Theorem sgnval2 32708

Description: Value of the signum of a real number, expresssed using absolute value. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sgnval2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sgn‘𝐴) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))

Proof of Theorem sgnval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		0red 11153	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ∈ ℝ)
3	1	recnd 11178	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ≠ 0)
6	4, 4, 5	divneg2d 11948	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -(𝐴 / 𝐴) = (𝐴 / -𝐴))
7		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
8	3, 7	dividd 11932	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
10	9	negeqd 11391	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -(𝐴 / 𝐴) = -1)
11	6, 10	eqtr3d 2766	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 / -𝐴) = -1)
12		absnid 15240	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
13	12	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
14	13	oveq2d 7385	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 / (abs‘𝐴)) = (𝐴 / -𝐴))
15	1	rexrd 11200	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
16	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		0red 11153	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
18		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ≤ 0)
19	7	necomd 2980	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≠ 𝐴)
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ≠ 𝐴)
21	16, 17, 18, 20	leneltd 11304	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 < 0)
22		sgnn 15036	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)
23	15, 21, 22	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (sgn‘𝐴) = -1)
24	11, 14, 23	3eqtr4rd 2775	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (sgn‘𝐴) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
25	8	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
26	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
27		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
28	26, 27	absidd 15365	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
29	28	oveq2d 7385	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 / (abs‘𝐴)) = (𝐴 / 𝐴))
30		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
31	26, 27, 30	ne0gt0d 11287	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴)
32		sgnp 15032	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)
33	15, 31, 32	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)
34	25, 29, 33	3eqtr4rd 2775	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (sgn‘𝐴) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
35	1, 2, 24, 34	lecasei 11256	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sgn‘𝐴) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184   ≤ cle 11185  -cneg 11382   / cdiv 11811  sgncsgn 15028  abscabs 15176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-seq 13943  df-exp 14003  df-sgn 15029  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178

This theorem is referenced by:  cos9thpiminplylem2  33766