MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rnglidlmcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rnglidlmcl 21075
Description: A (left) ideal containing the zero element is closed under left-multiplication by elements of the full non-unital ring. If the ring is not a unital ring, and the ideal does not contain the zero element of the ring, then the closure cannot be proven as in lidlmcl 21084. (Contributed by AV, 18-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rnglidlmcl.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
rnglidlmcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
rnglidlmcl.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
rnglidlmcl.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
rnglidlmcl (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼)
Proof of Theorem rnglidlmcl
Dummy variables π‘₯ π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rnglidlmcl.u . . . 4 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
2 rnglidlmcl.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
3 eqid 2726 . . . 4 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
4 rnglidlmcl.t . . . 4 Β· = (.rβ€˜π‘…)
51, 2, 3, 4islidl 21074 . . 3 (𝐼 ∈ π‘ˆ ↔ (𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼))
6 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ Β· π‘Ž) = (𝑋 Β· π‘Ž))
76oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) = ((𝑋 Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏))
87eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼))
98ralbidv 3171 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((𝑋 Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼))
10 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = π‘Œ β†’ (𝑋 Β· π‘Ž) = (𝑋 Β· π‘Œ))
1110oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = π‘Œ β†’ ((𝑋 Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) = ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏))
1211eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = π‘Œ β†’ (((𝑋 Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼))
1312ralbidv 3171 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = π‘Œ β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((𝑋 Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼))
149, 13rspc2v 3617 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼))
1514adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼))
16 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 0 β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏) = ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…) 0 ))
1716eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 0 β†’ (((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…) 0 ) ∈ 𝐼))
1817rspcv 3602 . . . . . . . . . . . . 13 ( 0 ∈ 𝐼 β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…) 0 ) ∈ 𝐼))
1918adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…) 0 ) ∈ 𝐼))
20 rnglidlmcl.z . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0gβ€˜π‘…)
21 rnggrp 20063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ Rng β†’ 𝑅 ∈ Grp)
22213ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
25 simpll1 1209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ 𝑅 ∈ Rng)
26 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
27 ssel 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼 βŠ† 𝐡 β†’ (π‘Œ ∈ 𝐼 β†’ π‘Œ ∈ 𝐡))
28273ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐼 β†’ π‘Œ ∈ 𝐡))
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐼 β†’ π‘Œ ∈ 𝐡))
3029adantld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡))
3130imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
322, 4rngcl 20069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
3325, 26, 31, 32syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
342, 3, 20, 24, 33grpridd 18900 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…) 0 ) = (𝑋 Β· π‘Œ))
3534eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ (((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…) 0 ) ∈ 𝐼 ↔ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼))
3635biimpd 228 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ (((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…) 0 ) ∈ 𝐼 β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼))
3736ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…) 0 ) ∈ 𝐼 β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼)))
3819, 37syl5d 73 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼)))
3938imp 406 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼))
4015, 39syld 47 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼))
4140ex 412 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼)))
4241com23 86 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼)))
4342ex 412 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ ( 0 ∈ 𝐼 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼))))
4443com23 86 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ ( 0 ∈ 𝐼 β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼))))
45443exp 1116 . . . 4 (𝑅 ∈ Rng β†’ (𝐼 βŠ† 𝐡 β†’ (𝐼 β‰  βˆ… β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ ( 0 ∈ 𝐼 β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼))))))
46453impd 1345 . . 3 (𝑅 ∈ Rng β†’ ((𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼) β†’ ( 0 ∈ 𝐼 β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼))))
475, 46biimtrid 241 . 2 (𝑅 ∈ Rng β†’ (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ ( 0 ∈ 𝐼 β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼))))
48473imp1 1344 1 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  0gc0g 17394  Grpcgrp 18863  Rngcrng 20057  LIdealclidl 21065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067
This theorem is referenced by:  rngridlmcl  21076  dflidl2rng  21077  lidlmcl  21084  rnglidlmmgm  21103  2idlcpblrng  21128  rng2idl1cntr  21158
  Copyright terms: Public domain W3C validator