Theorem cusgrm1rusgr 29651

Description: A finite simple graph with n vertices is complete iff it is (n-1)-regular. Hint: If the definition of RegGraph was allowed for 𝑘 ∈ ℤ, then the assumption 𝑉 ≠ ∅ could be removed. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.) (Revised by AV, 26-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
cusgrrusgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cusgrm1rusgr	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ 𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1)))

Proof of Theorem cusgrm1rusgr

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 ∈ ComplUSGraph) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)
2		cusgrrusgr.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	fusgrvtxfi 29388	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝑉 ∈ Fin)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ∈ Fin)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 ∈ ComplUSGraph) → 𝑉 ∈ Fin)
6		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ≠ ∅)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 ∈ ComplUSGraph) → 𝑉 ≠ ∅)
8	2	cusgrrusgr 29650	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1))
9	1, 5, 7, 8	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 ∈ ComplUSGraph) → 𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1))
10	9	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1)))
11		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
12	2, 11	rusgrprop0 29636	. . . 4 ⊢ (𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)))
13	12	simp3d 1145	. . 3 ⊢ (𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1))
14	2	vdiscusgr 29600	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph))
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph))
16	13, 15	syl5 34	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph))
17	10, 16	impbid 212	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ 𝐺 RegUSGraph ((♯‘𝑉) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∅c0 4273   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  1c1 11039   − cmin 11377  ℕ₀^*cxnn0 12510  ♯chash 14292  Vtxcvtx 29065  USGraphcusgr 29218  FinUSGraphcfusgr 29385  ComplUSGraphccusgr 29479  VtxDegcvtxdg 29534   RegUSGraph crusgr 29625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-xadd 13064  df-fz 13462  df-hash 14293  df-edg 29117  df-uhgr 29127  df-ushgr 29128  df-upgr 29151  df-umgr 29152  df-uspgr 29219  df-usgr 29220  df-fusgr 29386  df-nbgr 29402  df-uvtx 29455  df-cplgr 29480  df-cusgr 29481  df-vtxdg 29535  df-rgr 29626  df-rusgr 29627

This theorem is referenced by: (None)