Theorem zconstr 33727

Description: Integers are constructible. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
zconstr.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zconstr	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Proof of Theorem zconstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℕ0)
2	1	nn0constr 33724	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ Constr)
3		zconstr.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12615	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
5	4	negnegd 11500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → --𝑋 = 𝑋)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℕ0) → --𝑋 = 𝑋)
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℕ0) → -𝑋 ∈ ℕ0)
8	7	nn0constr 33724	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℕ0) → -𝑋 ∈ Constr)
9	8	constrnegcl 33726	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℕ0) → --𝑋 ∈ Constr)
10	6, 9	eqeltrrd 2829	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ Constr)
11		elznn0 12520	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℕ0 ∨ -𝑋 ∈ ℕ0)))
12	3, 11	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℕ0 ∨ -𝑋 ∈ ℕ0)))
13	12	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℕ0 ∨ -𝑋 ∈ ℕ0))
14	2, 10, 13	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ℝcr 11043  -cneg 11382  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505  Constrcconstr 33692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-abs 15178  df-constr 33693

This theorem is referenced by:  constrrecl  33732  constrimcl  33733  constrmulcl  33734  constrreinvcl  33735  constrinvcl  33736  constrsdrg  33738  constrresqrtcl  33740  constrabscl  33741  constrsqrtcl  33742  cos9thpinconstrlem1  33752