Theorem subcid 17754

Description: The identity in a subcategory is the same as the original category. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
subccat.1	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
subccat.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
subccatid.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
subccatid.2	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
subcid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subcid	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ((Id‘𝐷)‘𝑋))

Proof of Theorem subcid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subccat.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
2		subccat.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
3		subccatid.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
4		subccatid.2	. . . . 5 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
5	1, 2, 3, 4	subccatid 17753	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐷) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 ‘𝑥))))
6	5	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐷) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 ‘𝑥)))
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
8	7	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ( 1 ‘𝑥) = ( 1 ‘𝑋))
9		subcid.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
10		fvexd 6837	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) ∈ V)
11	6, 8, 9, 10	fvmptd 6936	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐷)‘𝑋) = ( 1 ‘𝑋))
12	11	eqcomd 2737	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ((Id‘𝐷)‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ↦ cmpt 5170   × cxp 5612   Fn wfn 6476  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Catccat 17570  Idccid 17571   ↾_cat cresc 17715  Subcatcsubc 17716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-hom 17185  df-cco 17186  df-cat 17574  df-cid 17575  df-homf 17576  df-ssc 17717  df-resc 17718  df-subc 17719

This theorem is referenced by:  subsubc  17760  funcres  17803  funcres2b  17804  rngcid  20550  ringcid  20579