Theorem uobeq2 50510

Description: If a full functor (in fact, a full embedding) is a section, then the sets of universal objects are equal. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
uobeq2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
uobeq2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
uobeq2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
uobeq2.g	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∘func 𝐹) = 𝐺)
uobeq2.y	⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝐾)‘𝑋) = 𝑌)
uobeq2.q	⊢ 𝑄 = (CatCat‘𝑈)
uobeq2.s	⊢ 𝑆 = (Sect‘𝑄)
uobeq2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐷 Full 𝐸))
uobeq2.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ dom (𝐷𝑆𝐸))

Assertion

Ref	Expression
uobeq2	⊢ (𝜑 → dom (𝐹(𝐶 UP 𝐷)𝑋) = dom (𝐺(𝐶 UP 𝐸)𝑌))

Proof of Theorem uobeq2

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uobeq2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ dom (𝐷𝑆𝐸))
2		eldmg 5880	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ dom (𝐷𝑆𝐸) → (𝐾 ∈ dom (𝐷𝑆𝐸) ↔ ∃𝑙 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙))
3	2	ibi 270	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ dom (𝐷𝑆𝐸) → ∃𝑙 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙)
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑙 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙)
5		uobeq2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
6		uobeq2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		uobeq2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
9	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
10		uobeq2.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∘func 𝐹) = 𝐺)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → (𝐾 ∘func 𝐹) = 𝐺)
12		uobeq2.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝐾)‘𝑋) = 𝑌)
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → ((1st ‘𝐾)‘𝑋) = 𝑌)
14		eqid 2761	. . 3 ⊢ (idfunc‘𝐷) = (idfunc‘𝐷)
15		uobeq2.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐷 Full 𝐸))
16	15	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → 𝐾 ∈ (𝐷 Full 𝐸))
17		uobeq2.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (CatCat‘𝑈)
18		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝑄) = (Hom ‘𝑄)
19		uobeq2.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Sect‘𝑄)
20	17, 18, 14, 19	catcsect 50507	. . . . 5 ⊢ (𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙 ↔ ((𝐾 ∈ (𝐷(Hom ‘𝑄)𝐸) ∧ 𝑙 ∈ (𝐸(Hom ‘𝑄)𝐷)) ∧ (𝑙 ∘func 𝐾) = (idfunc‘𝐷)))
21	20	simprbi 503	. . . 4 ⊢ (𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙 → (𝑙 ∘func 𝐾) = (idfunc‘𝐷))
22	21	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → (𝑙 ∘func 𝐾) = (idfunc‘𝐷))
23	20	simplbi 502	. . . . . 6 ⊢ (𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙 → (𝐾 ∈ (𝐷(Hom ‘𝑄)𝐸) ∧ 𝑙 ∈ (𝐸(Hom ‘𝑄)𝐷)))
24	23	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙 → 𝑙 ∈ (𝐸(Hom ‘𝑄)𝐷))
25	17, 18, 24	elcatchom 50506	. . . 4 ⊢ (𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙 → 𝑙 ∈ (𝐸 Func 𝐷))
26	25	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → 𝑙 ∈ (𝐸 Func 𝐷))
27	5, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 22, 26	uobeq 50329	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → dom (𝐹(𝐶 UP 𝐷)𝑋) = dom (𝐺(𝐶 UP 𝐸)𝑌))
28	4, 27	exlimddv 1968	1 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹(𝐶 UP 𝐷)𝑋) = dom (𝐺(𝐶 UP 𝐸)𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  1^st c1st 8000  Basecbs 17388  Hom chom 17440  Sectcsect 17920   Func cfunc 18030  id_funccidfu 18031   ∘_func ccofu 18032   Full cful 18080  CatCatccatc 18274   UP cup 50282

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-map 8850  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-fz 13641  df-struct 17326  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-hom 17453  df-cco 17454  df-cat 17843  df-cid 17844  df-sect 17923  df-func 18034  df-idfu 18035  df-cofu 18036  df-full 18082  df-fth 18083  df-catc 18275  df-up 50283

This theorem is used by: (None)