Theorem thincciso4 49944

Description: Two isomorphic categories are either both thin or neither. Note that "thincciso2.u" is redundant thanks to elbasfv 17176. (Contributed by Zhi Wang, 18-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
thincciso2.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
thincciso2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
thincciso2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
thincciso2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
thincciso2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
thincciso4.i	⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)

Assertion

Ref	Expression
thincciso4	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ThinCat ↔ 𝑌 ∈ ThinCat))

Proof of Theorem thincciso4

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thincciso4.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Iso‘𝐶) = (Iso‘𝐶)
3		thincciso2.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		thincciso2.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
5		thincciso2.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
6	5	catccat 18066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
7	4, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8		thincciso2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		thincciso2.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10	2, 3, 7, 8, 9	cic 17757	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)))
11	1, 10	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌))
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌))
13	4	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑈 ∈ 𝑉)
14	8	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	9	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
16		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌))
17		simplr 769	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑋 ∈ ThinCat)
18	5, 3, 13, 14, 15, 2, 16, 17	thincciso3 49943	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑌 ∈ ThinCat)
19	12, 18	exlimddv 1937	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ThinCat) → 𝑌 ∈ ThinCat)
20	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌))
21	4	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑈 ∈ 𝑉)
22	8	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
23	9	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
24		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌))
25		simplr 769	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑌 ∈ ThinCat)
26	5, 3, 21, 22, 23, 2, 24, 25	thincciso2 49942	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑋 ∈ ThinCat)
27	20, 26	exlimddv 1937	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ThinCat) → 𝑋 ∈ ThinCat)
28	19, 27	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ThinCat ↔ 𝑌 ∈ ThinCat))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  Catccat 17621  Isociso 17704   ≃_𝑐 ccic 17753  CatCatccatc 18056  ThinCatcthinc 49904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-hom 17235  df-cco 17236  df-cat 17625  df-cid 17626  df-sect 17705  df-inv 17706  df-iso 17707  df-cic 17754  df-func 17816  df-idfu 17817  df-cofu 17818  df-full 17864  df-fth 17865  df-catc 18057  df-thinc 49905

This theorem is referenced by:  termcterm2  50001