Theorem rnglidlmcl 21163

Description: A (left) ideal containing the zero element is closed under left-multiplication by elements of the full non-unital ring. If the ring is not a unital ring, and the ideal does not contain the zero element of the ring, then the closure cannot be proven as in lidlmcl 21172. (Contributed by AV, 18-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnglidlmcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
rnglidlmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rnglidlmcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rnglidlmcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rnglidlmcl	⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem rnglidlmcl

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnglidlmcl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
2		rnglidlmcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		rnglidlmcl.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	islidl 21162	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
6		oveq1 7362	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 𝑎) = (𝑋 · 𝑎))
7	6	oveq1d 7370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) = ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏))
8	7	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
9	8	ralbidv 3157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
10		oveq2 7363	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑎) = (𝑋 · 𝑌))
11	10	oveq1d 7370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏))
12	11	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
13	12	ralbidv 3157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
14	9, 13	rspc2v 3585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
15	14	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
16		oveq2 7363	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = 0 → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ))
17	16	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 0 → (((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝐼))
18	17	rspcv 3570	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( 0 ∈ 𝐼 → (∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝐼))
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) → (∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝐼))
20		rnglidlmcl.z	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
21		rnggrp 20086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
22	21	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) → 𝑅 ∈ Grp)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Grp)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝑅 ∈ Grp)
25		simpll1 1213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝑅 ∈ Rng)
26		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
27		ssel 3925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝐵 → (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ 𝐵))
28	27	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ 𝐵))
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) → (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ 𝐵))
30	29	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ 𝐵))
31	30	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
32	2, 4	rngcl 20092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
33	25, 26, 31, 32	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
34	2, 3, 20, 24, 33	grpridd 18893	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) = (𝑋 · 𝑌))
35	34	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝐼 ↔ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))
36	35	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝐼 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))
37	36	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝐼 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)))
38	19, 37	syl5d 73	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)))
39	38	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))
40	15, 39	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))
41	40	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)))
42	41	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 0 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)))
43	42	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) → ( 0 ∈ 𝐼 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))))
44	43	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ( 0 ∈ 𝐼 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))))
45	44	3exp 1119	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝐼 ⊆ 𝐵 → (𝐼 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ( 0 ∈ 𝐼 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))))))
46	45	3impd 1349	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ((𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼) → ( 0 ∈ 𝐼 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))))
47	5, 46	biimtrid 242	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝐼 ∈ 𝑈 → ( 0 ∈ 𝐼 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))))
48	47	3imp1 1348	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049   ⊆ wss 3899  ∅c0 4284  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17130  +_gcplusg 17171  ._rcmulr 17172  0_gc0g 17353  Grpcgrp 18856  Rngcrng 20080  LIdealclidl 21153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-7 12203  df-8 12204  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-ress 17152  df-plusg 17184  df-sca 17187  df-vsca 17188  df-ip 17189  df-0g 17355  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-grp 18859  df-abl 19705  df-mgp 20069  df-rng 20081  df-lss 20875  df-sra 21117  df-rgmod 21118  df-lidl 21155

This theorem is referenced by:  rngridlmcl  21164  dflidl2rng  21165  lidlmcl  21172  rnglidlmmgm  21192  2idlcpblrng  21218  rng2idl1cntr  21252