Theorem sgnval2 33380

Description: Value of the signum of a real number, expresssed using absolute value. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sgnval2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sgn‘𝐴) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))

Proof of Theorem sgnval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		0red 11321	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ∈ ℝ)
3	1	recnd 11347	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ≠ 0)
6	4, 4, 5	divneg2d 12117	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -(𝐴 / 𝐴) = (𝐴 / -𝐴))
7		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
8	3, 7	dividd 12101	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
10	9	negeqd 11561	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -(𝐴 / 𝐴) = -1)
11	6, 10	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 / -𝐴) = -1)
12		absnid 15477	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
13	12	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
14	13	oveq2d 7443	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 / (abs‘𝐴)) = (𝐴 / -𝐴))
15	1	rexrd 11369	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
16	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		0red 11321	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
18		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ≤ 0)
19	7	necomd 3013	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≠ 𝐴)
20	19	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ≠ 𝐴)
21	16, 17, 18, 20	leneltd 11474	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 < 0)
22		sgnn 15259	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)
23	15, 21, 22	syl2an2r 698	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (sgn‘𝐴) = -1)
24	11, 14, 23	3eqtr4rd 2809	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (sgn‘𝐴) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
25	8	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
26	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
27		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
28	26, 27	absidd 15602	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
29	28	oveq2d 7443	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 / (abs‘𝐴)) = (𝐴 / 𝐴))
30		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
31	26, 27, 30	ne0gt0d 11457	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴)
32		sgnp 15255	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)
33	15, 31, 32	syl2an2r 698	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)
34	25, 29, 33	3eqtr4rd 2809	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (sgn‘𝐴) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
35	1, 2, 24, 34	lecasei 11426	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sgn‘𝐴) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958   class class class wbr 5105  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  ℂcc 11208  ℝcr 11209  0cc0 11210  1c1 11211  ℝ^*cxr 11352   < clt 11353   ≤ cle 11354   -cneg 11552   / cdiv 11983  sgncsgn 15251  abscabs 15413

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9444  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-rp 13131  df-seq 14155  df-exp 14215  df-sgn 15252  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415

This theorem is used by:  cos9thpiminplylem2  34468