Theorem lsssra 34220

Description: A subring is a subspace of the subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsssra.w	⊢ 𝑊 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝐶)
lsssra.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑅)
lsssra.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐵)
lsssra.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
lsssra.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
lsssra	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LSubSp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssra

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsssra.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
2		lsssra.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑆))
3		lsssra.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐵)
4	3	subsubrg 20850	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)))
5	4	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵))
6	1, 2, 5	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵))
7	6	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅))
8		lsssra.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝐶)
9	8	sralmod 21462	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑊 ∈ LMod)
10	7, 9	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
11		lsssra.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑅)
12	11	subrgss 20824	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
13	1, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
14	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝐶))
15	6	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
16	15, 13	sstrd 3941	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
17	16, 11	sseqtrdi 3971	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
18	14, 17	srabase 21452	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑊))
19	11, 18	eqtrid 2808	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘𝑊))
20	13, 19	sseqtrd 3967	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
21	1	elfvexd 6921	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
22	11, 3, 13, 15, 21	resssra 34219	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((subringAlg ‘𝑆)‘𝐶) = (((subringAlg ‘𝑅)‘𝐶) ↾s 𝐵))
23	8	oveq1i 7430	. . . 4 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐵) = (((subringAlg ‘𝑅)‘𝐶) ↾s 𝐵)
24	22, 23	eqtr4di 2814	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((subringAlg ‘𝑆)‘𝐶) = (𝑊 ↾s 𝐵))
25		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ((subringAlg ‘𝑆)‘𝐶) = ((subringAlg ‘𝑆)‘𝐶)
26	25	sralmod 21462	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑆) → ((subringAlg ‘𝑆)‘𝐶) ∈ LMod)
27	2, 26	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((subringAlg ‘𝑆)‘𝐶) ∈ LMod)
28	24, 27	eqeltrrd 2862	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝐵) ∈ LMod)
29		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s 𝐵)
30		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
31		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
32	29, 30, 31	islss3 21234	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐵 ∈ (LSubSp‘𝑊) ↔ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑊 ↾s 𝐵) ∈ LMod)))
33	32	biimpar 483	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑊 ↾s 𝐵) ∈ LMod)) → 𝐵 ∈ (LSubSp‘𝑊))
34	10, 20, 28, 33	syl12anc 850	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LSubSp‘𝑊))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408  SubRingcsubrg 20821  LModclmod 21135  LSubSpclss 21206  subringAlg csra 21446

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-mgp 20361  df-ur 20408  df-ring 20461  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-sra 21448

This theorem is used by:  algextdeglem2  34350