Theorem uobeq2 50630

Description: If a full functor (in fact, a full embedding) is a section, then the sets of universal objects are equal. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
uobeq2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
uobeq2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
uobeq2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
uobeq2.g	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∘func 𝐹) = 𝐺)
uobeq2.y	⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝐾)‘𝑋) = 𝑌)
uobeq2.q	⊢ 𝑄 = (CatCat‘𝑈)
uobeq2.s	⊢ 𝑆 = (Sect‘𝑄)
uobeq2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐷 Full 𝐸))
uobeq2.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ dom (𝐷𝑆𝐸))

Assertion

Ref	Expression
uobeq2	⊢ (𝜑 → dom (𝐹(𝐶 UP 𝐷)𝑋) = dom (𝐺(𝐶 UP 𝐸)𝑌))

Proof of Theorem uobeq2

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uobeq2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ dom (𝐷𝑆𝐸))
2		eldmg 5879	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ dom (𝐷𝑆𝐸) → (𝐾 ∈ dom (𝐷𝑆𝐸) ↔ ∃𝑙 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙))
3	2	ibi 270	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ dom (𝐷𝑆𝐸) → ∃𝑙 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙)
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑙 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙)
5		uobeq2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
6		uobeq2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		uobeq2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
9	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
10		uobeq2.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∘func 𝐹) = 𝐺)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → (𝐾 ∘func 𝐹) = 𝐺)
12		uobeq2.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝐾)‘𝑋) = 𝑌)
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → ((1st ‘𝐾)‘𝑋) = 𝑌)
14		eqid 2760	. . 3 ⊢ (idfunc‘𝐷) = (idfunc‘𝐷)
15		uobeq2.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐷 Full 𝐸))
16	15	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → 𝐾 ∈ (𝐷 Full 𝐸))
17		uobeq2.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (CatCat‘𝑈)
18		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝑄) = (Hom ‘𝑄)
19		uobeq2.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Sect‘𝑄)
20	17, 18, 14, 19	catcsect 50627	. . . . 5 ⊢ (𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙 ↔ ((𝐾 ∈ (𝐷(Hom ‘𝑄)𝐸) ∧ 𝑙 ∈ (𝐸(Hom ‘𝑄)𝐷)) ∧ (𝑙 ∘func 𝐾) = (idfunc‘𝐷)))
21	20	simprbi 503	. . . 4 ⊢ (𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙 → (𝑙 ∘func 𝐾) = (idfunc‘𝐷))
22	21	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → (𝑙 ∘func 𝐾) = (idfunc‘𝐷))
23	20	simplbi 502	. . . . . 6 ⊢ (𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙 → (𝐾 ∈ (𝐷(Hom ‘𝑄)𝐸) ∧ 𝑙 ∈ (𝐸(Hom ‘𝑄)𝐷)))
24	23	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙 → 𝑙 ∈ (𝐸(Hom ‘𝑄)𝐷))
25	17, 18, 24	elcatchom 50626	. . . 4 ⊢ (𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙 → 𝑙 ∈ (𝐸 Func 𝐷))
26	25	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → 𝑙 ∈ (𝐸 Func 𝐷))
27	5, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 22, 26	uobeq 50430	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → dom (𝐹(𝐶 UP 𝐷)𝑋) = dom (𝐺(𝐶 UP 𝐸)𝑌))
28	4, 27	exlimddv 1967	1 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹(𝐶 UP 𝐷)𝑋) = dom (𝐺(𝐶 UP 𝐸)𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  dom cdm 5650  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  1^st c1st 8000  Basecbs 17393  Hom chom 17445  Sectcsect 17925   Func cfunc 18035  id_funccidfu 18036   ∘_func ccofu 18037   Full cful 18085  CatCatccatc 18279   UP cup 50383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-fz 13644  df-struct 17331  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-hom 17458  df-cco 17459  df-cat 17848  df-cid 17849  df-sect 17928  df-func 18039  df-idfu 18040  df-cofu 18041  df-full 18087  df-fth 18088  df-catc 18280  df-up 50384

This theorem is used by: (None)