Theorem knoppndvlem20 36982

Description: Lemma for knoppndv 36985. (Contributed by Asger C. Ipsen, 18-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem20.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem20.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem20.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem20	⊢ (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem knoppndvlem20

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem20.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
2		knoppndvlem20.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		knoppndvlem20.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
4	1, 2, 3	knoppndvlem12 36974	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
5	4	simprd 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
6		2re 12306	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
8	2	nnred 12239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
9	7, 8	remulcld 11227	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
10	1	knoppndvlem3 36965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
11	10	simpld 499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
13	12	abscld 15480	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
14	9, 13	remulcld 11227	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
15		1red 11197	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
16	14, 15	resubcld 11630	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ)
17		0red 11199	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
18		0lt1 11724	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
20	17, 15, 16, 19, 5	lttrd 11359	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
21	16, 20	elrpd 13048	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ+)
22	21	recgt1d 13065	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ↔ (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) < 1))
23	5, 22	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) < 1)
24	21	rprecred 13062	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
25	24, 15	jca 520	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
26		difrp 13047	. . 3 ⊢ (((1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) < 1 ↔ (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ+))
27	25, 26	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) < 1 ↔ (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ+))
28	23, 27	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   · cmul 11093   < clt 11231   − cmin 11429  -cneg 11430   / cdiv 11859  ℕcn 12224  2c2 12286  ℝ⁺crp 13007  (,)cioo 13363  abscabs 15275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-ioo 13367  df-seq 14029  df-exp 14089  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277

This theorem is referenced by:  knoppndvlem21  36983  knoppndvlem22  36984