Theorem knoppndvlem20 37153

Description: Lemma for knoppndv 37156. (Contributed by Asger C. Ipsen, 18-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem20.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem20.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem20.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem20	⊢ (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem knoppndvlem20

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem20.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
2		knoppndvlem20.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		knoppndvlem20.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
4	1, 2, 3	knoppndvlem12 37145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
5	4	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
6		2re 12326	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
8	2	nnred 12259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
9	7, 8	remulcld 11250	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
10	1	knoppndvlem3 37136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
11	10	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
13	12	abscld 15509	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
14	9, 13	remulcld 11250	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
15		1red 11220	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
16	14, 15	resubcld 11653	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ)
17		0red 11222	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
18		0lt1 11747	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
20	17, 15, 16, 19, 5	lttrd 11382	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
21	16, 20	elrpd 13068	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ+)
22	21	recgt1d 13085	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ↔ (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) < 1))
23	5, 22	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) < 1)
24	21	rprecred 13082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
25	24, 15	jca 521	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
26		difrp 13067	. . 3 ⊢ (((1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) < 1 ↔ (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ+))
27	25, 26	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) < 1 ↔ (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ+))
28	23, 27	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112   · cmul 11116   < clt 11254   − cmin 11452  -cneg 11453   / cdiv 11882  ℕcn 12244  2c2 12306  ℝ⁺crp 13027  (,)cioo 13383  abscabs 15304

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9405  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-rp 13028  df-ioo 13387  df-seq 14051  df-exp 14111  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306

This theorem is used by:  knoppndvlem21  37154  knoppndvlem22  37155