Theorem cusgrm1rusgr 29910

Description: A finite simple graph with n vertices is complete iff it is (n-1)-regular. Hint: If the definition of RegGraph was allowed for 𝑘 ∈ ℤ, then the assumption 𝑉 ≠ ∅ could be removed. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.) (Revised by AV, 26-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
cusgrrusgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cusgrm1rusgr	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ 𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1)))

Proof of Theorem cusgrm1rusgr

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 ∈ ComplUSGraph) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)
2		cusgrrusgr.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	fusgrvtxfi 29647	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝑉 ∈ Fin)
4	3	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ∈ Fin)
5	4	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 ∈ ComplUSGraph) → 𝑉 ∈ Fin)
6		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ≠ ∅)
7	6	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 ∈ ComplUSGraph) → 𝑉 ≠ ∅)
8	2	cusgrrusgr 29909	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1))
9	1, 5, 7, 8	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 ∈ ComplUSGraph) → 𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1))
10	9	ex 417	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1)))
11		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
12	2, 11	rusgrprop0 29895	. . . 4 ⊢ (𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)))
13	12	simp3d 1162	. . 3 ⊢ (𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1))
14	2	vdiscusgr 29859	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph))
15	14	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph))
16	13, 15	syl5 35	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph))
17	10, 16	impbid 215	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ 𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∅c0 4287   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Fincfn 8944  1c1 11102   − cmin 11442  ℕ₀^*cxnn0 12578  ♯chash 14368  Vtxcvtx 29324  USGraphcusgr 29477  FinUSGraphcfusgr 29644  ComplUSGraphccusgr 29738  VtxDegcvtxdg 29793   RegUSGraph crusgr 29884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-dju 9888  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-uz 12864  df-xadd 13139  df-fz 13537  df-hash 14369  df-edg 29376  df-uhgr 29386  df-ushgr 29387  df-upgr 29410  df-umgr 29411  df-uspgr 29478  df-usgr 29479  df-fusgr 29645  df-nbgr 29661  df-uvtx 29714  df-cplgr 29739  df-cusgr 29740  df-vtxdg 29794  df-rgr 29885  df-rusgr 29886

This theorem is referenced by: (None)