Theorem rnglidlmcl 21352

Description: A (left) ideal containing the zero element is closed under left-multiplication by elements of the full non-unital ring. If the ring is not a unital ring, and the ideal does not contain the zero element of the ring, then the closure cannot be proven as in lidlmcl 21361. (Contributed by AV, 18-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnglidlmcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
rnglidlmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rnglidlmcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rnglidlmcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rnglidlmcl	⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem rnglidlmcl

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnglidlmcl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
2		rnglidlmcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		rnglidlmcl.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	islidl 21351	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
6		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 𝑎) = (𝑋 · 𝑎))
7	6	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) = ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏))
8	7	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
9	8	ralbidv 3187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
10		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑎) = (𝑋 · 𝑌))
11	10	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏))
12	11	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
13	12	ralbidv 3187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
14	9, 13	rspc2v 3591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
15	14	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
16		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = 0 → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ))
17	16	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 0 → (((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝐼))
18	17	rspcv 3576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( 0 ∈ 𝐼 → (∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝐼))
19	18	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) → (∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝐼))
20		rnglidlmcl.z	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
21		rnggrp 20242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
22	21	3ad2ant1 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) → 𝑅 ∈ Grp)
23	22	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Grp)
24	23	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝑅 ∈ Grp)
25		simpll1 1230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝑅 ∈ Rng)
26		simprl 782	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
27		ssel 3930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝐵 → (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ 𝐵))
28	27	3ad2ant2 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ 𝐵))
29	28	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) → (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ 𝐵))
30	29	adantld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ 𝐵))
31	30	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
32	2, 4	rngcl 20248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
33	25, 26, 31, 32	syl3anc 1397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
34	2, 3, 20, 24, 33	grpridd 19043	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) = (𝑋 · 𝑌))
35	34	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝐼 ↔ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))
36	35	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝐼 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))
37	36	ex 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝐼 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)))
38	19, 37	syl5d 74	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)))
39	38	imp 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))
40	15, 39	syld 48	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))
41	40	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)))
42	41	com23 87	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)))
43	42	ex 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) → ( 0 ∈ 𝐼 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))))
44	43	com23 87	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ( 0 ∈ 𝐼 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))))
45	44	3exp 1136	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝐼 ⊆ 𝐵 → (𝐼 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ( 0 ∈ 𝐼 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))))))
46	45	3impd 1366	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ((𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼) → ( 0 ∈ 𝐼 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))))
47	5, 46	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝐼 ∈ 𝑈 → ( 0 ∈ 𝐼 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))))
48	47	3imp1 1365	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3078   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  +_gcplusg 17316  ._rcmulr 17317  0_gc0g 17498  Grpcgrp 19006  Rngcrng 20236  LIdealclidl 21341

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-lss 21064  df-sra 21305  df-rgmod 21306  df-lidl 21343

This theorem is used by:  rngridlmcl  21353  dflidl2rng  21354  lidlmcl  21361  rnglidlmmgm  21390  2idlcpblrng  21421  rng2idl1cntr  21456