Theorem lsssra 33600

Description: A subring is a subspace of the subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsssra.w	⊢ 𝑊 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝐶)
lsssra.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑅)
lsssra.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐵)
lsssra.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
lsssra.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
lsssra	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LSubSp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssra

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsssra.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
2		lsssra.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑆))
3		lsssra.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐵)
4	3	subsubrg 20513	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)))
5	4	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵))
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵))
7	6	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅))
8		lsssra.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝐶)
9	8	sralmod 21121	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑊 ∈ LMod)
10	7, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
11		lsssra.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑅)
12	11	subrgss 20487	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
13	1, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
14	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝐶))
15	6	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
16	15, 13	sstrd 3940	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
17	16, 11	sseqtrdi 3970	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
18	14, 17	srabase 21111	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑊))
19	11, 18	eqtrid 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘𝑊))
20	13, 19	sseqtrd 3966	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
21	1	elfvexd 6858	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
22	11, 3, 13, 15, 21	resssra 33599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((subringAlg ‘𝑆)‘𝐶) = (((subringAlg ‘𝑅)‘𝐶) ↾s 𝐵))
23	8	oveq1i 7356	. . . 4 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐵) = (((subringAlg ‘𝑅)‘𝐶) ↾s 𝐵)
24	22, 23	eqtr4di 2784	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((subringAlg ‘𝑆)‘𝐶) = (𝑊 ↾s 𝐵))
25		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ((subringAlg ‘𝑆)‘𝐶) = ((subringAlg ‘𝑆)‘𝐶)
26	25	sralmod 21121	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑆) → ((subringAlg ‘𝑆)‘𝐶) ∈ LMod)
27	2, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((subringAlg ‘𝑆)‘𝐶) ∈ LMod)
28	24, 27	eqeltrrd 2832	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝐵) ∈ LMod)
29		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s 𝐵)
30		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
31		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
32	29, 30, 31	islss3 20892	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐵 ∈ (LSubSp‘𝑊) ↔ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑊 ↾s 𝐵) ∈ LMod)))
33	32	biimpar 477	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑊 ↾s 𝐵) ∈ LMod)) → 𝐵 ∈ (LSubSp‘𝑊))
34	10, 20, 28, 33	syl12anc 836	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LSubSp‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  SubRingcsubrg 20484  LModclmod 20793  LSubSpclss 20864  subringAlg csra 21105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-subg 19036  df-mgp 20059  df-ur 20100  df-ring 20153  df-subrg 20485  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-sra 21107

This theorem is referenced by:  algextdeglem2  33731