Theorem lsssra 34044

Description: A subring is a subspace of the subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsssra.w	⊢ 𝑊 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝐶)
lsssra.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑅)
lsssra.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐵)
lsssra.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
lsssra.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
lsssra	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LSubSp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssra

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsssra.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
2		lsssra.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑆))
3		lsssra.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐵)
4	3	subsubrg 20749	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)))
5	4	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵))
6	1, 2, 5	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵))
7	6	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅))
8		lsssra.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝐶)
9	8	sralmod 21360	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑊 ∈ LMod)
10	7, 9	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
11		lsssra.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑅)
12	11	subrgss 20723	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
13	1, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
14	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝐶))
15	6	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
16	15, 13	sstrd 3948	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
17	16, 11	sseqtrdi 3978	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
18	14, 17	srabase 21350	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑊))
19	11, 18	eqtrid 2812	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘𝑊))
20	13, 19	sseqtrd 3974	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
21	1	elfvexd 6921	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
22	11, 3, 13, 15, 21	resssra 34043	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((subringAlg ‘𝑆)‘𝐶) = (((subringAlg ‘𝑅)‘𝐶) ↾s 𝐵))
23	8	oveq1i 7429	. . . 4 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐵) = (((subringAlg ‘𝑅)‘𝐶) ↾s 𝐵)
24	22, 23	eqtr4di 2818	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((subringAlg ‘𝑆)‘𝐶) = (𝑊 ↾s 𝐵))
25		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ((subringAlg ‘𝑆)‘𝐶) = ((subringAlg ‘𝑆)‘𝐶)
26	25	sralmod 21360	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑆) → ((subringAlg ‘𝑆)‘𝐶) ∈ LMod)
27	2, 26	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((subringAlg ‘𝑆)‘𝐶) ∈ LMod)
28	24, 27	eqeltrrd 2866	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝐵) ∈ LMod)
29		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s 𝐵)
30		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
31		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
32	29, 30, 31	islss3 21132	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐵 ∈ (LSubSp‘𝑊) ↔ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑊 ↾s 𝐵) ∈ LMod)))
33	32	biimpar 483	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑊 ↾s 𝐵) ∈ LMod)) → 𝐵 ∈ (LSubSp‘𝑊))
34	10, 20, 28, 33	syl12anc 850	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LSubSp‘𝑊))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17293   ↾_s cress 17314  SubRingcsubrg 20720  LModclmod 21033  LSubSpclss 21104  subringAlg csra 21344

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-0g 17518  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-sbg 19051  df-subg 19235  df-mgp 20263  df-ur 20310  df-ring 20363  df-subrg 20721  df-lmod 21035  df-lss 21105  df-sra 21346

This theorem is used by:  algextdeglem2  34174