Theorem smfpreimage 46764

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of a closed interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpreimage.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpreimage.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpreimage.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpreimage.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
smfpreimage	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 ≤ (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem smfpreimage

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpreimage.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		smfpreimage.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
3		smfpreimage.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		smfpreimage.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
5	3, 4	issmfge 46752	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 ≤ (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))))
6	2, 5	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 ≤ (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
7	6	simp3d 1144	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 ≤ (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
8		breq1 5098	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ 𝐴 ≤ (𝐹‘𝑥)))
9	8	rabbidv 3404	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 ≤ (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 ≤ (𝐹‘𝑥)})
10	9	eleq1d 2813	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ({𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 ≤ (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 ≤ (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
11	10	rspcva 3577	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 ≤ (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 ≤ (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
12	1, 7, 11	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 ≤ (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3396   ⊆ wss 3905  ∪ cuni 4861   class class class wbr 5095  dom cdm 5623  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027   ≤ cle 11169   ↾_t crest 17342  SAlgcsalg 46290  SMblFncsmblfn 46677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cc 10348  ax-ac2 10376  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-card 9854  df-acn 9857  df-ac 10029  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-ioo 13270  df-ico 13272  df-fl 13714  df-rest 17344  df-salg 46291  df-smblfn 46678

This theorem is referenced by: (None)