Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpreimage Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpreimage 43278
 Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of a closed interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpreimage.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpreimage.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpreimage.d 𝐷 = dom 𝐹
smfpreimage.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
smfpreimage (𝜑 → {𝑥𝐷𝐴 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem smfpreimage
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfpreimage.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 smfpreimage.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
3 smfpreimage.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 smfpreimage.d . . . . 5 𝐷 = dom 𝐹
53, 4issmfge 43266 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))))
62, 5mpbid 235 . . 3 (𝜑 → (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷)))
76simp3d 1141 . 2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
8 breq1 5055 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ≤ (𝐹𝑥) ↔ 𝐴 ≤ (𝐹𝑥)))
98rabbidv 3466 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → {𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} = {𝑥𝐷𝐴 ≤ (𝐹𝑥)})
109eleq1d 2900 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → ({𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ {𝑥𝐷𝐴 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷)))
1110rspcva 3607 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷)) → {𝑥𝐷𝐴 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
121, 7, 11syl2anc 587 1 (𝜑 → {𝑥𝐷𝐴 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  {crab 3137   ⊆ wss 3919  ∪ cuni 4824   class class class wbr 5052  dom cdm 5542  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  (class class class)co 7145  ℝcr 10528   ≤ cle 10668   ↾t crest 16690  SAlgcsalg 42813  SMblFncsmblfn 43197 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-inf2 9095  ax-cc 9849  ax-ac2 9877  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-sup 8897  df-inf 8898  df-card 9359  df-acn 9362  df-ac 9534  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-q 12342  df-rp 12383  df-ioo 12735  df-ico 12737  df-fl 13162  df-rest 16692  df-salg 42814  df-smblfn 43198 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator