Theorem rsp1 20066

Description: The span of the identity element is the unit ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcl.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rspcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rsp1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rsp1	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘{ 1 }) = 𝐵)

Proof of Theorem rsp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		rsp1.o	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3	1, 2	ringidcl 19390	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
4	3	snssd 4700	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 1 } ⊆ 𝐵)
5		rspcl.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
6	5, 1	rspssid 20065	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ { 1 } ⊆ 𝐵) → { 1 } ⊆ (𝐾‘{ 1 }))
7	4, 6	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 1 } ⊆ (𝐾‘{ 1 }))
8	2	fvexi 6673	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
9	8	snss 4677	. . 3 ⊢ ( 1 ∈ (𝐾‘{ 1 }) ↔ { 1 } ⊆ (𝐾‘{ 1 }))
10	7, 9	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (𝐾‘{ 1 }))
11		eqid 2759	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
12	5, 1, 11	rspcl 20064	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ { 1 } ⊆ 𝐵) → (𝐾‘{ 1 }) ∈ (LIdeal‘𝑅))
13	4, 12	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘{ 1 }) ∈ (LIdeal‘𝑅))
14	11, 1, 2	lidl1el 20060	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐾‘{ 1 }) ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ( 1 ∈ (𝐾‘{ 1 }) ↔ (𝐾‘{ 1 }) = 𝐵))
15	13, 14	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 1 ∈ (𝐾‘{ 1 }) ↔ (𝐾‘{ 1 }) = 𝐵))
16	10, 15	mpbid 235	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘{ 1 }) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3859  {csn 4523  ‘cfv 6336  Basecbs 16542  1_rcur 19320  Ringcrg 19366  LIdealclidl 20011  RSpancrsp 20012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-nn 11676  df-2 11738  df-3 11739  df-4 11740  df-5 11741  df-6 11742  df-7 11743  df-8 11744  df-ndx 16545  df-slot 16546  df-base 16548  df-sets 16549  df-ress 16550  df-plusg 16637  df-mulr 16638  df-sca 16640  df-vsca 16641  df-ip 16642  df-0g 16774  df-mgm 17919  df-sgrp 17968  df-mnd 17979  df-grp 18173  df-minusg 18174  df-sbg 18175  df-subg 18344  df-mgp 19309  df-ur 19321  df-ring 19368  df-subrg 19602  df-lmod 19705  df-lss 19773  df-lsp 19813  df-sra 20013  df-rgmod 20014  df-lidl 20015  df-rsp 20016

This theorem is referenced by:  lpi1  20090  rgmoddim  31215  zarcmplem  31353