Theorem uobeq2 50031

Description: If a full functor (in fact, a full embedding) is a section, then the sets of universal objects are equal. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
uobeq2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
uobeq2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
uobeq2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
uobeq2.g	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∘func 𝐹) = 𝐺)
uobeq2.y	⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝐾)‘𝑋) = 𝑌)
uobeq2.q	⊢ 𝑄 = (CatCat‘𝑈)
uobeq2.s	⊢ 𝑆 = (Sect‘𝑄)
uobeq2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐷 Full 𝐸))
uobeq2.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ dom (𝐷𝑆𝐸))

Assertion

Ref	Expression
uobeq2	⊢ (𝜑 → dom (𝐹(𝐶 UP 𝐷)𝑋) = dom (𝐺(𝐶 UP 𝐸)𝑌))

Proof of Theorem uobeq2

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uobeq2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ dom (𝐷𝑆𝐸))
2		eldmg 5878	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ dom (𝐷𝑆𝐸) → (𝐾 ∈ dom (𝐷𝑆𝐸) ↔ ∃𝑙 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙))
3	2	ibi 270	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ dom (𝐷𝑆𝐸) → ∃𝑙 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙)
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑙 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙)
5		uobeq2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
6		uobeq2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	6	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		uobeq2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
9	8	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
10		uobeq2.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∘func 𝐹) = 𝐺)
11	10	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → (𝐾 ∘func 𝐹) = 𝐺)
12		uobeq2.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝐾)‘𝑋) = 𝑌)
13	12	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → ((1st ‘𝐾)‘𝑋) = 𝑌)
14		eqid 2765	. . 3 ⊢ (idfunc‘𝐷) = (idfunc‘𝐷)
15		uobeq2.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐷 Full 𝐸))
16	15	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → 𝐾 ∈ (𝐷 Full 𝐸))
17		uobeq2.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (CatCat‘𝑈)
18		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝑄) = (Hom ‘𝑄)
19		uobeq2.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Sect‘𝑄)
20	17, 18, 14, 19	catcsect 50028	. . . . 5 ⊢ (𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙 ↔ ((𝐾 ∈ (𝐷(Hom ‘𝑄)𝐸) ∧ 𝑙 ∈ (𝐸(Hom ‘𝑄)𝐷)) ∧ (𝑙 ∘func 𝐾) = (idfunc‘𝐷)))
21	20	simprbi 502	. . . 4 ⊢ (𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙 → (𝑙 ∘func 𝐾) = (idfunc‘𝐷))
22	21	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → (𝑙 ∘func 𝐾) = (idfunc‘𝐷))
23	20	simplbi 501	. . . . . 6 ⊢ (𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙 → (𝐾 ∈ (𝐷(Hom ‘𝑄)𝐸) ∧ 𝑙 ∈ (𝐸(Hom ‘𝑄)𝐷)))
24	23	simprd 500	. . . . 5 ⊢ (𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙 → 𝑙 ∈ (𝐸(Hom ‘𝑄)𝐷))
25	17, 18, 24	elcatchom 50027	. . . 4 ⊢ (𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙 → 𝑙 ∈ (𝐸 Func 𝐷))
26	25	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → 𝑙 ∈ (𝐸 Func 𝐷))
27	5, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 22, 26	uobeq 49850	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾(𝐷𝑆𝐸)𝑙) → dom (𝐹(𝐶 UP 𝐷)𝑋) = dom (𝐺(𝐶 UP 𝐸)𝑌))
28	4, 27	exlimddv 1958	1 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹(𝐶 UP 𝐷)𝑋) = dom (𝐺(𝐶 UP 𝐸)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5104  dom cdm 5651  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  1^st c1st 7972  Basecbs 17257  Hom chom 17309  Sectcsect 17789   Func cfunc 17899  id_funccidfu 17900   ∘_func ccofu 17901   Full cful 17949  CatCatccatc 18143   UP cup 49803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-fz 13524  df-struct 17195  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-hom 17322  df-cco 17323  df-cat 17712  df-cid 17713  df-sect 17792  df-func 17903  df-idfu 17904  df-cofu 17905  df-full 17951  df-fth 17952  df-catc 18144  df-up 49804

This theorem is referenced by: (None)