Theorem uobeq2 49293

Description: If a full functor (in fact, a full embedding) is a section, then the sets of universal objects are equal. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
uobeq2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
uobeq2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
uobeq2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
uobeq2.g	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∘func 𝐹) = 𝐺)
uobeq2.y	⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝐾)‘𝑋) = 𝑌)
uobeq2.q	⊢ 𝑄 = (CatCat‘𝑈)
uobeq2.s	⊢ 𝑆 = (Sect‘𝑄)
uobeq2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐷 Full 𝐸))
uobeq2.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ dom (𝐷𝑆𝐸))

Assertion

Ref	Expression
uobeq2	⊢ (𝜑 → dom (𝐹(𝐶 UP 𝐷)𝑋) = dom (𝐺(𝐶 UP 𝐸)𝑌))

Proof of Theorem uobeq2

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uobeq2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ dom (𝐷𝑆𝐸))
2		eldmg 5870	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ dom (𝐷𝑆𝐸) → (𝐾 ∈ dom (𝐷𝑆𝐸) ↔ ∃𝑙 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙))
3	2	ibi 267	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ dom (𝐷𝑆𝐸) → ∃𝑙 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑙 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙)
5		uobeq2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
6		eqid 2730	. . 3 ⊢ (idfunc‘𝐷) = (idfunc‘𝐷)
7		uobeq2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		uobeq2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
11		uobeq2.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐷 Full 𝐸))
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → 𝐾 ∈ (𝐷 Full 𝐸))
13		uobeq2.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∘func 𝐹) = 𝐺)
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → (𝐾 ∘func 𝐹) = 𝐺)
15		uobeq2.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝐾)‘𝑋) = 𝑌)
16	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → ((1st ‘𝐾)‘𝑋) = 𝑌)
17		uobeq2.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (CatCat‘𝑈)
18		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝑄) = (Hom ‘𝑄)
19		uobeq2.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Sect‘𝑄)
20	17, 18, 6, 19	catcsect 49290	. . . . 5 ⊢ (𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙 ↔ ((𝐾 ∈ (𝐷(Hom ‘𝑄)𝐸) ∧ 𝑙 ∈ (𝐸(Hom ‘𝑄)𝐷)) ∧ (𝑙 ∘func 𝐾) = (idfunc‘𝐷)))
21	20	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙 → (𝑙 ∘func 𝐾) = (idfunc‘𝐷))
22	21	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → (𝑙 ∘func 𝐾) = (idfunc‘𝐷))
23	20	simplbi 497	. . . . . 6 ⊢ (𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙 → (𝐾 ∈ (𝐷(Hom ‘𝑄)𝐸) ∧ 𝑙 ∈ (𝐸(Hom ‘𝑄)𝐷)))
24	23	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙 → 𝑙 ∈ (𝐸(Hom ‘𝑄)𝐷))
25	17, 18, 24	elcatchom 49289	. . . 4 ⊢ (𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙 → 𝑙 ∈ (𝐸 Func 𝐷))
26	25	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → 𝑙 ∈ (𝐸 Func 𝐷))
27	5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 22, 26	uobeq 49126	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → dom (𝐹(𝐶 UP 𝐷)𝑋) = dom (𝐺(𝐶 UP 𝐸)𝑌))
28	4, 27	exlimddv 1935	1 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹(𝐶 UP 𝐷)𝑋) = dom (𝐺(𝐶 UP 𝐸)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5115  dom cdm 5646  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394  1^st c1st 7975  Basecbs 17185  Hom chom 17237  Sectcsect 17712   Func cfunc 17822  id_funccidfu 17823   ∘_func ccofu 17824   Full cful 17872  CatCatccatc 18066   UP cup 49081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-tp 4602  df-op 4604  df-uni 4880  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-er 8682  df-map 8805  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12198  df-2 12260  df-3 12261  df-4 12262  df-5 12263  df-6 12264  df-7 12265  df-8 12266  df-9 12267  df-n0 12459  df-z 12546  df-dec 12666  df-uz 12810  df-fz 13482  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-hom 17250  df-cco 17251  df-cat 17635  df-cid 17636  df-sect 17715  df-func 17826  df-idfu 17827  df-cofu 17828  df-full 17874  df-fth 17875  df-catc 18067  df-up 49082

This theorem is referenced by:  uobeq3  49294