Theorem dflidl2rng 21126

Description: Alternate (the usual textbook) definition of a (left) ideal of a non-unital ring to be a subgroup of the additive group of the ring which is closed under left-multiplication by elements of the full ring. (Contributed by AV, 21-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dflidl2rng.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
dflidl2rng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dflidl2rng.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dflidl2rng	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dflidl2rng

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Rng)
2		simpr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ 𝑈)
3		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4	3	subg0cl 19097	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)
5	4	ad2antlr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)
6	1, 2, 5	3jca 1125	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐼))
7		dflidl2rng.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		dflidl2rng.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
9		dflidl2rng.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
10	3, 7, 8, 9	rnglidlmcl 21124	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼)
11	6, 10	sylan 578	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼)
12	11	ralrimivva 3190	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼)
13	7	subgss 19090	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
14	13	ad2antlr 725	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
15	4	ne0d 4335	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝐼 ≠ ∅)
16	15	ad2antlr 725	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼) → 𝐼 ≠ ∅)
17		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
18	17	subgcl 19099	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼)
19	18	ad5ant245 1358	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼)
20	19	ralrimiva 3135	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼) → ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼)
21	20	ex 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 → ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼))
22	21	ralimdvva 3194	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼))
23	22	imp 405	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼)
24	9, 7, 17, 8	islidl 21123	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼))
25	14, 16, 23, 24	syl3anbrc 1340	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑈)
26	12, 25	impbida 799	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∀wral 3050   ⊆ wss 3944  ∅c0 4322  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  +_gcplusg 17236  ._rcmulr 17237  0_gc0g 17424  SubGrpcsubg 19083  Rngcrng 20104  LIdealclidl 21114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18901  df-subg 19086  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-lss 20828  df-sra 21070  df-rgmod 21071  df-lidl 21116

This theorem is referenced by:  isridlrng  21127  dflidl2  21135  df2idl2rng  21163