Theorem mbfpsssmf 47135

Description: Real-valued measurable functions are a proper subset of sigma-measurable functions (w.r.t. the Lebesgue measure on the reals). (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
mbfpsssmf.1	⊢ 𝑆 = dom vol

Assertion

Ref	Expression
mbfpsssmf	⊢ (MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ)) ⊊ (SMblFn‘𝑆)

Proof of Theorem mbfpsssmf

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel1 4155	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ)) → 𝑓 ∈ MblFn)
2		elinel2 4156	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ)) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
3		elpmrn 45572	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ)) → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
5		mbfpsssmf.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = dom vol
6	1, 4, 5	mbfresmf 47091	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ)) → 𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆))
7	6	ssriv 3939	. . 3 ⊢ (MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ)) ⊆ (SMblFn‘𝑆)
8	5	nsssmfmbf 47131	. . . 4 ⊢ ¬ (SMblFn‘𝑆) ⊆ MblFn
9	1	ssriv 3939	. . . 4 ⊢ (MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ)) ⊆ MblFn
10		nsstr 45448	. . . 4 ⊢ ((¬ (SMblFn‘𝑆) ⊆ MblFn ∧ (MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ)) ⊆ MblFn) → ¬ (SMblFn‘𝑆) ⊆ (MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ)))
11	8, 9, 10	mp2an 693	. . 3 ⊢ ¬ (SMblFn‘𝑆) ⊆ (MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ))
12	7, 11	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ)) ⊆ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ (SMblFn‘𝑆) ⊆ (MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ)))
13		dfpss3 4043	. 2 ⊢ ((MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ)) ⊊ (SMblFn‘𝑆) ↔ ((MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ)) ⊆ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ (SMblFn‘𝑆) ⊆ (MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ))))
14	12, 13	mpbir 231	1 ⊢ (MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ)) ⊊ (SMblFn‘𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903   ⊊ wpss 3904  dom cdm 5632  ran crn 5633  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↑_pm cpm 8776  ℝcr 11037  volcvol 25432  MblFncmbf 25583  SMblFncsmblfn 47047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-ac2 10385  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-ec 8647  df-qs 8651  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-acn 9866  df-ac 10038  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-rest 17354  df-topgen 17375  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-top 22850  df-topon 22867  df-bases 22902  df-cmp 23343  df-ovol 25433  df-vol 25434  df-mbf 25588  df-salg 46661  df-smblfn 47048

This theorem is referenced by: (None)