Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subcid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subcid 17113
 Description: The identity in a subcategory is the same as the original category. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
subccat.1 𝐷 = (𝐶cat 𝐽)
subccat.j (𝜑𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
subccatid.1 (𝜑𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
subccatid.2 1 = (Id‘𝐶)
subcid.x (𝜑𝑋𝑆)
Assertion
Ref Expression
subcid (𝜑 → ( 1𝑋) = ((Id‘𝐷)‘𝑋))

Proof of Theorem subcid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subccat.1 . . . . 5 𝐷 = (𝐶cat 𝐽)
2 subccat.j . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
3 subccatid.1 . . . . 5 (𝜑𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
4 subccatid.2 . . . . 5 1 = (Id‘𝐶)
51, 2, 3, 4subccatid 17112 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐷) = (𝑥𝑆 ↦ ( 1𝑥))))
65simprd 499 . . 3 (𝜑 → (Id‘𝐷) = (𝑥𝑆 ↦ ( 1𝑥)))
7 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
87fveq2d 6653 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → ( 1𝑥) = ( 1𝑋))
9 subcid.x . . 3 (𝜑𝑋𝑆)
10 fvexd 6664 . . 3 (𝜑 → ( 1𝑋) ∈ V)
116, 8, 9, 10fvmptd 6756 . 2 (𝜑 → ((Id‘𝐷)‘𝑋) = ( 1𝑋))
1211eqcomd 2807 1 (𝜑 → ( 1𝑋) = ((Id‘𝐷)‘𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  Vcvv 3444   ↦ cmpt 5113   × cxp 5521   Fn wfn 6323  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Catccat 16931  Idccid 16932   ↾cat cresc 17074  Subcatcsubc 17075 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-hom 16585  df-cco 16586  df-cat 16935  df-cid 16936  df-homf 16937  df-ssc 17076  df-resc 17077  df-subc 17078 This theorem is referenced by:  subsubc  17119  funcres  17162  funcres2b  17163  rngcid  44596  ringcid  44642
 Copyright terms: Public domain W3C validator