Theorem subcid 17801

Description: The identity in a subcategory is the same as the original category. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
subccat.1	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
subccat.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
subccatid.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
subccatid.2	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
subcid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subcid	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ((Id‘𝐷)‘𝑋))

Proof of Theorem subcid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subccat.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
2		subccat.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
3		subccatid.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
4		subccatid.2	. . . . 5 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
5	1, 2, 3, 4	subccatid 17800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐷) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 ‘𝑥))))
6	5	simprd 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐷) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 ‘𝑥)))
7		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
8	7	fveq2d 6894	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ( 1 ‘𝑥) = ( 1 ‘𝑋))
9		subcid.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
10		fvexd 6905	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) ∈ V)
11	6, 8, 9, 10	fvmptd 7004	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐷)‘𝑋) = ( 1 ‘𝑋))
12	11	eqcomd 2736	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ((Id‘𝐷)‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   ↦ cmpt 5230   × cxp 5673   Fn wfn 6537  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  Catccat 17612  Idccid 17613   ↾_cat cresc 17759  Subcatcsubc 17760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-hom 17225  df-cco 17226  df-cat 17616  df-cid 17617  df-homf 17618  df-ssc 17761  df-resc 17762  df-subc 17763

This theorem is referenced by:  subsubc  17807  funcres  17850  funcres2b  17851  rngcid  46965  ringcid  47011