝐼 ⊆ 𝐵 → (𝐼 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ( 0 ∈ 𝐼 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))))))
46	45	3impd 1367	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ((𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼) → ( 0 ∈ 𝐼 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))))
47	5, 46	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝐼 ∈ 𝑈 → ( 0 ∈ 𝐼 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))))
48	47	3imp1 1366	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457  ._rcmulr 17458  0_gc0g 17639  Grpcgrp 19173  Rngcrng 20404  LIdealclidl 21514

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-lss 21237  df-sra 21478  df-rgmod 21479  df-lidl 21516

This theorem is used by:  rngridlmcl  21526  dflidl2rng  21527  lidlmcl  21534  rnglidlmmgm  21563  2idlcpblrng  21595  rng2idl1cntr  21631