Theorem rsp1 21198

Description: The span of the identity element is the unit ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcl.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rspcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rsp1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rsp1	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘{ 1 }) = 𝐵)

Proof of Theorem rsp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		rsp1.o	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3	1, 2	ringidcl 20225	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
4	3	snssd 4785	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 1 } ⊆ 𝐵)
5		rspcl.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
6	5, 1	rspssid 21197	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ { 1 } ⊆ 𝐵) → { 1 } ⊆ (𝐾‘{ 1 }))
7	4, 6	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 1 } ⊆ (𝐾‘{ 1 }))
8	2	fvexi 6890	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
9	8	snss 4761	. . 3 ⊢ ( 1 ∈ (𝐾‘{ 1 }) ↔ { 1 } ⊆ (𝐾‘{ 1 }))
10	7, 9	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (𝐾‘{ 1 }))
11		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
12	5, 1, 11	rspcl 21196	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ { 1 } ⊆ 𝐵) → (𝐾‘{ 1 }) ∈ (LIdeal‘𝑅))
13	4, 12	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘{ 1 }) ∈ (LIdeal‘𝑅))
14	11, 1, 2	lidl1el 21187	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐾‘{ 1 }) ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ( 1 ∈ (𝐾‘{ 1 }) ↔ (𝐾‘{ 1 }) = 𝐵))
15	13, 14	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 1 ∈ (𝐾‘{ 1 }) ↔ (𝐾‘{ 1 }) = 𝐵))
16	10, 15	mpbid 232	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘{ 1 }) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926  {csn 4601  ‘cfv 6531  Basecbs 17228  1_rcur 20141  Ringcrg 20193  LIdealclidl 21167  RSpancrsp 21168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-subrg 20530  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-lidl 21169  df-rsp 21170

This theorem is referenced by:  lpi1  21288  rlmdim  33649  rgmoddimOLD  33650  zarcmplem  33912