![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > rpmul | Structured version Visualization version GIF version |
Description: If ๐พ is relatively prime to ๐ and to ๐, it is also relatively prime to their product. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
rpmul | โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (((๐พ gcd ๐) = 1 โง (๐พ gcd ๐) = 1) โ (๐พ gcd (๐ ยท ๐)) = 1)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mulgcddvds 16625 | . . 3 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ gcd (๐ ยท ๐)) โฅ ((๐พ gcd ๐) ยท (๐พ gcd ๐))) | |
2 | oveq12 7429 | . . . . 5 โข (((๐พ gcd ๐) = 1 โง (๐พ gcd ๐) = 1) โ ((๐พ gcd ๐) ยท (๐พ gcd ๐)) = (1 ยท 1)) | |
3 | 1t1e1 12404 | . . . . 5 โข (1 ยท 1) = 1 | |
4 | 2, 3 | eqtrdi 2784 | . . . 4 โข (((๐พ gcd ๐) = 1 โง (๐พ gcd ๐) = 1) โ ((๐พ gcd ๐) ยท (๐พ gcd ๐)) = 1) |
5 | 4 | breq2d 5160 | . . 3 โข (((๐พ gcd ๐) = 1 โง (๐พ gcd ๐) = 1) โ ((๐พ gcd (๐ ยท ๐)) โฅ ((๐พ gcd ๐) ยท (๐พ gcd ๐)) โ (๐พ gcd (๐ ยท ๐)) โฅ 1)) |
6 | 1, 5 | syl5ibcom 244 | . 2 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (((๐พ gcd ๐) = 1 โง (๐พ gcd ๐) = 1) โ (๐พ gcd (๐ ยท ๐)) โฅ 1)) |
7 | simp1 1134 | . . . 4 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ๐พ โ โค) | |
8 | zmulcl 12641 | . . . . 5 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ ยท ๐) โ โค) | |
9 | 8 | 3adant1 1128 | . . . 4 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ ยท ๐) โ โค) |
10 | 7, 9 | gcdcld 16482 | . . 3 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ gcd (๐ ยท ๐)) โ โ0) |
11 | dvds1 16295 | . . 3 โข ((๐พ gcd (๐ ยท ๐)) โ โ0 โ ((๐พ gcd (๐ ยท ๐)) โฅ 1 โ (๐พ gcd (๐ ยท ๐)) = 1)) | |
12 | 10, 11 | syl 17 | . 2 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ gcd (๐ ยท ๐)) โฅ 1 โ (๐พ gcd (๐ ยท ๐)) = 1)) |
13 | 6, 12 | sylibd 238 | 1 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (((๐พ gcd ๐) = 1 โง (๐พ gcd ๐) = 1) โ (๐พ gcd (๐ ยท ๐)) = 1)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 โง w3a 1085 = wceq 1534 โ wcel 2099 class class class wbr 5148 (class class class)co 7420 1c1 11139 ยท cmul 11143 โ0cn0 12502 โคcz 12588 โฅ cdvds 16230 gcd cgcd 16468 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7740 ax-cnex 11194 ax-resscn 11195 ax-1cn 11196 ax-icn 11197 ax-addcl 11198 ax-addrcl 11199 ax-mulcl 11200 ax-mulrcl 11201 ax-mulcom 11202 ax-addass 11203 ax-mulass 11204 ax-distr 11205 ax-i2m1 11206 ax-1ne0 11207 ax-1rid 11208 ax-rnegex 11209 ax-rrecex 11210 ax-cnre 11211 ax-pre-lttri 11212 ax-pre-lttrn 11213 ax-pre-ltadd 11214 ax-pre-mulgt0 11215 ax-pre-sup 11216 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3373 df-reu 3374 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5576 df-eprel 5582 df-po 5590 df-so 5591 df-fr 5633 df-we 5635 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-pred 6305 df-ord 6372 df-on 6373 df-lim 6374 df-suc 6375 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-f1 6553 df-fo 6554 df-f1o 6555 df-fv 6556 df-riota 7376 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7871 df-2nd 7994 df-frecs 8286 df-wrecs 8317 df-recs 8391 df-rdg 8430 df-er 8724 df-en 8964 df-dom 8965 df-sdom 8966 df-sup 9465 df-inf 9466 df-pnf 11280 df-mnf 11281 df-xr 11282 df-ltxr 11283 df-le 11284 df-sub 11476 df-neg 11477 df-div 11902 df-nn 12243 df-2 12305 df-3 12306 df-n0 12503 df-z 12589 df-uz 12853 df-rp 13007 df-fl 13789 df-mod 13867 df-seq 13999 df-exp 14059 df-cj 15078 df-re 15079 df-im 15080 df-sqrt 15214 df-abs 15215 df-dvds 16231 df-gcd 16469 |
This theorem is referenced by: phimullem 16747 eulerthlem1 16749 eulerthlem2 16750 aks6d1c4 41595 flt4lem5f 42081 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |