Theorem zconstr 33750

Description: Integers are constructible. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
zconstr.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zconstr	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Proof of Theorem zconstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℕ0)
2	1	nn0constr 33747	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ Constr)
3		zconstr.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12600	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
5	4	negnegd 11485	. . . 4 ⊢ (𝜑 → --𝑋 = 𝑋)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℕ0) → --𝑋 = 𝑋)
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℕ0) → -𝑋 ∈ ℕ0)
8	7	nn0constr 33747	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℕ0) → -𝑋 ∈ Constr)
9	8	constrnegcl 33749	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℕ0) → --𝑋 ∈ Constr)
10	6, 9	eqeltrrd 2829	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ Constr)
11		elznn0 12505	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℕ0 ∨ -𝑋 ∈ ℕ0)))
12	3, 11	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℕ0 ∨ -𝑋 ∈ ℕ0)))
13	12	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℕ0 ∨ -𝑋 ∈ ℕ0))
14	2, 10, 13	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ℝcr 11027  -cneg 11367  ℕ₀cn0 12403  ℤcz 12490  Constrcconstr 33715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-n0 12404  df-z 12491  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-abs 15162  df-constr 33716

This theorem is referenced by:  constrrecl  33755  constrimcl  33756  constrmulcl  33757  constrreinvcl  33758  constrinvcl  33759  constrsdrg  33761  constrresqrtcl  33763  constrabscl  33764  constrsqrtcl  33765  cos9thpinconstrlem1  33775