Theorem rpmul 15782

Description: If 𝐾 is relatively prime to 𝑀 and to 𝑁, it is also relatively prime to their product. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rpmul	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 1))

Proof of Theorem rpmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgcddvds 15778	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
2		oveq12 6933	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) = (1 · 1))
3		1t1e1 11548	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
4	2, 3	syl6eq 2830	. . . 4 ⊢ (((𝐾 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) = 1)
5	4	breq2d 4900	. . 3 ⊢ (((𝐾 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ↔ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 1))
6	1, 5	syl5ibcom 237	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 1))
7		simp1 1127	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
8		zmulcl 11782	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
9	8	3adant1 1121	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
10	7, 9	gcdcld 15640	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ0)
11		dvds1 15452	. . 3 ⊢ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ0 → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 1 ↔ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 1))
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 1 ↔ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 1))
13	6, 12	sylibd 231	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 gcd 𝑀) = 1 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   class class class wbr 4888  (class class class)co 6924  1c1 10275   · cmul 10279  ℕ₀cn0 11646  ℤcz 11732   ∥ cdvds 15391   gcd cgcd 15626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-sup 8638  df-inf 8639  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-n0 11647  df-z 11733  df-uz 11997  df-rp 12142  df-fl 12916  df-mod 12992  df-seq 13124  df-exp 13183  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-dvds 15392  df-gcd 15627

This theorem is referenced by:  phimullem  15892  eulerthlem1  15894  eulerthlem2  15895