Theorem subcid 17754

Description: The identity in a subcategory is the same as the original category. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
subccat.1	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
subccat.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
subccatid.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
subccatid.2	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
subcid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subcid	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ((Id‘𝐷)‘𝑋))

Proof of Theorem subcid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subccat.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
2		subccat.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
3		subccatid.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
4		subccatid.2	. . . . 5 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
5	1, 2, 3, 4	subccatid 17753	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐷) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 ‘𝑥))))
6	5	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐷) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 ‘𝑥)))
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
8	7	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ( 1 ‘𝑥) = ( 1 ‘𝑋))
9		subcid.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
10		fvexd 6837	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) ∈ V)
11	6, 8, 9, 10	fvmptd 6937	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐷)‘𝑋) = ( 1 ‘𝑋))
12	11	eqcomd 2735	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ((Id‘𝐷)‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ↦ cmpt 5173   × cxp 5617   Fn wfn 6477  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Catccat 17570  Idccid 17571   ↾_cat cresc 17715  Subcatcsubc 17716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-hom 17185  df-cco 17186  df-cat 17574  df-cid 17575  df-homf 17576  df-ssc 17717  df-resc 17718  df-subc 17719

This theorem is referenced by:  subsubc  17760  funcres  17803  funcres2b  17804  rngcid  20520  ringcid  20549