Theorem knoppndvlem20 37101

Description: Lemma for knoppndv 37104. (Contributed by Asger C. Ipsen, 18-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem20.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem20.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem20.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem20	⊢ (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem knoppndvlem20

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem20.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
2		knoppndvlem20.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		knoppndvlem20.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
4	1, 2, 3	knoppndvlem12 37093	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
5	4	simprd 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
6		2re 12316	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
8	2	nnred 12249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
9	7, 8	remulcld 11240	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
10	1	knoppndvlem3 37084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
11	10	simpld 499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
13	12	abscld 15492	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
14	9, 13	remulcld 11240	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
15		1red 11210	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
16	14, 15	resubcld 11643	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ)
17		0red 11212	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
18		0lt1 11737	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
20	17, 15, 16, 19, 5	lttrd 11372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
21	16, 20	elrpd 13058	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ+)
22	21	recgt1d 13075	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ↔ (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) < 1))
23	5, 22	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) < 1)
24	21	rprecred 13072	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
25	24, 15	jca 520	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
26		difrp 13057	. . 3 ⊢ (((1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) < 1 ↔ (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ+))
27	25, 26	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) < 1 ↔ (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ+))
28	23, 27	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   · cmul 11106   < clt 11244   − cmin 11442  -cneg 11443   / cdiv 11872  ℕcn 12234  2c2 12296  ℝ⁺crp 13017  (,)cioo 13373  abscabs 15287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-ioo 13377  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289

This theorem is referenced by:  knoppndvlem21  37102  knoppndvlem22  37103