Theorem knoppndvlem20 37228

Description: Lemma for knoppndv 37231. (Contributed by Asger C. Ipsen, 18-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem20.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem20.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem20.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem20	⊢ (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem knoppndvlem20

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem20.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
2		knoppndvlem20.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		knoppndvlem20.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
4	1, 2, 3	knoppndvlem12 37220	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
5	4	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
6		2re 12339	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
8	2	nnred 12272	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
9	7, 8	remulcld 11263	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
10	1	knoppndvlem3 37211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
11	10	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
13	12	abscld 15526	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
14	9, 13	remulcld 11263	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
15		1red 11233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
16	14, 15	resubcld 11666	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ)
17		0red 11235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
18		0lt1 11760	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
20	17, 15, 16, 19, 5	lttrd 11395	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
21	16, 20	elrpd 13083	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ+)
22	21	recgt1d 13100	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ↔ (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) < 1))
23	5, 22	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) < 1)
24	21	rprecred 13097	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
25	24, 15	jca 521	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
26		difrp 13082	. . 3 ⊢ (((1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) < 1 ↔ (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ+))
27	25, 26	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) < 1 ↔ (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ+))
28	23, 27	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   · cmul 11129   < clt 11267   − cmin 11465  -cneg 11466   / cdiv 11895  ℕcn 12257  2c2 12319  ℝ⁺crp 13042  (,)cioo 13398  abscabs 15321

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-ioo 13402  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323

This theorem is used by:  knoppndvlem21  37229  knoppndvlem22  37230