Theorem lsssra 33584

Description: A subring is a subspace of the subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsssra.w	⊢ 𝑊 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝐶)
lsssra.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑅)
lsssra.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐵)
lsssra.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
lsssra.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
lsssra	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LSubSp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssra

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsssra.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
2		lsssra.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑆))
3		lsssra.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐵)
4	3	subsubrg 20507	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)))
5	4	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵))
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵))
7	6	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅))
8		lsssra.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝐶)
9	8	sralmod 21094	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑊 ∈ LMod)
10	7, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
11		lsssra.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑅)
12	11	subrgss 20481	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
13	1, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
14	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝐶))
15	6	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
16	15, 13	sstrd 3957	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
17	16, 11	sseqtrdi 3987	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
18	14, 17	srabase 21084	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑊))
19	11, 18	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘𝑊))
20	13, 19	sseqtrd 3983	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
21	1	elfvexd 6897	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
22	11, 3, 13, 15, 21	resssra 33583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((subringAlg ‘𝑆)‘𝐶) = (((subringAlg ‘𝑅)‘𝐶) ↾s 𝐵))
23	8	oveq1i 7397	. . . 4 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐵) = (((subringAlg ‘𝑅)‘𝐶) ↾s 𝐵)
24	22, 23	eqtr4di 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((subringAlg ‘𝑆)‘𝐶) = (𝑊 ↾s 𝐵))
25		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ((subringAlg ‘𝑆)‘𝐶) = ((subringAlg ‘𝑆)‘𝐶)
26	25	sralmod 21094	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑆) → ((subringAlg ‘𝑆)‘𝐶) ∈ LMod)
27	2, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((subringAlg ‘𝑆)‘𝐶) ∈ LMod)
28	24, 27	eqeltrrd 2829	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝐵) ∈ LMod)
29		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s 𝐵)
30		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
31		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
32	29, 30, 31	islss3 20865	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐵 ∈ (LSubSp‘𝑊) ↔ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑊 ↾s 𝐵) ∈ LMod)))
33	32	biimpar 477	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑊 ↾s 𝐵) ∈ LMod)) → 𝐵 ∈ (LSubSp‘𝑊))
34	10, 20, 28, 33	syl12anc 836	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LSubSp‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  SubRingcsubrg 20478  LModclmod 20766  LSubSpclss 20837  subringAlg csra 21078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-mgp 20050  df-ur 20091  df-ring 20144  df-subrg 20479  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-sra 21080

This theorem is referenced by:  algextdeglem2  33708