Theorem dflidl2rng 21458

Description: Alternate (the usual textbook) definition of a (left) ideal of a non-unital ring to be a subgroup of the additive group of the ring which is closed under left-multiplication by elements of the full ring. (Contributed by AV, 21-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dflidl2rng.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
dflidl2rng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dflidl2rng.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dflidl2rng	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem dflidl2rng

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Rng)
2		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ 𝑈)
3		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4	3	subg0cl 19305	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)
5	4	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)
6	1, 2, 5	3jca 1146	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐼))
7		dflidl2rng.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		dflidl2rng.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
9		dflidl2rng.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
10	3, 7, 8, 9	rnglidlmcl 21456	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼)
11	6, 10	sylan 592	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼)
12	11	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼)
13	7	subgss 19298	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
14	13	ad2antlr 740	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
15	4	ne0d 4287	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝐼 ≠ ∅)
16	15	ad2antlr 740	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼) → 𝐼 ≠ ∅)
17		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
18	17	subgcl 19307	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼)
19	18	ad5ant245 1384	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼)
20	19	ralrimiva 3154	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼) → ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼)
21	20	ex 418	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 → ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼))
22	21	ralimdvva 3209	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼))
23	22	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼)
24	9, 7, 17, 8	islidl 21455	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼))
25	14, 16, 23, 24	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑈)
26	12, 25	impbida 813	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ⊆ wss 3898  ∅c0 4278  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17348  +_gcplusg 17389  ._rcmulr 17390  0_gc0g 17571  SubGrpcsubg 19291  Rngcrng 20335  LIdealclidl 21445

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-0g 17573  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-grp 19108  df-subg 19294  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-lss 21168  df-sra 21409  df-rgmod 21410  df-lidl 21447

This theorem is used by:  isridlrng  21459  dflidl2  21468  df2idl2rng  21511