Theorem srapwov 34332

Description: The "power" operation on a subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapwov.a	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆)
srapwov.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
srapwov.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
srapwov	⊢ (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘𝑊)) = (.g‘(mulGrp‘𝐴)))

Proof of Theorem srapwov

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑊)) = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
2		eqid 2763	. 2 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝐴)) = (.g‘(mulGrp‘𝐴))
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑊) = (mulGrp‘𝑊)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5	3, 4	mgpbas 20416	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(mulGrp‘𝑊))
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘(mulGrp‘𝑊)))
7		srapwov.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
9		srapwov.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
10	8, 9	srabase 21503	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐴))
11		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝐴) = (mulGrp‘𝐴)
12		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
13	11, 12	mgpbas 20416	. . 3 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘(mulGrp‘𝐴))
14	10, 13	eqtrdi 2814	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘(mulGrp‘𝐴)))
15		ssidd 3936	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ⊆ (Base‘𝑊))
16		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
17	3, 16	mgpplusg 20415	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑊) = (+g‘(mulGrp‘𝑊))
18	17	eqcomi 2772	. . 3 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑊)) = (.r‘𝑊)
19		srapwov.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
20	19	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Ring)
21		simprl 783	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
22		simprr 785	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
23	4, 18, 20, 21, 22	ringcld 20535	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑊))𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
24	8, 9	sramulr 21505	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑊) = (.r‘𝐴))
25	7	fveq2i 6919	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝐴) = (mulGrp‘((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
26	7	fveq2i 6919	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
27	25, 26	mgpplusg 20415	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐴) = (+g‘(mulGrp‘𝐴))
28	24, 17, 27	3eqtr3g 2821	. . 3 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑊)) = (+g‘(mulGrp‘𝐴)))
29	28	oveqdr 7479	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑊))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐴))𝑦))
30	1, 2, 6, 14, 15, 23, 29	mulgpropd 19376	1 ⊢ (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘𝑊)) = (.g‘(mulGrp‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6566  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  ._rcmulr 17473  ._gcmg 19327  mulGrpcmgp 20411  Ringcrg 20510  subringAlg csra 21497

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-seq 14185  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-minusg 19198  df-mulg 19328  df-mgp 20412  df-ring 20512  df-sra 21499

This theorem is used by:  extdgfialglem2  34436