Theorem thincciso4 50923

Description: Two isomorphic categories are either both thin or neither. Note that "thincciso2.u" is redundant thanks to elbasfv 17437. (Contributed by Zhi Wang, 18-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
thincciso2.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
thincciso2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
thincciso2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
thincciso2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
thincciso2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
thincciso4.i	⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)

Assertion

Ref	Expression
thincciso4	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ThinCat ↔ 𝑌 ∈ ThinCat))

Proof of Theorem thincciso4

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thincciso4.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)
2		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Iso‘𝐶) = (Iso‘𝐶)
3		thincciso2.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		thincciso2.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
5		thincciso2.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
6	5	catccat 18333	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
7	4, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8		thincciso2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		thincciso2.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10	2, 3, 7, 8, 9	cic 18024	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)))
11	1, 10	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌))
12	11	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌))
13	4	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑈 ∈ 𝑉)
14	8	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	9	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
16		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌))
17		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑋 ∈ ThinCat)
18	5, 3, 13, 14, 15, 2, 16, 17	thincciso3 50922	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑌 ∈ ThinCat)
19	12, 18	exlimddv 1970	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) → 𝑌 ∈ ThinCat)
20	11	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌))
21	4	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑈 ∈ 𝑉)
22	8	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
23	9	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
24		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌))
25		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑌 ∈ ThinCat)
26	5, 3, 21, 22, 23, 2, 24, 25	thincciso2 50921	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑋 ∈ ThinCat)
27	20, 26	exlimddv 1970	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) → 𝑋 ∈ ThinCat)
28	19, 27	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ThinCat ↔ 𝑌 ∈ ThinCat))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  Catccat 17888  Isociso 17971   ≃_𝑐 ccic 18020  CatCatccatc 18323  ThinCatcthinc 50883

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-hom 17497  df-cco 17498  df-cat 17892  df-cid 17893  df-sect 17972  df-inv 17973  df-iso 17974  df-cic 18021  df-func 18083  df-idfu 18084  df-cofu 18085  df-full 18131  df-fth 18132  df-catc 18324  df-thinc 50884

This theorem is used by:  termcterm2  50980