Theorem usgr2wlkspthlem2 30359

Description: Lemma 2 for usgr2wlkspth 30360. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
usgr2wlkspthlem2	⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → Fun ◡𝑃)

Proof of Theorem usgr2wlkspthlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → 𝐺 ∈ USGraph)
2	1	anim2i 629	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐺 ∈ USGraph))
3	2	ancomd 467	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃))
4		3simpc 1168	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
5	4	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → ((♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
6		usgr2wlkneq 30357	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ ((♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))
7	3, 5, 6	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))
8		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
9		fvex 6909	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘0) ∈ V
10		fvex 6909	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘1) ∈ V
11		fvex 6909	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘2) ∈ V
12	9, 10, 11	3pm3.2i 1358	. . . 4 ⊢ ((𝑃‘0) ∈ V ∧ (𝑃‘1) ∈ V ∧ (𝑃‘2) ∈ V)
13	8, 12	jctil 529	. . 3 ⊢ ((((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)) → (((𝑃‘0) ∈ V ∧ (𝑃‘1) ∈ V ∧ (𝑃‘2) ∈ V) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))
14		funcnvs3 15080	. . 3 ⊢ ((((𝑃‘0) ∈ V ∧ (𝑃‘1) ∈ V ∧ (𝑃‘2) ∈ V) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → Fun ◡⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)(𝑃‘2)”⟩)
15	7, 13, 14	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → Fun ◡⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)(𝑃‘2)”⟩)
16		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
17	16	wlkpwrd 30213	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
18		wlklenvp1 30214	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
19		oveq1 7437	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → ((♯‘𝐹) + 1) = (2 + 1))
20		2p1e3 12497	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
21	19, 20	eqtrdi 2814	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → ((♯‘𝐹) + 1) = 3)
22	21	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) + 1) = 3)
23	18, 22	sylan9eq 2818	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (♯‘𝑃) = 3)
24		wrdlen3s3 15115	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 3) → 𝑃 = ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)(𝑃‘2)”⟩)
25	17, 23, 24	syl2an2r 698	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → 𝑃 = ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)(𝑃‘2)”⟩)
26	25	cnveqd 5858	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → ◡𝑃 = ◡⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)(𝑃‘2)”⟩)
27	26	funeqd 6570	. 2 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (Fun ◡𝑃 ↔ Fun ◡⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)(𝑃‘2)”⟩))
28	15, 27	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → Fun ◡𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  Vcvv 3454   class class class wbr 5106  ^◡ccnv 5654  Fun wfun 6541  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  0cc0 11213  1c1 11214   + caddc 11216  2c2 12410  3c3 12411  ♯chash 14487  Word cword 14671  ⟨“cs3 15007  Vtxcvtx 29589  USGraphcusgr 29745  Walkscwlks 30192

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-oadd 8494  df-er 8731  df-map 8863  df-pm 8864  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-dju 9995  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-n0 12620  df-xnn0 12693  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-hash 14488  df-word 14672  df-concat 14729  df-s1 14756  df-s2 15013  df-s3 15014  df-edg 29641  df-uhgr 29651  df-upgr 29675  df-umgr 29676  df-uspgr 29746  df-usgr 29747  df-wlks 30195

This theorem is used by:  usgr2wlkspth  30360