Theorem thincciso4 49702

Description: Two isomorphic categories are either both thin or neither. Note that "thincciso2.u" is redundant thanks to elbasfv 17142. (Contributed by Zhi Wang, 18-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
thincciso2.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
thincciso2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
thincciso2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
thincciso2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
thincciso2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
thincciso4.i	⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)

Assertion

Ref	Expression
thincciso4	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ThinCat ↔ 𝑌 ∈ ThinCat))

Proof of Theorem thincciso4

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thincciso4.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)
2		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Iso‘𝐶) = (Iso‘𝐶)
3		thincciso2.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		thincciso2.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
5		thincciso2.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
6	5	catccat 18032	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
7	4, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8		thincciso2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		thincciso2.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10	2, 3, 7, 8, 9	cic 17723	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)))
11	1, 10	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌))
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌))
13	4	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑈 ∈ 𝑉)
14	8	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	9	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
16		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌))
17		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑋 ∈ ThinCat)
18	5, 3, 13, 14, 15, 2, 16, 17	thincciso3 49701	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑌 ∈ ThinCat)
19	12, 18	exlimddv 1936	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) → 𝑌 ∈ ThinCat)
20	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌))
21	4	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑈 ∈ 𝑉)
22	8	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
23	9	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
24		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌))
25		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑌 ∈ ThinCat)
26	5, 3, 21, 22, 23, 2, 24, 25	thincciso2 49700	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑋 ∈ ThinCat)
27	20, 26	exlimddv 1936	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) → 𝑋 ∈ ThinCat)
28	19, 27	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ThinCat ↔ 𝑌 ∈ ThinCat))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  Catccat 17587  Isociso 17670   ≃_𝑐 ccic 17719  CatCatccatc 18022  ThinCatcthinc 49662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-hom 17201  df-cco 17202  df-cat 17591  df-cid 17592  df-sect 17671  df-inv 17672  df-iso 17673  df-cic 17720  df-func 17782  df-idfu 17783  df-cofu 17784  df-full 17830  df-fth 17831  df-catc 18023  df-thinc 49663

This theorem is referenced by:  termcterm2  49759