Theorem srapwov 34214

Description: The "power" operation on a subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapwov.a	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆)
srapwov.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
srapwov.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
srapwov	⊢ (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘𝑊)) = (.g‘(mulGrp‘𝐴)))

Proof of Theorem srapwov

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. 2 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑊)) = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
2		eqid 2761	. 2 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝐴)) = (.g‘(mulGrp‘𝐴))
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑊) = (mulGrp‘𝑊)
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5	3, 4	mgpbas 20358	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(mulGrp‘𝑊))
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘(mulGrp‘𝑊)))
7		srapwov.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
9		srapwov.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
10	8, 9	srabase 21445	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐴))
11		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝐴) = (mulGrp‘𝐴)
12		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
13	11, 12	mgpbas 20358	. . 3 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘(mulGrp‘𝐴))
14	10, 13	eqtrdi 2812	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘(mulGrp‘𝐴)))
15		ssidd 3954	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ⊆ (Base‘𝑊))
16		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
17	3, 16	mgpplusg 20357	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑊) = (+g‘(mulGrp‘𝑊))
18	17	eqcomi 2770	. . 3 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑊)) = (.r‘𝑊)
19		srapwov.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
20	19	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Ring)
21		simprl 783	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
22		simprr 785	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
23	4, 18, 20, 21, 22	ringcld 20477	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑊))𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
24	8, 9	sramulr 21447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑊) = (.r‘𝐴))
25	7	fveq2i 6886	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝐴) = (mulGrp‘((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
26	7	fveq2i 6886	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
27	25, 26	mgpplusg 20357	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐴) = (+g‘(mulGrp‘𝐴))
28	24, 17, 27	3eqtr3g 2819	. . 3 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑊)) = (+g‘(mulGrp‘𝐴)))
29	28	oveqdr 7446	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑊))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐴))𝑦))
30	1, 2, 6, 14, 15, 23, 29	mulgpropd 19319	1 ⊢ (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘𝑊)) = (.g‘(mulGrp‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6537  Basecbs 17380  +_gcplusg 17421  ._rcmulr 17422  ._gcmg 19270  mulGrpcmgp 20353  Ringcrg 20452  subringAlg csra 21439

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-seq 14138  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-0g 17605  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-minusg 19141  df-mulg 19271  df-mgp 20354  df-ring 20454  df-sra 21441

This theorem is used by:  extdgfialglem2  34318