MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rsp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rsp1 21126
Description: The span of the identity element is the unit ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rspcl.k 𝐾 = (RSpanβ€˜π‘…)
rspcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
rsp1.o 1 = (1rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
rsp1 (𝑅 ∈ Ring β†’ (πΎβ€˜{ 1 }) = 𝐡)

Proof of Theorem rsp1
StepHypRef Expression
1 rspcl.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 rsp1.o . . . . . 6 1 = (1rβ€˜π‘…)
31, 2ringidcl 20195 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 1 ∈ 𝐡)
43snssd 4808 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ { 1 } βŠ† 𝐡)
5 rspcl.k . . . . 5 𝐾 = (RSpanβ€˜π‘…)
65, 1rspssid 21125 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ { 1 } βŠ† 𝐡) β†’ { 1 } βŠ† (πΎβ€˜{ 1 }))
74, 6mpdan 686 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ { 1 } βŠ† (πΎβ€˜{ 1 }))
82fvexi 6905 . . . 4 1 ∈ V
98snss 4785 . . 3 ( 1 ∈ (πΎβ€˜{ 1 }) ↔ { 1 } βŠ† (πΎβ€˜{ 1 }))
107, 9sylibr 233 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ 1 ∈ (πΎβ€˜{ 1 }))
11 eqid 2728 . . . . 5 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
125, 1, 11rspcl 21124 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ { 1 } βŠ† 𝐡) β†’ (πΎβ€˜{ 1 }) ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
134, 12mpdan 686 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (πΎβ€˜{ 1 }) ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
1411, 1, 2lidl1el 21115 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (πΎβ€˜{ 1 }) ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ( 1 ∈ (πΎβ€˜{ 1 }) ↔ (πΎβ€˜{ 1 }) = 𝐡))
1513, 14mpdan 686 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ ( 1 ∈ (πΎβ€˜{ 1 }) ↔ (πΎβ€˜{ 1 }) = 𝐡))
1610, 15mpbid 231 1 (𝑅 ∈ Ring β†’ (πΎβ€˜{ 1 }) = 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3945  {csn 4624  β€˜cfv 6542  Basecbs 17173  1rcur 20114  Ringcrg 20166  LIdealclidl 21095  RSpancrsp 21096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-subg 19071  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-subrg 20501  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-lsp 20849  df-sra 21051  df-rgmod 21052  df-lidl 21097  df-rsp 21098
This theorem is referenced by:  lpi1  21210  rlmdim  33297  rgmoddimOLD  33298  zarcmplem  33476
  Copyright terms: Public domain W3C validator