Theorem cusgrm1rusgr 29600

Description: A finite simple graph with n vertices is complete iff it is (n-1)-regular. Hint: If the definition of RegGraph was allowed for 𝑘 ∈ ℤ, then the assumption 𝑉 ≠ ∅ could be removed. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.) (Revised by AV, 26-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
cusgrrusgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cusgrm1rusgr	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ 𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1)))

Proof of Theorem cusgrm1rusgr

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 ∈ ComplUSGraph) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)
2		cusgrrusgr.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	fusgrvtxfi 29336	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝑉 ∈ Fin)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ∈ Fin)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 ∈ ComplUSGraph) → 𝑉 ∈ Fin)
6		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ≠ ∅)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 ∈ ComplUSGraph) → 𝑉 ≠ ∅)
8	2	cusgrrusgr 29599	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1))
9	1, 5, 7, 8	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 ∈ ComplUSGraph) → 𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1))
10	9	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1)))
11		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
12	2, 11	rusgrprop0 29585	. . . 4 ⊢ (𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)))
13	12	simp3d 1145	. . 3 ⊢ (𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1))
14	2	vdiscusgr 29549	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph))
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph))
16	13, 15	syl5 34	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph))
17	10, 16	impbid 212	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ 𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∅c0 4333   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  1c1 11156   − cmin 11492  ℕ₀^*cxnn0 12599  ♯chash 14369  Vtxcvtx 29013  USGraphcusgr 29166  FinUSGraphcfusgr 29333  ComplUSGraphccusgr 29427  VtxDegcvtxdg 29483   RegUSGraph crusgr 29574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-xadd 13155  df-fz 13548  df-hash 14370  df-edg 29065  df-uhgr 29075  df-ushgr 29076  df-upgr 29099  df-umgr 29100  df-uspgr 29167  df-usgr 29168  df-fusgr 29334  df-nbgr 29350  df-uvtx 29403  df-cplgr 29428  df-cusgr 29429  df-vtxdg 29484  df-rgr 29575  df-rusgr 29576

This theorem is referenced by: (None)