Theorem sps3wwlks2on 29979

Description: A length 3 string which represents a walk of length 2 between two vertices. Concerns simple pseudographs, in contrast to s3wwlks2on 29978 and does not require the Axiom of Choice for its proof. (Contributed by Ender Ting, 28-Jan-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
s3wwlks2on.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
sps3wwlks2on	⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ (♯‘𝑓) = 2)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝐶,𝑓   𝑓,𝐺

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem sps3wwlks2on

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlknon 29879	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)))
3		3anass 1094	. . . 4 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)))
4		s3fv0 14812	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
5		s3fv2 14814	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
6	4, 5	anim12i 613	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶))
7	6	biantrud 531	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶))))
8	3, 7	bitr4id 290	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺)))
9	8	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺)))
10		wlklnwwlkn 29906	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → (∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ (♯‘𝑓) = 2) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺)))
11	10	bicomd 223	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ↔ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
12	11	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ↔ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
13	2, 9, 12	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑓(𝑓(Walks‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ (♯‘𝑓) = 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  0cc0 11024  2c2 12198  ♯chash 14251  ⟨“cs3 14763  Vtxcvtx 29018  USPGraphcuspgr 29170  Walkscwlks 29619   WWalksN cwwlksn 29848   WWalksNOn cwwlksnon 29849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-hash 14252  df-word 14435  df-concat 14492  df-s1 14518  df-s2 14769  df-s3 14770  df-edg 29070  df-uhgr 29080  df-upgr 29104  df-uspgr 29172  df-wlks 29622  df-wwlks 29852  df-wwlksn 29853  df-wwlksnon 29854

This theorem is referenced by:  usgrwwlks2on  29980