MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxplt3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxplt3 24654
Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cxplt3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐴𝑐𝐶) < (𝐴𝑐𝐵)))

Proof of Theorem cxplt3
StepHypRef Expression
1 simpll 774 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
2 simprl 778 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
32recnd 10347 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
4 cxprec 24640 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ) → ((1 / 𝐴)↑𝑐𝐵) = (1 / (𝐴𝑐𝐵)))
51, 3, 4syl2anc 575 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → ((1 / 𝐴)↑𝑐𝐵) = (1 / (𝐴𝑐𝐵)))
6 simprr 780 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
76recnd 10347 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
8 cxprec 24640 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ) → ((1 / 𝐴)↑𝑐𝐶) = (1 / (𝐴𝑐𝐶)))
91, 7, 8syl2anc 575 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → ((1 / 𝐴)↑𝑐𝐶) = (1 / (𝐴𝑐𝐶)))
105, 9breq12d 4850 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (((1 / 𝐴)↑𝑐𝐵) < ((1 / 𝐴)↑𝑐𝐶) ↔ (1 / (𝐴𝑐𝐵)) < (1 / (𝐴𝑐𝐶))))
111rprecred 12091 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
12 simplr 776 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐴 < 1)
131reclt1d 12093 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝐴)))
1412, 13mpbid 223 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 1 < (1 / 𝐴))
15 cxplt 24648 . . 3 ((((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 < (1 / 𝐴)) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵 < 𝐶 ↔ ((1 / 𝐴)↑𝑐𝐵) < ((1 / 𝐴)↑𝑐𝐶)))
1611, 14, 2, 6, 15syl22anc 858 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵 < 𝐶 ↔ ((1 / 𝐴)↑𝑐𝐵) < ((1 / 𝐴)↑𝑐𝐶)))
17 rpcxpcl 24630 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+)
1817ad2ant2rl 746 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+)
19 rpcxpcl 24630 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝑐𝐵) ∈ ℝ+)
2019ad2ant2r 744 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴𝑐𝐵) ∈ ℝ+)
2118, 20ltrecd 12098 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → ((𝐴𝑐𝐶) < (𝐴𝑐𝐵) ↔ (1 / (𝐴𝑐𝐵)) < (1 / (𝐴𝑐𝐶))))
2210, 16, 213bitr4d 302 1 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐴𝑐𝐶) < (𝐴𝑐𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2155   class class class wbr 4837  (class class class)co 6868  cc 10213  cr 10214  1c1 10216   < clt 10353   / cdiv 10963  +crp 12040  𝑐ccxp 24510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-rep 4957  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-inf2 8779  ax-cnex 10271  ax-resscn 10272  ax-1cn 10273  ax-icn 10274  ax-addcl 10275  ax-addrcl 10276  ax-mulcl 10277  ax-mulrcl 10278  ax-mulcom 10279  ax-addass 10280  ax-mulass 10281  ax-distr 10282  ax-i2m1 10283  ax-1ne0 10284  ax-1rid 10285  ax-rnegex 10286  ax-rrecex 10287  ax-cnre 10288  ax-pre-lttri 10289  ax-pre-lttrn 10290  ax-pre-ltadd 10291  ax-pre-mulgt0 10292  ax-pre-sup 10293  ax-addf 10294  ax-mulf 10295
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rmo 3100  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-pss 3779  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-tp 4369  df-op 4371  df-uni 4624  df-int 4663  df-iun 4707  df-iin 4708  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-tr 4940  df-id 5213  df-eprel 5218  df-po 5226  df-so 5227  df-fr 5264  df-se 5265  df-we 5266  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-pred 5887  df-ord 5933  df-on 5934  df-lim 5935  df-suc 5936  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-isom 6104  df-riota 6829  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-of 7121  df-om 7290  df-1st 7392  df-2nd 7393  df-supp 7524  df-wrecs 7636  df-recs 7698  df-rdg 7736  df-1o 7790  df-2o 7791  df-oadd 7794  df-er 7973  df-map 8088  df-pm 8089  df-ixp 8140  df-en 8187  df-dom 8188  df-sdom 8189  df-fin 8190  df-fsupp 8509  df-fi 8550  df-sup 8581  df-inf 8582  df-oi 8648  df-card 9042  df-cda 9269  df-pnf 10355  df-mnf 10356  df-xr 10357  df-ltxr 10358  df-le 10359  df-sub 10547  df-neg 10548  df-div 10964  df-nn 11300  df-2 11358  df-3 11359  df-4 11360  df-5 11361  df-6 11362  df-7 11363  df-8 11364  df-9 11365  df-n0 11554  df-z 11638  df-dec 11754  df-uz 11899  df-q 12002  df-rp 12041  df-xneg 12156  df-xadd 12157  df-xmul 12158  df-ioo 12391  df-ioc 12392  df-ico 12393  df-icc 12394  df-fz 12544  df-fzo 12684  df-fl 12811  df-mod 12887  df-seq 13019  df-exp 13078  df-fac 13275  df-bc 13304  df-hash 13332  df-shft 14024  df-cj 14056  df-re 14057  df-im 14058  df-sqrt 14192  df-abs 14193  df-limsup 14419  df-clim 14436  df-rlim 14437  df-sum 14634  df-ef 15012  df-sin 15014  df-cos 15015  df-pi 15017  df-struct 16064  df-ndx 16065  df-slot 16066  df-base 16068  df-sets 16069  df-ress 16070  df-plusg 16160  df-mulr 16161  df-starv 16162  df-sca 16163  df-vsca 16164  df-ip 16165  df-tset 16166  df-ple 16167  df-ds 16169  df-unif 16170  df-hom 16171  df-cco 16172  df-rest 16282  df-topn 16283  df-0g 16301  df-gsum 16302  df-topgen 16303  df-pt 16304  df-prds 16307  df-xrs 16361  df-qtop 16366  df-imas 16367  df-xps 16369  df-mre 16445  df-mrc 16446  df-acs 16448  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-submnd 17535  df-mulg 17740  df-cntz 17945  df-cmn 18390  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20906  df-topon 20923  df-topsp 20945  df-bases 20958  df-cld 21031  df-ntr 21032  df-cls 21033  df-nei 21110  df-lp 21148  df-perf 21149  df-cn 21239  df-cnp 21240  df-haus 21327  df-tx 21573  df-hmeo 21766  df-fil 21857  df-fm 21949  df-flim 21950  df-flf 21951  df-xms 22332  df-ms 22333  df-tms 22334  df-cncf 22888  df-limc 23838  df-dv 23839  df-log 24511  df-cxp 24512
This theorem is referenced by:  cxple3  24655  cxplt3d  24686
  Copyright terms: Public domain W3C validator