MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgr2wlkspthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgr2wlkspthlem2 28748
Description: Lemma 2 for usgr2wlkspth 28749. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
usgr2wlkspthlem2 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))) β†’ Fun ◑𝑃)

Proof of Theorem usgr2wlkspthlem2
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
21anim2i 618 . . . . 5 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐺 ∈ USGraph))
32ancomd 463 . . . 4 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃))
4 3simpc 1151 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))))
54adantl 483 . . . 4 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))))
6 usgr2wlkneq 28746 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃) ∧ ((β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1)))
73, 5, 6syl2anc 585 . . 3 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1)))
8 simpl 484 . . . 4 ((((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1)) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)))
9 fvex 6856 . . . . 5 (π‘ƒβ€˜0) ∈ V
10 fvex 6856 . . . . 5 (π‘ƒβ€˜1) ∈ V
11 fvex 6856 . . . . 5 (π‘ƒβ€˜2) ∈ V
129, 10, 113pm3.2i 1340 . . . 4 ((π‘ƒβ€˜0) ∈ V ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ V ∧ (π‘ƒβ€˜2) ∈ V)
138, 12jctil 521 . . 3 ((((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1)) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) ∈ V ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ V ∧ (π‘ƒβ€˜2) ∈ V) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2))))
14 funcnvs3 14809 . . 3 ((((π‘ƒβ€˜0) ∈ V ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ V ∧ (π‘ƒβ€˜2) ∈ V) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2))) β†’ Fun β—‘βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)(π‘ƒβ€˜2)β€βŸ©)
157, 13, 143syl 18 . 2 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))) β†’ Fun β—‘βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)(π‘ƒβ€˜2)β€βŸ©)
16 eqid 2733 . . . . . 6 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
1716wlkpwrd 28607 . . . . 5 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
18 wlklenvp1 28608 . . . . . 6 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) = ((β™―β€˜πΉ) + 1))
19 oveq1 7365 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜πΉ) = 2 β†’ ((β™―β€˜πΉ) + 1) = (2 + 1))
20 2p1e3 12300 . . . . . . . 8 (2 + 1) = 3
2119, 20eqtrdi 2789 . . . . . . 7 ((β™―β€˜πΉ) = 2 β†’ ((β™―β€˜πΉ) + 1) = 3)
22213ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((β™―β€˜πΉ) + 1) = 3)
2318, 22sylan9eq 2793 . . . . 5 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) = 3)
24 wrdlen3s3 14844 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 3) β†’ 𝑃 = βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)(π‘ƒβ€˜2)β€βŸ©)
2517, 23, 24syl2an2r 684 . . . 4 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))) β†’ 𝑃 = βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)(π‘ƒβ€˜2)β€βŸ©)
2625cnveqd 5832 . . 3 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))) β†’ ◑𝑃 = β—‘βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)(π‘ƒβ€˜2)β€βŸ©)
2726funeqd 6524 . 2 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (Fun ◑𝑃 ↔ Fun β—‘βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)(π‘ƒβ€˜2)β€βŸ©))
2815, 27mpbird 257 1 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))) β†’ Fun ◑𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3444   class class class wbr 5106  β—‘ccnv 5633  Fun wfun 6491  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059  2c2 12213  3c3 12214  β™―chash 14236  Word cword 14408  βŸ¨β€œcs3 14737  Vtxcvtx 27989  USGraphcusgr 28142  Walkscwlks 28586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-hash 14237  df-word 14409  df-concat 14465  df-s1 14490  df-s2 14743  df-s3 14744  df-edg 28041  df-uhgr 28051  df-upgr 28075  df-umgr 28076  df-uspgr 28143  df-usgr 28144  df-wlks 28589
This theorem is referenced by:  usgr2wlkspth  28749
  Copyright terms: Public domain W3C validator