Theorem rsp1 21122

Description: The span of the identity element is the unit ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcl.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rspcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rsp1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rsp1	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘{ 1 }) = 𝐵)

Proof of Theorem rsp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		rsp1.o	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3	1, 2	ringidcl 20191	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
4	3	snssd 4808	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 1 } ⊆ 𝐵)
5		rspcl.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
6	5, 1	rspssid 21121	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ { 1 } ⊆ 𝐵) → { 1 } ⊆ (𝐾‘{ 1 }))
7	4, 6	mpdan 686	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 1 } ⊆ (𝐾‘{ 1 }))
8	2	fvexi 6905	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
9	8	snss 4785	. . 3 ⊢ ( 1 ∈ (𝐾‘{ 1 }) ↔ { 1 } ⊆ (𝐾‘{ 1 }))
10	7, 9	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (𝐾‘{ 1 }))
11		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
12	5, 1, 11	rspcl 21120	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ { 1 } ⊆ 𝐵) → (𝐾‘{ 1 }) ∈ (LIdeal‘𝑅))
13	4, 12	mpdan 686	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘{ 1 }) ∈ (LIdeal‘𝑅))
14	11, 1, 2	lidl1el 21111	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐾‘{ 1 }) ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ( 1 ∈ (𝐾‘{ 1 }) ↔ (𝐾‘{ 1 }) = 𝐵))
15	13, 14	mpdan 686	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 1 ∈ (𝐾‘{ 1 }) ↔ (𝐾‘{ 1 }) = 𝐵))
16	10, 15	mpbid 231	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘{ 1 }) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3944  {csn 4624  ‘cfv 6542  Basecbs 17171  1_rcur 20112  Ringcrg 20164  LIdealclidl 21091  RSpancrsp 21092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-0g 17414  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-subg 19069  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-subrg 20497  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lsp 20845  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-lidl 21093  df-rsp 21094

This theorem is referenced by:  lpi1  21206  rlmdim  33239  rgmoddimOLD  33240  zarcmplem  33418