Theorem sgnval2 32718

Description: Value of the signum of a real number, expresssed using absolute value. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sgnval2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sgn‘𝐴) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))

Proof of Theorem sgnval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		0red 11115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ∈ ℝ)
3	1	recnd 11140	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ≠ 0)
6	4, 4, 5	divneg2d 11911	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -(𝐴 / 𝐴) = (𝐴 / -𝐴))
7		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
8	3, 7	dividd 11895	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
10	9	negeqd 11354	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → -(𝐴 / 𝐴) = -1)
11	6, 10	eqtr3d 2768	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 / -𝐴) = -1)
12		absnid 15205	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
13	12	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
14	13	oveq2d 7362	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 / (abs‘𝐴)) = (𝐴 / -𝐴))
15	1	rexrd 11162	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
16	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		0red 11115	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
18		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ≤ 0)
19	7	necomd 2983	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≠ 𝐴)
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ≠ 𝐴)
21	16, 17, 18, 20	leneltd 11267	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 < 0)
22		sgnn 15001	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)
23	15, 21, 22	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (sgn‘𝐴) = -1)
24	11, 14, 23	3eqtr4rd 2777	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 0) → (sgn‘𝐴) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
25	8	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
26	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
27		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
28	26, 27	absidd 15330	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
29	28	oveq2d 7362	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 / (abs‘𝐴)) = (𝐴 / 𝐴))
30		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
31	26, 27, 30	ne0gt0d 11250	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴)
32		sgnp 14997	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)
33	15, 31, 32	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)
34	25, 29, 33	3eqtr4rd 2777	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (sgn‘𝐴) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
35	1, 2, 24, 34	lecasei 11219	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sgn‘𝐴) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146   ≤ cle 11147  -cneg 11345   / cdiv 11774  sgncsgn 14993  abscabs 15141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-seq 13909  df-exp 13969  df-sgn 14994  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143

This theorem is referenced by:  cos9thpiminplylem2  33796