Theorem funcringcsetcALTV2lem7 48019

Description: Lemma 7 for funcringcsetcALTV2 48022. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcringcsetcALTV2.r	⊢ 𝑅 = (RingCat‘𝑈)
funcringcsetcALTV2.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcringcsetcALTV2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
funcringcsetcALTV2.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcringcsetcALTV2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcringcsetcALTV2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (Base‘𝑥)))
funcringcsetcALTV2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥 RingHom 𝑦))))

Assertion

Ref	Expression
funcringcsetcALTV2lem7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑅)‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝐶   𝑦,𝐵,𝑥   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcringcsetcALTV2lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcringcsetcALTV2.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (RingCat‘𝑈)
2		funcringcsetcALTV2.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
3		funcringcsetcALTV2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		funcringcsetcALTV2.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
5		funcringcsetcALTV2.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
6		funcringcsetcALTV2.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (Base‘𝑥)))
7		funcringcsetcALTV2.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥 RingHom 𝑦))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	funcringcsetcALTV2lem5 48017	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ (𝑋 RingHom 𝑋)))
9	8	anabsan2 673	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ (𝑋 RingHom 𝑋)))
10		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Id‘𝑅) = (Id‘𝑅)
11	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ WUni)
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
14	1, 3, 10, 11, 12, 13	ringcid 20686	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝑅)‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
15	9, 14	fveq12d 6927	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑅)‘𝑋)) = (( I ↾ (𝑋 RingHom 𝑋))‘( I ↾ (Base‘𝑋))))
16	1, 3, 5	ringcbas 20672	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
17	16	eleq2d 2830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
18		elin 3992	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring) ↔ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ Ring))
19	18	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → 𝑋 ∈ Ring)
20	17, 19	biimtrdi 253	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ Ring))
21	20	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ Ring)
22	13	idrhm 20516	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ Ring → ( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ (𝑋 RingHom 𝑋))
23		fvresi 7207	. . 3 ⊢ (( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ (𝑋 RingHom 𝑋) → (( I ↾ (𝑋 RingHom 𝑋))‘( I ↾ (Base‘𝑋))) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
24	21, 22, 23	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( I ↾ (𝑋 RingHom 𝑋))‘( I ↾ (Base‘𝑋))) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6	funcringcsetcALTV2lem1 48013	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) = (Base‘𝑋))
26	25	fveq2d 6924	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(Base‘𝑋)))
27		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Id‘𝑆) = (Id‘𝑆)
28	1, 3, 5	ringcbasbas 20695	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑋) ∈ 𝑈)
29	2, 27, 11, 28	setcid 18153	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝑆)‘(Base‘𝑋)) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
30	26, 29	eqtr2d 2781	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( I ↾ (Base‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)))
31	15, 24, 30	3eqtrd 2784	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑅)‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3975   ↦ cmpt 5249   I cid 5592   ↾ cres 5702  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  WUnicwun 10769  Basecbs 17258  Idccid 17723  SetCatcsetc 18142  Ringcrg 20260   RingHom crh 20495  RingCatcringc 20667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-wun 10771  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-cat 17726  df-cid 17727  df-homf 17728  df-ssc 17871  df-resc 17872  df-subc 17873  df-setc 18143  df-estrc 18191  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-grp 18976  df-ghm 19253  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262  df-rhm 20498  df-ringc 20668

This theorem is referenced by:  funcringcsetcALTV2  48022