Theorem cusgrm1rusgr 29729

Description: A finite simple graph with n vertices is complete iff it is (n-1)-regular. Hint: If the definition of RegGraph was allowed for 𝑘 ∈ ℤ, then the assumption 𝑉 ≠ ∅ could be removed. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.) (Revised by AV, 26-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
cusgrrusgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cusgrm1rusgr	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ 𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1)))

Proof of Theorem cusgrm1rusgr

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 ∈ ComplUSGraph) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)
2		cusgrrusgr.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	fusgrvtxfi 29466	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝑉 ∈ Fin)
4	3	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ∈ Fin)
5	4	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 ∈ ComplUSGraph) → 𝑉 ∈ Fin)
6		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ≠ ∅)
7	6	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 ∈ ComplUSGraph) → 𝑉 ≠ ∅)
8	2	cusgrrusgr 29728	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1))
9	1, 5, 7, 8	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 ∈ ComplUSGraph) → 𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1))
10	9	ex 416	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1)))
11		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
12	2, 11	rusgrprop0 29714	. . . 4 ⊢ (𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)))
13	12	simp3d 1156	. . 3 ⊢ (𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1))
14	2	vdiscusgr 29678	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph))
15	14	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph))
16	13, 15	syl5 34	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph))
17	10, 16	impbid 214	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ 𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  ∅c0 4285   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Fincfn 8923  1c1 11071   − cmin 11411  ℕ₀^*cxnn0 12551  ♯chash 14340  Vtxcvtx 29143  USGraphcusgr 29296  FinUSGraphcfusgr 29463  ComplUSGraphccusgr 29557  VtxDegcvtxdg 29612   RegUSGraph crusgr 29703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-dju 9856  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-n0 12479  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-uz 12837  df-xadd 13112  df-fz 13510  df-hash 14341  df-edg 29195  df-uhgr 29205  df-ushgr 29206  df-upgr 29229  df-umgr 29230  df-uspgr 29297  df-usgr 29298  df-fusgr 29464  df-nbgr 29480  df-uvtx 29533  df-cplgr 29558  df-cusgr 29559  df-vtxdg 29613  df-rgr 29704  df-rusgr 29705

This theorem is referenced by: (None)