Theorem sgnval2 33209

Description: Value of the signum of a real number, expresssed using absolute value. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sgnval2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sgn‘𝐴) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))

Proof of Theorem sgnval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		0red 11238	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ∈ ℝ)
3	1	recnd 11264	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ≠ 0)
6	4, 4, 5	divneg2d 12032	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -(𝐴 / 𝐴) = (𝐴 / -𝐴))
7		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
8	3, 7	dividd 12016	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
10	9	negeqd 11478	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -(𝐴 / 𝐴) = -1)
11	6, 10	eqtr3d 2797	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 / -𝐴) = -1)
12		absnid 15388	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
13	12	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
14	13	oveq2d 7430	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 / (abs‘𝐴)) = (𝐴 / -𝐴))
15	1	rexrd 11286	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
16	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		0red 11238	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
18		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ≤ 0)
19	7	necomd 3010	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≠ 𝐴)
20	19	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ≠ 𝐴)
21	16, 17, 18, 20	leneltd 11391	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 < 0)
22		sgnn 15170	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)
23	15, 21, 22	syl2an2r 698	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (sgn‘𝐴) = -1)
24	11, 14, 23	3eqtr4rd 2806	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (sgn‘𝐴) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
25	8	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
26	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
27		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
28	26, 27	absidd 15513	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
29	28	oveq2d 7430	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 / (abs‘𝐴)) = (𝐴 / 𝐴))
30		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
31	26, 27, 30	ne0gt0d 11374	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴)
32		sgnp 15166	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)
33	15, 31, 32	syl2an2r 698	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)
34	25, 29, 33	3eqtr4rd 2806	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (sgn‘𝐴) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
35	1, 2, 24, 34	lecasei 11343	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sgn‘𝐴) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270   ≤ cle 11271  -cneg 11469   / cdiv 11898  sgncsgn 15162  abscabs 15324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13046  df-seq 14069  df-exp 14129  df-sgn 15163  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326

This theorem is used by:  cos9thpiminplylem2  34296