Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  funcringcsetcALTV2lem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcringcsetcALTV2lem7 48139
Description: Lemma 7 for funcringcsetcALTV2 48142. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
funcringcsetcALTV2.r 𝑅 = (RingCat‘𝑈)
funcringcsetcALTV2.s 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcringcsetcALTV2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
funcringcsetcALTV2.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcringcsetcALTV2.u (𝜑𝑈 ∈ WUni)
funcringcsetcALTV2.f (𝜑𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (Base‘𝑥)))
funcringcsetcALTV2.g (𝜑𝐺 = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥 RingHom 𝑦))))
Assertion
Ref Expression
funcringcsetcALTV2lem7 ((𝜑𝑋𝐵) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑅)‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝐶   𝑦,𝐵,𝑥   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcringcsetcALTV2lem7
StepHypRef Expression
1 funcringcsetcALTV2.r . . . . 5 𝑅 = (RingCat‘𝑈)
2 funcringcsetcALTV2.s . . . . 5 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
3 funcringcsetcALTV2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 funcringcsetcALTV2.c . . . . 5 𝐶 = (Base‘𝑆)
5 funcringcsetcALTV2.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
6 funcringcsetcALTV2.f . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (Base‘𝑥)))
7 funcringcsetcALTV2.g . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥 RingHom 𝑦))))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7funcringcsetcALTV2lem5 48137 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐵)) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ (𝑋 RingHom 𝑋)))
98anabsan2 674 . . 3 ((𝜑𝑋𝐵) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ (𝑋 RingHom 𝑋)))
10 eqid 2734 . . . 4 (Id‘𝑅) = (Id‘𝑅)
115adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐵) → 𝑈 ∈ WUni)
12 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
13 eqid 2734 . . . 4 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
141, 3, 10, 11, 12, 13ringcid 20680 . . 3 ((𝜑𝑋𝐵) → ((Id‘𝑅)‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
159, 14fveq12d 6913 . 2 ((𝜑𝑋𝐵) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑅)‘𝑋)) = (( I ↾ (𝑋 RingHom 𝑋))‘( I ↾ (Base‘𝑋))))
161, 3, 5ringcbas 20666 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
1716eleq2d 2824 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐵𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
18 elin 3978 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring) ↔ (𝑋𝑈𝑋 ∈ Ring))
1918simprbi 496 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → 𝑋 ∈ Ring)
2017, 19biimtrdi 253 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐵𝑋 ∈ Ring))
2120imp 406 . . 3 ((𝜑𝑋𝐵) → 𝑋 ∈ Ring)
2213idrhm 20506 . . 3 (𝑋 ∈ Ring → ( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ (𝑋 RingHom 𝑋))
23 fvresi 7192 . . 3 (( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ (𝑋 RingHom 𝑋) → (( I ↾ (𝑋 RingHom 𝑋))‘( I ↾ (Base‘𝑋))) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
2421, 22, 233syl 18 . 2 ((𝜑𝑋𝐵) → (( I ↾ (𝑋 RingHom 𝑋))‘( I ↾ (Base‘𝑋))) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
251, 2, 3, 4, 5, 6funcringcsetcALTV2lem1 48133 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) = (Base‘𝑋))
2625fveq2d 6910 . . 3 ((𝜑𝑋𝐵) → ((Id‘𝑆)‘(𝐹𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(Base‘𝑋)))
27 eqid 2734 . . . 4 (Id‘𝑆) = (Id‘𝑆)
281, 3, 5ringcbasbas 20689 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐵) → (Base‘𝑋) ∈ 𝑈)
292, 27, 11, 28setcid 18139 . . 3 ((𝜑𝑋𝐵) → ((Id‘𝑆)‘(Base‘𝑋)) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
3026, 29eqtr2d 2775 . 2 ((𝜑𝑋𝐵) → ( I ↾ (Base‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹𝑋)))
3115, 24, 303eqtrd 2778 1 ((𝜑𝑋𝐵) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑅)‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  cin 3961  cmpt 5230   I cid 5581  cres 5690  cfv 6562  (class class class)co 7430  cmpo 7432  WUnicwun 10737  Basecbs 17244  Idccid 17709  SetCatcsetc 18128  Ringcrg 20250   RingHom crh 20485  RingCatcringc 20661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-wun 10739  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-cat 17712  df-cid 17713  df-homf 17714  df-ssc 17857  df-resc 17858  df-subc 17859  df-setc 18129  df-estrc 18177  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-grp 18966  df-ghm 19243  df-mgp 20152  df-ur 20199  df-ring 20252  df-rhm 20488  df-ringc 20662
This theorem is referenced by:  funcringcsetcALTV2  48142
  Copyright terms: Public domain W3C validator