MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rnglidlmcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rnglidlmcl 21114
Description: A (left) ideal containing the zero element is closed under left-multiplication by elements of the full non-unital ring. If the ring is not a unital ring, and the ideal does not contain the zero element of the ring, then the closure cannot be proven as in lidlmcl 21123. (Contributed by AV, 18-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rnglidlmcl.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
rnglidlmcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
rnglidlmcl.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
rnglidlmcl.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
rnglidlmcl (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼)
Proof of Theorem rnglidlmcl
Dummy variables π‘₯ π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rnglidlmcl.u . . . 4 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
2 rnglidlmcl.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
3 eqid 2725 . . . 4 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
4 rnglidlmcl.t . . . 4 Β· = (.rβ€˜π‘…)
51, 2, 3, 4islidl 21113 . . 3 (𝐼 ∈ π‘ˆ ↔ (𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼))
6 oveq1 7422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ Β· π‘Ž) = (𝑋 Β· π‘Ž))
76oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) = ((𝑋 Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏))
87eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼))
98ralbidv 3168 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((𝑋 Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼))
10 oveq2 7423 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = π‘Œ β†’ (𝑋 Β· π‘Ž) = (𝑋 Β· π‘Œ))
1110oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = π‘Œ β†’ ((𝑋 Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) = ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏))
1211eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = π‘Œ β†’ (((𝑋 Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼))
1312ralbidv 3168 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = π‘Œ β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((𝑋 Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼))
149, 13rspc2v 3613 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼))
1514adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼))
16 oveq2 7423 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 0 β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏) = ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…) 0 ))
1716eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 0 β†’ (((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…) 0 ) ∈ 𝐼))
1817rspcv 3598 . . . . . . . . . . . . 13 ( 0 ∈ 𝐼 β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…) 0 ) ∈ 𝐼))
1918adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…) 0 ) ∈ 𝐼))
20 rnglidlmcl.z . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0gβ€˜π‘…)
21 rnggrp 20100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ Rng β†’ 𝑅 ∈ Grp)
22213ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
2322adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
2423adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
25 simpll1 1209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ 𝑅 ∈ Rng)
26 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
27 ssel 3966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼 βŠ† 𝐡 β†’ (π‘Œ ∈ 𝐼 β†’ π‘Œ ∈ 𝐡))
28273ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐼 β†’ π‘Œ ∈ 𝐡))
2928adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐼 β†’ π‘Œ ∈ 𝐡))
3029adantld 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡))
3130imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
322, 4rngcl 20106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
3325, 26, 31, 32syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
342, 3, 20, 24, 33grpridd 18929 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…) 0 ) = (𝑋 Β· π‘Œ))
3534eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ (((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…) 0 ) ∈ 𝐼 ↔ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼))
3635biimpd 228 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ (((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…) 0 ) ∈ 𝐼 β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼))
3736ex 411 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…) 0 ) ∈ 𝐼 β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼)))
3819, 37syl5d 73 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼)))
3938imp 405 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((𝑋 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼))
4015, 39syld 47 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼))
4140ex 411 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼)))
4241com23 86 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ 0 ∈ 𝐼) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼)))
4342ex 411 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ ( 0 ∈ 𝐼 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼))))
4443com23 86 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ ( 0 ∈ 𝐼 β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼))))
45443exp 1116 . . . 4 (𝑅 ∈ Rng β†’ (𝐼 βŠ† 𝐡 β†’ (𝐼 β‰  βˆ… β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼 β†’ ( 0 ∈ 𝐼 β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼))))))
46453impd 1345 . . 3 (𝑅 ∈ Rng β†’ ((𝐼 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ Β· π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼) β†’ ( 0 ∈ 𝐼 β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼))))
475, 46biimtrid 241 . 2 (𝑅 ∈ Rng β†’ (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ ( 0 ∈ 𝐼 β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼))))
48473imp1 1344 1 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4318  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  +gcplusg 17230  .rcmulr 17231  0gc0g 17418  Grpcgrp 18892  Rngcrng 20094  LIdealclidl 21104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-lss 20818  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-lidl 21106
This theorem is referenced by:  rngridlmcl  21115  dflidl2rng  21116  lidlmcl  21123  rnglidlmmgm  21142  2idlcpblrng  21167  rng2idl1cntr  21197
  Copyright terms: Public domain W3C validator