Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem20 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem20 33877
Description: Lemma for knoppndv 33880. (Contributed by Asger C. Ipsen, 18-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem20.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem20.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem20.1 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem20 (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem knoppndvlem20
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem20.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
2 knoppndvlem20.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 knoppndvlem20.1 . . . . 5 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
41, 2, 3knoppndvlem12 33869 . . . 4 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
54simprd 499 . . 3 (𝜑 → 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
6 2re 11689 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
82nnred 11630 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
97, 8remulcld 10648 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
101knoppndvlem3 33860 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
1110simpld 498 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1211recnd 10646 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1312abscld 14775 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
149, 13remulcld 10648 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
15 1red 10619 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
1614, 15resubcld 11045 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ)
17 0red 10621 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
18 0lt1 11139 . . . . . . 7 0 < 1
1918a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 1)
2017, 15, 16, 19, 5lttrd 10778 . . . . 5 (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
2116, 20elrpd 12406 . . . 4 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ+)
2221recgt1d 12423 . . 3 (𝜑 → (1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ↔ (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) < 1))
235, 22mpbid 235 . 2 (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) < 1)
2421rprecred 12420 . . . 4 (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
2524, 15jca 515 . . 3 (𝜑 → ((1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
26 difrp 12405 . . 3 (((1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) < 1 ↔ (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ+))
2725, 26syl 17 . 2 (𝜑 → ((1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) < 1 ↔ (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ+))
2823, 27mpbid 235 1 (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wcel 2115  wne 3007   class class class wbr 5039  cfv 6328  (class class class)co 7130  cr 10513  0cc0 10514  1c1 10515   · cmul 10519   < clt 10652  cmin 10847  -cneg 10848   / cdiv 11274  cn 11615  2c2 11670  +crp 12367  (,)cioo 12716  abscabs 14572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-sup 8882  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-rp 12368  df-ioo 12720  df-seq 13353  df-exp 13414  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574
This theorem is referenced by:  knoppndvlem21  33878  knoppndvlem22  33879
  Copyright terms: Public domain W3C validator