Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rnglidlmcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rnglidlmcl 46738
Description: A (left) ideal containing the zero element is closed under left-multiplication by elements of the full non-unital ring. If the ring is not a unital ring, and the ideal does not contain the zero element of the ring, then the closure cannot be proven as in lidlmcl 20839. (Contributed by AV, 18-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rnglidlmcl.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
rnglidlmcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
rnglidlmcl.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
rnglidlmcl.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
rnglidlmcl (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼)
Proof of Theorem rnglidlmcl
Dummy variables π‘₯ π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rnglidlmcl.u . . . 4 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
2 rnglidlmcl.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
3 eqid 2732 . . . 4 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
4 rnglidlmcl.t . . . 4 Β· = (.rβ€˜π‘…)
51, 2, 3, 4islidl 20833 . . 3 (𝐼 ∈ π‘ˆ ↔ (𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼))
6 oveq1 7415 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ Β· π‘Ž) = (𝑋 Β· π‘Ž))
76oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) = ((𝑋 Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏))
87eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼))
98ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((𝑋 Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼))
10 oveq2 7416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = π‘Œ β†’ (𝑋 Β· π‘Ž) = (𝑋 Β· π‘Œ))
1110oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = π‘Œ β†’ ((𝑋 Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) = ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏))
1211eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = π‘Œ β†’ (((𝑋 Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼))
1312ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = π‘Œ β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((𝑋 Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼))
149, 13rspc2v 3622 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼))
1514adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼))
16 oveq2 7416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 0 β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏) = ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…) 0 ))
1716eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 0 β†’ (((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…) 0 ) ∈ 𝐼))
1817rspcv 3608 . . . . . . . . . . . . 13 ( 0 ∈ 𝐼 β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…) 0 ) ∈ 𝐼))
1918adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…) 0 ) ∈ 𝐼))
20 rnglidlmcl.z . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0gβ€˜π‘…)
21 rnggrp 46644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ Rng β†’ 𝑅 ∈ Grp)
22213ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
2322adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
2423adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
25 simpll1 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ 𝑅 ∈ Rng)
26 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
27 ssel 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼 βŠ† 𝐡 β†’ (π‘Œ ∈ 𝐼 β†’ π‘Œ ∈ 𝐡))
28273ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐼 β†’ π‘Œ ∈ 𝐡))
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐼 β†’ π‘Œ ∈ 𝐡))
3029adantld 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡))
3130imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
322, 4rngcl 46653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
3325, 26, 31, 32syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
342, 3, 20, 24, 33grpridd 18854 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…) 0 ) = (𝑋 Β· π‘Œ))
3534eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ (((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…) 0 ) ∈ 𝐼 ↔ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼))
3635biimpd 228 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ (((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…) 0 ) ∈ 𝐼 β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼))
3736ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…) 0 ) ∈ 𝐼 β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼)))
3819, 37syl5d 73 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼)))
3938imp 407 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼))
4015, 39syld 47 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼))
4140ex 413 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼)))
4241com23 86 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼)))
4342ex 413 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ ( 0 ∈ 𝐼 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼))))
4443com23 86 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ ( 0 ∈ 𝐼 β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼))))
45443exp 1119 . . . 4 (𝑅 ∈ Rng β†’ (𝐼 βŠ† 𝐡 β†’ (𝐼 β‰  βˆ… β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ ( 0 ∈ 𝐼 β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼))))))
46453impd 1348 . . 3 (𝑅 ∈ Rng β†’ ((𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼) β†’ ( 0 ∈ 𝐼 β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼))))
475, 46biimtrid 241 . 2 (𝑅 ∈ Rng β†’ (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ ( 0 ∈ 𝐼 β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼))))
48473imp1 1347 1 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  .rcmulr 17197  0gc0g 17384  Grpcgrp 18818  LIdealclidl 20782  Rngcrng 46638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-lss 20542  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-lidl 20786  df-rng 46639
This theorem is referenced by:  rngridlmcl  46739  dflidl2rng  46740  rnglidlmmgm  46746  2idlcpblrng  46756  rng2idl1cntr  46780
  Copyright terms: Public domain W3C validator