Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpreimage Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpreimage 46308
Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of a closed interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpreimage.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpreimage.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpreimage.d 𝐷 = dom 𝐹
smfpreimage.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
smfpreimage (𝜑 → {𝑥𝐷𝐴 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem smfpreimage
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfpreimage.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 smfpreimage.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
3 smfpreimage.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 smfpreimage.d . . . . 5 𝐷 = dom 𝐹
53, 4issmfge 46296 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))))
62, 5mpbid 231 . . 3 (𝜑 → (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷)))
76simp3d 1141 . 2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
8 breq1 5152 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ≤ (𝐹𝑥) ↔ 𝐴 ≤ (𝐹𝑥)))
98rabbidv 3426 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → {𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} = {𝑥𝐷𝐴 ≤ (𝐹𝑥)})
109eleq1d 2810 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → ({𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ {𝑥𝐷𝐴 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷)))
1110rspcva 3604 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷)) → {𝑥𝐷𝐴 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
121, 7, 11syl2anc 582 1 (𝜑 → {𝑥𝐷𝐴 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  {crab 3418  wss 3944   cuni 4909   class class class wbr 5149  dom cdm 5678  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  cr 11139  cle 11281  t crest 17405  SAlgcsalg 45834  SMblFncsmblfn 46221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cc 10460  ax-ac2 10488  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-card 9964  df-acn 9967  df-ac 10141  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-ioo 13363  df-ico 13365  df-fl 13793  df-rest 17407  df-salg 45835  df-smblfn 46222
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator