Theorem mbfpsssmf 46739

Description: Real-valued measurable functions are a proper subset of sigma-measurable functions (w.r.t. the Lebesgue measure on the reals). (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
mbfpsssmf.1	⊢ 𝑆 = dom vol

Assertion

Ref	Expression
mbfpsssmf	⊢ (MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ)) ⊊ (SMblFn‘𝑆)

Proof of Theorem mbfpsssmf

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel1 4211	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ)) → 𝑓 ∈ MblFn)
2		elinel2 4212	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ)) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
3		elpmrn 45163	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ)) → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
5		mbfpsssmf.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = dom vol
6	1, 4, 5	mbfresmf 46695	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ)) → 𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆))
7	6	ssriv 3999	. . 3 ⊢ (MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ)) ⊆ (SMblFn‘𝑆)
8	5	nsssmfmbf 46735	. . . 4 ⊢ ¬ (SMblFn‘𝑆) ⊆ MblFn
9	1	ssriv 3999	. . . 4 ⊢ (MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ)) ⊆ MblFn
10		nsstr 45035	. . . 4 ⊢ ((¬ (SMblFn‘𝑆) ⊆ MblFn ∧ (MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ)) ⊆ MblFn) → ¬ (SMblFn‘𝑆) ⊆ (MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ)))
11	8, 9, 10	mp2an 692	. . 3 ⊢ ¬ (SMblFn‘𝑆) ⊆ (MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ))
12	7, 11	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ)) ⊆ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ (SMblFn‘𝑆) ⊆ (MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ)))
13		dfpss3 4099	. 2 ⊢ ((MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ)) ⊊ (SMblFn‘𝑆) ↔ ((MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ)) ⊆ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ (SMblFn‘𝑆) ⊆ (MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ))))
14	12, 13	mpbir 231	1 ⊢ (MblFn ∩ (ℝ ↑pm ℝ)) ⊊ (SMblFn‘𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963   ⊊ wpss 3964  dom cdm 5689  ran crn 5690  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ↑_pm cpm 8866  ℝcr 11152  volcvol 25512  MblFncmbf 25663  SMblFncsmblfn 46651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cmp 23411  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668  df-salg 46265  df-smblfn 46652

This theorem is referenced by: (None)