Theorem sgnval2 33327

Description: Value of the signum of a real number, expresssed using absolute value. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sgnval2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sgn‘𝐴) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))

Proof of Theorem sgnval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		0red 11311	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ∈ ℝ)
3	1	recnd 11337	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ≠ 0)
6	4, 4, 5	divneg2d 12107	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -(𝐴 / 𝐴) = (𝐴 / -𝐴))
7		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
8	3, 7	dividd 12091	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
10	9	negeqd 11551	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -(𝐴 / 𝐴) = -1)
11	6, 10	eqtr3d 2798	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 / -𝐴) = -1)
12		absnid 15465	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
13	12	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
14	13	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 / (abs‘𝐴)) = (𝐴 / -𝐴))
15	1	rexrd 11359	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
16	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		0red 11311	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
18		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ≤ 0)
19	7	necomd 3011	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≠ 𝐴)
20	19	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ≠ 𝐴)
21	16, 17, 18, 20	leneltd 11464	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 < 0)
22		sgnn 15247	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)
23	15, 21, 22	syl2an2r 698	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (sgn‘𝐴) = -1)
24	11, 14, 23	3eqtr4rd 2807	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (sgn‘𝐴) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
25	8	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
26	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
27		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
28	26, 27	absidd 15590	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
29	28	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 / (abs‘𝐴)) = (𝐴 / 𝐴))
30		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
31	26, 27, 30	ne0gt0d 11447	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴)
32		sgnp 15243	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)
33	15, 31, 32	syl2an2r 698	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)
34	25, 29, 33	3eqtr4rd 2807	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (sgn‘𝐴) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
35	1, 2, 24, 34	lecasei 11416	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sgn‘𝐴) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344   -cneg 11542   / cdiv 11973  sgncsgn 15239  abscabs 15401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-seq 14145  df-exp 14205  df-sgn 15240  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403

This theorem is used by:  cos9thpiminplylem2  34415