Theorem thincciso4 50534

Description: Two isomorphic categories are either both thin or neither. Note that "thincciso2.u" is redundant thanks to elbasfv 17386. (Contributed by Zhi Wang, 18-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
thincciso2.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
thincciso2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
thincciso2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
thincciso2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
thincciso2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
thincciso4.i	⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)

Assertion

Ref	Expression
thincciso4	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ThinCat ↔ 𝑌 ∈ ThinCat))

Proof of Theorem thincciso4

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thincciso4.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)
2		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Iso‘𝐶) = (Iso‘𝐶)
3		thincciso2.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		thincciso2.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
5		thincciso2.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
6	5	catccat 18276	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
7	4, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8		thincciso2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		thincciso2.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10	2, 3, 7, 8, 9	cic 17967	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)))
11	1, 10	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌))
12	11	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌))
13	4	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑈 ∈ 𝑉)
14	8	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	9	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
16		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌))
17		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑋 ∈ ThinCat)
18	5, 3, 13, 14, 15, 2, 16, 17	thincciso3 50533	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑌 ∈ ThinCat)
19	12, 18	exlimddv 1968	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) → 𝑌 ∈ ThinCat)
20	11	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌))
21	4	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑈 ∈ 𝑉)
22	8	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
23	9	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
24		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌))
25		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑌 ∈ ThinCat)
26	5, 3, 21, 22, 23, 2, 24, 25	thincciso2 50532	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑋 ∈ ThinCat)
27	20, 26	exlimddv 1968	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) → 𝑋 ∈ ThinCat)
28	19, 27	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ThinCat ↔ 𝑌 ∈ ThinCat))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  Catccat 17831  Isociso 17914   ≃_𝑐 ccic 17963  CatCatccatc 18266  ThinCatcthinc 50494

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-hom 17445  df-cco 17446  df-cat 17835  df-cid 17836  df-sect 17915  df-inv 17916  df-iso 17917  df-cic 17964  df-func 18026  df-idfu 18027  df-cofu 18028  df-full 18074  df-fth 18075  df-catc 18267  df-thinc 50495

This theorem is used by:  termcterm2  50591