Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem20 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem20 36059
Description: Lemma for knoppndv 36062. (Contributed by Asger C. Ipsen, 18-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem20.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
knoppndvlem20.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
knoppndvlem20.1 (๐œ‘ โ†’ 1 < (๐‘ ยท (absโ€˜๐ถ)))
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem20 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„+)

Proof of Theorem knoppndvlem20
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem20.c . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
2 knoppndvlem20.n . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
3 knoppndvlem20.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 < (๐‘ ยท (absโ€˜๐ถ)))
41, 2, 3knoppndvlem12 36051 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โ‰  1 โˆง 1 < (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))
54simprd 494 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 < (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))
6 2re 12311 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„
76a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
82nnred 12252 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
97, 8remulcld 11269 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
101knoppndvlem3 36042 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜๐ถ) < 1))
1110simpld 493 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
1211recnd 11267 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1312abscld 15410 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
149, 13remulcld 11269 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆˆ โ„)
15 1red 11240 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
1614, 15resubcld 11667 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
17 0red 11242 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
18 0lt1 11761 . . . . . . 7 0 < 1
1918a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 < 1)
2017, 15, 16, 19, 5lttrd 11400 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 < (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))
2116, 20elrpd 13040 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„+)
2221recgt1d 13057 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 < (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1) โ†” (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)) < 1))
235, 22mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)) < 1)
2421rprecred 13054 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
2524, 15jca 510 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„))
26 difrp 13039 . . 3 (((1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)) < 1 โ†” (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„+))
2725, 26syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)) < 1 โ†” (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„+))
2823, 27mpbid 231 1 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930   class class class wbr 5144  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  โ„cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   ยท cmul 11138   < clt 11273   โˆ’ cmin 11469  -cneg 11470   / cdiv 11896  โ„•cn 12237  2c2 12292  โ„+crp 13001  (,)cioo 13351  abscabs 15208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-ioo 13355  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210
This theorem is referenced by:  knoppndvlem21  36060  knoppndvlem22  36061
  Copyright terms: Public domain W3C validator