Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem20 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem20 35942
Description: Lemma for knoppndv 35945. (Contributed by Asger C. Ipsen, 18-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem20.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
knoppndvlem20.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
knoppndvlem20.1 (๐œ‘ โ†’ 1 < (๐‘ ยท (absโ€˜๐ถ)))
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem20 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„+)

Proof of Theorem knoppndvlem20
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem20.c . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
2 knoppndvlem20.n . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
3 knoppndvlem20.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 < (๐‘ ยท (absโ€˜๐ถ)))
41, 2, 3knoppndvlem12 35934 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โ‰  1 โˆง 1 < (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))
54simprd 495 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 < (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))
6 2re 12308 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„
76a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
82nnred 12249 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
97, 8remulcld 11266 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
101knoppndvlem3 35925 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜๐ถ) < 1))
1110simpld 494 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
1211recnd 11264 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1312abscld 15407 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
149, 13remulcld 11266 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆˆ โ„)
15 1red 11237 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
1614, 15resubcld 11664 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
17 0red 11239 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
18 0lt1 11758 . . . . . . 7 0 < 1
1918a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 < 1)
2017, 15, 16, 19, 5lttrd 11397 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 < (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))
2116, 20elrpd 13037 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„+)
2221recgt1d 13054 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 < (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1) โ†” (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)) < 1))
235, 22mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)) < 1)
2421rprecred 13051 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
2524, 15jca 511 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„))
26 difrp 13036 . . 3 (((1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)) < 1 โ†” (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„+))
2725, 26syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)) < 1 โ†” (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„+))
2823, 27mpbid 231 1 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935   class class class wbr 5142  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   ยท cmul 11135   < clt 11270   โˆ’ cmin 11466  -cneg 11467   / cdiv 11893  โ„•cn 12234  2c2 12289  โ„+crp 12998  (,)cioo 13348  abscabs 15205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-ioo 13352  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207
This theorem is referenced by:  knoppndvlem21  35943  knoppndvlem22  35944
  Copyright terms: Public domain W3C validator