Theorem lsssra 34331

Description: A subring is a subspace of the subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsssra.w	⊢ 𝑊 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝐶)
lsssra.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑅)
lsssra.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐵)
lsssra.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
lsssra.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
lsssra	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LSubSp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssra

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsssra.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
2		lsssra.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑆))
3		lsssra.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐵)
4	3	subsubrg 20901	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)))
5	4	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵))
6	1, 2, 5	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵))
7	6	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅))
8		lsssra.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝐶)
9	8	sralmod 21513	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑊 ∈ LMod)
10	7, 9	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
11		lsssra.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑅)
12	11	subrgss 20875	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
13	1, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
14	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝐶))
15	6	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
16	15, 13	sstrd 3923	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
17	16, 11	sseqtrdi 3953	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
18	14, 17	srabase 21503	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑊))
19	11, 18	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘𝑊))
20	13, 19	sseqtrd 3949	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
21	1	elfvexd 6952	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
22	11, 3, 13, 15, 21	resssra 34330	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((subringAlg ‘𝑆)‘𝐶) = (((subringAlg ‘𝑅)‘𝐶) ↾s 𝐵))
23	8	oveq1i 7461	. . . 4 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐵) = (((subringAlg ‘𝑅)‘𝐶) ↾s 𝐵)
24	22, 23	eqtr4di 2816	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((subringAlg ‘𝑆)‘𝐶) = (𝑊 ↾s 𝐵))
25		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((subringAlg ‘𝑆)‘𝐶) = ((subringAlg ‘𝑆)‘𝐶)
26	25	sralmod 21513	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑆) → ((subringAlg ‘𝑆)‘𝐶) ∈ LMod)
27	2, 26	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((subringAlg ‘𝑆)‘𝐶) ∈ LMod)
28	24, 27	eqeltrrd 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝐵) ∈ LMod)
29		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s 𝐵)
30		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
31		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
32	29, 30, 31	islss3 21285	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐵 ∈ (LSubSp‘𝑊) ↔ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑊 ↾s 𝐵) ∈ LMod)))
33	32	biimpar 483	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑊 ↾s 𝐵) ∈ LMod)) → 𝐵 ∈ (LSubSp‘𝑊))
34	10, 20, 28, 33	syl12anc 850	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LSubSp‘𝑊))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431   ↾_s cress 17452  SubRingcsubrg 20872  LModclmod 21186  LSubSpclss 21257  subringAlg csra 21497

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-mgp 20412  df-ur 20459  df-ring 20512  df-subrg 20873  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-sra 21499

This theorem is used by:  algextdeglem2  34461