Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  funcringcsetcALTV2lem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcringcsetcALTV2lem7 47281
Description: Lemma 7 for funcringcsetcALTV2 47284. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
funcringcsetcALTV2.r 𝑅 = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
funcringcsetcALTV2.s 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
funcringcsetcALTV2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
funcringcsetcALTV2.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
funcringcsetcALTV2.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
funcringcsetcALTV2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (Baseβ€˜π‘₯)))
funcringcsetcALTV2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯ RingHom 𝑦))))
Assertion
Ref Expression
funcringcsetcALTV2lem7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋𝐺𝑋)β€˜((Idβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)) = ((Idβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘‹)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐢   𝑦,𝐡,π‘₯   𝑦,𝑋   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑦)   𝑅(π‘₯,𝑦)   𝑆(π‘₯,𝑦)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem funcringcsetcALTV2lem7
StepHypRef Expression
1 funcringcsetcALTV2.r . . . . 5 𝑅 = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
2 funcringcsetcALTV2.s . . . . 5 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
3 funcringcsetcALTV2.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
4 funcringcsetcALTV2.c . . . . 5 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
5 funcringcsetcALTV2.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
6 funcringcsetcALTV2.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (Baseβ€˜π‘₯)))
7 funcringcsetcALTV2.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯ RingHom 𝑦))))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7funcringcsetcALTV2lem5 47279 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋𝐺𝑋) = ( I β†Ύ (𝑋 RingHom 𝑋)))
98anabsan2 673 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐺𝑋) = ( I β†Ύ (𝑋 RingHom 𝑋)))
10 eqid 2727 . . . 4 (Idβ€˜π‘…) = (Idβ€˜π‘…)
115adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
12 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
13 eqid 2727 . . . 4 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
141, 3, 10, 11, 12, 13ringcid 20586 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((Idβ€˜π‘…)β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)))
159, 14fveq12d 6898 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋𝐺𝑋)β€˜((Idβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)) = (( I β†Ύ (𝑋 RingHom 𝑋))β€˜( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹))))
161, 3, 5ringcbas 20572 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (π‘ˆ ∩ Ring))
1716eleq2d 2814 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ (π‘ˆ ∩ Ring)))
18 elin 3960 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (π‘ˆ ∩ Ring) ↔ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ Ring))
1918simprbi 496 . . . . 5 (𝑋 ∈ (π‘ˆ ∩ Ring) β†’ 𝑋 ∈ Ring)
2017, 19syl6bi 253 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ Ring))
2120imp 406 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ Ring)
2213idrhm 20418 . . 3 (𝑋 ∈ Ring β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)) ∈ (𝑋 RingHom 𝑋))
23 fvresi 7176 . . 3 (( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)) ∈ (𝑋 RingHom 𝑋) β†’ (( I β†Ύ (𝑋 RingHom 𝑋))β€˜( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹))) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)))
2421, 22, 233syl 18 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (( I β†Ύ (𝑋 RingHom 𝑋))β€˜( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹))) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)))
251, 2, 3, 4, 5, 6funcringcsetcALTV2lem1 47275 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹))
2625fveq2d 6895 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((Idβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = ((Idβ€˜π‘†)β€˜(Baseβ€˜π‘‹)))
27 eqid 2727 . . . 4 (Idβ€˜π‘†) = (Idβ€˜π‘†)
281, 3, 5ringcbasbas 20595 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
292, 27, 11, 28setcid 18066 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((Idβ€˜π‘†)β€˜(Baseβ€˜π‘‹)) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)))
3026, 29eqtr2d 2768 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)) = ((Idβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘‹)))
3115, 24, 303eqtrd 2771 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋𝐺𝑋)β€˜((Idβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)) = ((Idβ€˜π‘†)β€˜(πΉβ€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3943   ↦ cmpt 5225   I cid 5569   β†Ύ cres 5674  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  WUnicwun 10715  Basecbs 17171  Idccid 17636  SetCatcsetc 18055  Ringcrg 20164   RingHom crh 20397  RingCatcringc 20567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-wun 10717  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-cat 17639  df-cid 17640  df-homf 17641  df-ssc 17784  df-resc 17785  df-subc 17786  df-setc 18056  df-estrc 18104  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-grp 18884  df-ghm 19159  df-mgp 20066  df-ur 20113  df-ring 20166  df-rhm 20400  df-ringc 20568
This theorem is referenced by:  funcringcsetcALTV2  47284
  Copyright terms: Public domain W3C validator