Theorem srapwov 33733

Description: The "power" operation on a subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapwov.a	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆)
srapwov.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
srapwov.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
srapwov	⊢ (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘𝑊)) = (.g‘(mulGrp‘𝐴)))

Proof of Theorem srapwov

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑊)) = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
2		eqid 2736	. 2 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝐴)) = (.g‘(mulGrp‘𝐴))
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑊) = (mulGrp‘𝑊)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5	3, 4	mgpbas 20126	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(mulGrp‘𝑊))
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘(mulGrp‘𝑊)))
7		srapwov.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
9		srapwov.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
10	8, 9	srabase 21172	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐴))
11		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝐴) = (mulGrp‘𝐴)
12		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
13	11, 12	mgpbas 20126	. . 3 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘(mulGrp‘𝐴))
14	10, 13	eqtrdi 2787	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘(mulGrp‘𝐴)))
15		ssidd 3945	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ⊆ (Base‘𝑊))
16		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
17	3, 16	mgpplusg 20125	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑊) = (+g‘(mulGrp‘𝑊))
18	17	eqcomi 2745	. . 3 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑊)) = (.r‘𝑊)
19		srapwov.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
20	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Ring)
21		simprl 771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
22		simprr 773	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
23	4, 18, 20, 21, 22	ringcld 20241	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑊))𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
24	8, 9	sramulr 21174	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑊) = (.r‘𝐴))
25	7	fveq2i 6843	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝐴) = (mulGrp‘((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
26	7	fveq2i 6843	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
27	25, 26	mgpplusg 20125	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐴) = (+g‘(mulGrp‘𝐴))
28	24, 17, 27	3eqtr3g 2794	. . 3 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑊)) = (+g‘(mulGrp‘𝐴)))
29	28	oveqdr 7395	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑊))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐴))𝑦))
30	1, 2, 6, 14, 15, 23, 29	mulgpropd 19092	1 ⊢ (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘𝑊)) = (.g‘(mulGrp‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  ._gcmg 19043  mulGrpcmgp 20121  Ringcrg 20214  subringAlg csra 21166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-seq 13964  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-minusg 18913  df-mulg 19044  df-mgp 20122  df-ring 20216  df-sra 21168

This theorem is referenced by:  extdgfialglem2  33837