Theorem uobeq2 49876

Description: If a full functor (in fact, a full embedding) is a section, then the sets of universal objects are equal. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
uobeq2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
uobeq2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
uobeq2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
uobeq2.g	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∘func 𝐹) = 𝐺)
uobeq2.y	⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝐾)‘𝑋) = 𝑌)
uobeq2.q	⊢ 𝑄 = (CatCat‘𝑈)
uobeq2.s	⊢ 𝑆 = (Sect‘𝑄)
uobeq2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐷 Full 𝐸))
uobeq2.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ dom (𝐷𝑆𝐸))

Assertion

Ref	Expression
uobeq2	⊢ (𝜑 → dom (𝐹(𝐶 UP 𝐷)𝑋) = dom (𝐺(𝐶 UP 𝐸)𝑌))

Proof of Theorem uobeq2

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uobeq2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ dom (𝐷𝑆𝐸))
2		eldmg 5853	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ dom (𝐷𝑆𝐸) → (𝐾 ∈ dom (𝐷𝑆𝐸) ↔ ∃𝑙 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙))
3	2	ibi 267	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ dom (𝐷𝑆𝐸) → ∃𝑙 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑙 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙)
5		uobeq2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
6		uobeq2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		uobeq2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
10		uobeq2.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∘func 𝐹) = 𝐺)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → (𝐾 ∘func 𝐹) = 𝐺)
12		uobeq2.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝐾)‘𝑋) = 𝑌)
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → ((1st ‘𝐾)‘𝑋) = 𝑌)
14		eqid 2736	. . 3 ⊢ (idfunc‘𝐷) = (idfunc‘𝐷)
15		uobeq2.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐷 Full 𝐸))
16	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → 𝐾 ∈ (𝐷 Full 𝐸))
17		uobeq2.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (CatCat‘𝑈)
18		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝑄) = (Hom ‘𝑄)
19		uobeq2.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Sect‘𝑄)
20	17, 18, 14, 19	catcsect 49873	. . . . 5 ⊢ (𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙 ↔ ((𝐾 ∈ (𝐷(Hom ‘𝑄)𝐸) ∧ 𝑙 ∈ (𝐸(Hom ‘𝑄)𝐷)) ∧ (𝑙 ∘func 𝐾) = (idfunc‘𝐷)))
21	20	simprbi 497	. . . 4 ⊢ (𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙 → (𝑙 ∘func 𝐾) = (idfunc‘𝐷))
22	21	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → (𝑙 ∘func 𝐾) = (idfunc‘𝐷))
23	20	simplbi 496	. . . . . 6 ⊢ (𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙 → (𝐾 ∈ (𝐷(Hom ‘𝑄)𝐸) ∧ 𝑙 ∈ (𝐸(Hom ‘𝑄)𝐷)))
24	23	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙 → 𝑙 ∈ (𝐸(Hom ‘𝑄)𝐷))
25	17, 18, 24	elcatchom 49872	. . . 4 ⊢ (𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙 → 𝑙 ∈ (𝐸 Func 𝐷))
26	25	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → 𝑙 ∈ (𝐸 Func 𝐷))
27	5, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 22, 26	uobeq 49695	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → dom (𝐹(𝐶 UP 𝐷)𝑋) = dom (𝐺(𝐶 UP 𝐸)𝑌))
28	4, 27	exlimddv 1937	1 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹(𝐶 UP 𝐷)𝑋) = dom (𝐺(𝐶 UP 𝐸)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  dom cdm 5631  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  1^st c1st 7940  Basecbs 17179  Hom chom 17231  Sectcsect 17711   Func cfunc 17821  id_funccidfu 17822   ∘_func ccofu 17823   Full cful 17871  CatCatccatc 18065   UP cup 49648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-hom 17244  df-cco 17245  df-cat 17634  df-cid 17635  df-sect 17714  df-func 17825  df-idfu 17826  df-cofu 17827  df-full 17873  df-fth 17874  df-catc 18066  df-up 49649

This theorem is referenced by: (None)