Theorem thincciso3 49078

Description: Categories isomorphic to a thin category are thin. Example 3.26(2) of [Adamek] p. 33. Note that "thincciso2.u" is redundant thanks to elbasfv 17249. (Contributed by Zhi Wang, 18-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
thincciso2.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
thincciso2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
thincciso2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
thincciso2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
thincciso2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
thincciso2.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
thincciso2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
thincciso3.xt	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ThinCat)

Assertion

Ref	Expression
thincciso3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ThinCat)

Proof of Theorem thincciso3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thincciso2.c	. 2 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
2		thincciso2.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		thincciso2.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		thincciso2.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		thincciso2.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		thincciso2.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
8	1	catccat 18149	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
9	3, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
10	2, 7, 9, 5, 4, 6	invf 17808	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(Inv‘𝐶)𝑌):(𝑋𝐼𝑌)⟶(𝑌𝐼𝑋))
11		thincciso2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
12	10, 11	ffvelcdmd 7103	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)‘𝐹) ∈ (𝑌𝐼𝑋))
13		thincciso3.xt	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ThinCat)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 13	thincciso2 49077	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ThinCat)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6559  (class class class)co 7429  Basecbs 17243  Catccat 17703  Invcinv 17785  Isociso 17786  CatCatccatc 18139  ThinCatcthinc 49040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-er 8741  df-map 8864  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-4 12327  df-5 12328  df-6 12329  df-7 12330  df-8 12331  df-9 12332  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13544  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-hom 17317  df-cco 17318  df-cat 17707  df-cid 17708  df-sect 17787  df-inv 17788  df-iso 17789  df-func 17899  df-idfu 17900  df-cofu 17901  df-full 17947  df-fth 17948  df-catc 18140  df-thinc 49041

This theorem is referenced by:  thincciso4  49079