Theorem cusgrm1rusgr 29554

Description: A finite simple graph with n vertices is complete iff it is (n-1)-regular. Hint: If the definition of RegGraph was allowed for 𝑘 ∈ ℤ, then the assumption 𝑉 ≠ ∅ could be removed. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.) (Revised by AV, 26-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
cusgrrusgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cusgrm1rusgr	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ 𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1)))

Proof of Theorem cusgrm1rusgr

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 ∈ ComplUSGraph) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)
2		cusgrrusgr.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	fusgrvtxfi 29290	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝑉 ∈ Fin)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ∈ Fin)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 ∈ ComplUSGraph) → 𝑉 ∈ Fin)
6		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ≠ ∅)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 ∈ ComplUSGraph) → 𝑉 ≠ ∅)
8	2	cusgrrusgr 29553	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1))
9	1, 5, 7, 8	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 ∈ ComplUSGraph) → 𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1))
10	9	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1)))
11		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
12	2, 11	rusgrprop0 29539	. . . 4 ⊢ (𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)))
13	12	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1))
14	2	vdiscusgr 29503	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph))
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph))
16	13, 15	syl5 34	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph))
17	10, 16	impbid 212	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ 𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∅c0 4281   class class class wbr 5089  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  Fincfn 8864  1c1 10999   − cmin 11336  ℕ₀^*cxnn0 12446  ♯chash 14229  Vtxcvtx 28967  USGraphcusgr 29120  FinUSGraphcfusgr 29287  ComplUSGraphccusgr 29381  VtxDegcvtxdg 29437   RegUSGraph crusgr 29528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-dju 9786  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-n0 12374  df-xnn0 12447  df-z 12461  df-uz 12725  df-xadd 13004  df-fz 13400  df-hash 14230  df-edg 29019  df-uhgr 29029  df-ushgr 29030  df-upgr 29053  df-umgr 29054  df-uspgr 29121  df-usgr 29122  df-fusgr 29288  df-nbgr 29304  df-uvtx 29357  df-cplgr 29382  df-cusgr 29383  df-vtxdg 29438  df-rgr 29529  df-rusgr 29530

This theorem is referenced by: (None)