Theorem srapwov 33920

Description: The "power" operation on a subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapwov.a	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆)
srapwov.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
srapwov.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
srapwov	⊢ (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘𝑊)) = (.g‘(mulGrp‘𝐴)))

Proof of Theorem srapwov

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. 2 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑊)) = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
2		eqid 2769	. 2 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝐴)) = (.g‘(mulGrp‘𝐴))
3		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑊) = (mulGrp‘𝑊)
4		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5	3, 4	mgpbas 20217	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(mulGrp‘𝑊))
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘(mulGrp‘𝑊)))
7		srapwov.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
9		srapwov.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
10	8, 9	srabase 21272	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐴))
11		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝐴) = (mulGrp‘𝐴)
12		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
13	11, 12	mgpbas 20217	. . 3 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘(mulGrp‘𝐴))
14	10, 13	eqtrdi 2820	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘(mulGrp‘𝐴)))
15		ssidd 3968	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ⊆ (Base‘𝑊))
16		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
17	3, 16	mgpplusg 20216	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑊) = (+g‘(mulGrp‘𝑊))
18	17	eqcomi 2778	. . 3 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑊)) = (.r‘𝑊)
19		srapwov.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
20	19	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Ring)
21		simprl 782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
22		simprr 784	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
23	4, 18, 20, 21, 22	ringcld 20338	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑊))𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
24	8, 9	sramulr 21274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑊) = (.r‘𝐴))
25	7	fveq2i 6882	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝐴) = (mulGrp‘((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
26	7	fveq2i 6882	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
27	25, 26	mgpplusg 20216	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐴) = (+g‘(mulGrp‘𝐴))
28	24, 17, 27	3eqtr3g 2827	. . 3 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑊)) = (+g‘(mulGrp‘𝐴)))
29	28	oveqdr 7436	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑊))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐴))𝑦))
30	1, 2, 6, 14, 15, 23, 29	mulgpropd 19178	1 ⊢ (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘𝑊)) = (.g‘(mulGrp‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6533  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  ._rcmulr 17307  ._gcmg 19129  mulGrpcmgp 20212  Ringcrg 20311  subringAlg csra 21266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-seq 14034  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-minusg 19000  df-mulg 19130  df-mgp 20213  df-ring 20313  df-sra 21268

This theorem is referenced by:  extdgfialglem2  34024