Theorem sps3wwlks2on 30373

Description: A length 3 string which represents a walk of length 2 between two vertices. Concerns simple pseudographs, in contrast to s3wwlks2on 30372 and does not require the Axiom of Choice for its proof. (Contributed by Ender Ting, 28-Jan-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
s3wwlks2on.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
sps3wwlks2on	⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ (♯‘𝑓) = 2)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝐶,𝑓   𝑓,𝐺

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem sps3wwlks2on

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlknon 30273	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)))
3		3anass 1111	. . . 4 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)))
4		s3fv0 14952	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
5		s3fv2 14954	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
6	4, 5	anim12i 625	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶))
7	6	biantrud 541	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶))))
8	3, 7	bitr4id 293	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺)))
9	8	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺)))
10		wlklnwwlkn 30300	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → (∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ (♯‘𝑓) = 2) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺)))
11	10	bicomd 226	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ↔ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
12	11	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ↔ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
13	2, 9, 12	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ (♯‘𝑓) = 2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11115  2c2 12310  ♯chash 14384  ⟨“cs3 14903  Vtxcvtx 29401  USPGraphcuspgr 29556  Walkscwlks 30004   WWalksN cwwlksn 30242   WWalksNOn cwwlksnon 30243

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-n0 12520  df-xnn0 12593  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-hash 14385  df-word 14569  df-concat 14626  df-s1 14653  df-s2 14909  df-s3 14910  df-edg 29453  df-uhgr 29463  df-upgr 29487  df-uspgr 29558  df-wlks 30007  df-wwlks 30246  df-wwlksn 30247  df-wwlksnon 30248

This theorem is used by:  usgrwwlks2on  30374