Theorem dflidl2rng 21175

Description: Alternate (the usual textbook) definition of a (left) ideal of a non-unital ring to be a subgroup of the additive group of the ring which is closed under left-multiplication by elements of the full ring. (Contributed by AV, 21-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dflidl2rng.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
dflidl2rng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dflidl2rng.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dflidl2rng	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dflidl2rng

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Rng)
2		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ 𝑈)
3		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4	3	subg0cl 19068	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)
5	4	ad2antlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)
6	1, 2, 5	3jca 1129	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐼))
7		dflidl2rng.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		dflidl2rng.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
9		dflidl2rng.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
10	3, 7, 8, 9	rnglidlmcl 21173	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼)
11	6, 10	sylan 581	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼)
12	11	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼)
13	7	subgss 19061	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
14	13	ad2antlr 728	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
15	4	ne0d 4283	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝐼 ≠ ∅)
16	15	ad2antlr 728	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼) → 𝐼 ≠ ∅)
17		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
18	17	subgcl 19070	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼)
19	18	ad5ant245 1364	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼)
20	19	ralrimiva 3130	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼) → ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼)
21	20	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 → ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼))
22	21	ralimdvva 3185	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼))
23	22	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼)
24	9, 7, 17, 8	islidl 21172	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼))
25	14, 16, 23, 24	syl3anbrc 1345	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑈)
26	12, 25	impbida 801	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17137  +_gcplusg 17178  ._rcmulr 17179  0_gc0g 17360  SubGrpcsubg 19054  Rngcrng 20091  LIdealclidl 21163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-0g 17362  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18870  df-subg 19057  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-lss 20885  df-sra 21127  df-rgmod 21128  df-lidl 21165

This theorem is referenced by:  isridlrng  21176  dflidl2  21184  df2idl2rng  21213