Theorem rsp1 21126

Description: The span of the identity element is the unit ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcl.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rspcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rsp1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rsp1	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘{ 1 }) = 𝐵)

Proof of Theorem rsp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		rsp1.o	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3	1, 2	ringidcl 20195	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
4	3	snssd 4808	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 1 } ⊆ 𝐵)
5		rspcl.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
6	5, 1	rspssid 21125	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ { 1 } ⊆ 𝐵) → { 1 } ⊆ (𝐾‘{ 1 }))
7	4, 6	mpdan 686	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 1 } ⊆ (𝐾‘{ 1 }))
8	2	fvexi 6905	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
9	8	snss 4785	. . 3 ⊢ ( 1 ∈ (𝐾‘{ 1 }) ↔ { 1 } ⊆ (𝐾‘{ 1 }))
10	7, 9	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (𝐾‘{ 1 }))
11		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
12	5, 1, 11	rspcl 21124	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ { 1 } ⊆ 𝐵) → (𝐾‘{ 1 }) ∈ (LIdeal‘𝑅))
13	4, 12	mpdan 686	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘{ 1 }) ∈ (LIdeal‘𝑅))
14	11, 1, 2	lidl1el 21115	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐾‘{ 1 }) ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ( 1 ∈ (𝐾‘{ 1 }) ↔ (𝐾‘{ 1 }) = 𝐵))
15	13, 14	mpdan 686	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 1 ∈ (𝐾‘{ 1 }) ↔ (𝐾‘{ 1 }) = 𝐵))
16	10, 15	mpbid 231	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘{ 1 }) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3945  {csn 4624  ‘cfv 6542  Basecbs 17173  1_rcur 20114  Ringcrg 20166  LIdealclidl 21095  RSpancrsp 21096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-subg 19071  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-subrg 20501  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-lsp 20849  df-sra 21051  df-rgmod 21052  df-lidl 21097  df-rsp 21098

This theorem is referenced by:  lpi1  21210  rlmdim  33297  rgmoddimOLD  33298  zarcmplem  33476