Theorem srapwov 34002

Description: The "power" operation on a subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapwov.a	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆)
srapwov.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
srapwov.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
srapwov	⊢ (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘𝑊)) = (.g‘(mulGrp‘𝐴)))

Proof of Theorem srapwov

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. 2 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑊)) = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
2		eqid 2765	. 2 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝐴)) = (.g‘(mulGrp‘𝐴))
3		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑊) = (mulGrp‘𝑊)
4		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5	3, 4	mgpbas 20244	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(mulGrp‘𝑊))
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘(mulGrp‘𝑊)))
7		srapwov.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
9		srapwov.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
10	8, 9	srabase 21327	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐴))
11		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝐴) = (mulGrp‘𝐴)
12		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
13	11, 12	mgpbas 20244	. . 3 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘(mulGrp‘𝐴))
14	10, 13	eqtrdi 2816	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘(mulGrp‘𝐴)))
15		ssidd 3961	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ⊆ (Base‘𝑊))
16		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
17	3, 16	mgpplusg 20243	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑊) = (+g‘(mulGrp‘𝑊))
18	17	eqcomi 2774	. . 3 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑊)) = (.r‘𝑊)
19		srapwov.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
20	19	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Ring)
21		simprl 783	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
22		simprr 785	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
23	4, 18, 20, 21, 22	ringcld 20362	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑊))𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
24	8, 9	sramulr 21329	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑊) = (.r‘𝐴))
25	7	fveq2i 6888	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝐴) = (mulGrp‘((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
26	7	fveq2i 6888	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
27	25, 26	mgpplusg 20243	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐴) = (+g‘(mulGrp‘𝐴))
28	24, 17, 27	3eqtr3g 2823	. . 3 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑊)) = (+g‘(mulGrp‘𝐴)))
29	28	oveqdr 7444	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑊))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐴))𝑦))
30	1, 2, 6, 14, 15, 23, 29	mulgpropd 19205	1 ⊢ (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘𝑊)) = (.g‘(mulGrp‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6540  Basecbs 17286  +_gcplusg 17327  ._rcmulr 17328  ._gcmg 19156  mulGrpcmgp 20239  Ringcrg 20338  subringAlg csra 21321

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-fz 13547  df-seq 14051  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-ip 17345  df-0g 17511  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-minusg 19027  df-mulg 19157  df-mgp 20240  df-ring 20340  df-sra 21323

This theorem is used by:  extdgfialglem2  34106