Theorem constrinvcl 34104

Description: Constructible numbers are closed under complex inverse. Item (4) of Theorem 7.10 of [Stewart] p. 96. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrinvcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
constrinvcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
constrinvcl	⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrinvcl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
2	1	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ Constr)
3		constrinvcl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
4	3	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ≠ 0)
5		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
6	2, 4, 5	constrreinvcl 34103	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (1 / 𝑋) ∈ Constr)
7		1cnd 11198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
8	1	constrcn 34091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
9	7, 8, 3	absdivd 15505	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝑋)) = ((abs‘1) / (abs‘𝑋)))
10		abs1 15344	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘1) = 1
11	10	oveq1i 7418	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘1) / (abs‘𝑋)) = (1 / (abs‘𝑋))
12	9, 11	eqtr2di 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝑋)) = (abs‘(1 / 𝑋)))
13	8, 3	reccld 11980	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ ℂ)
14	8, 3	recne0d 11981	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ≠ 0)
15	13, 14	efiargd 33028	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋))))) = ((1 / 𝑋) / (abs‘(1 / 𝑋))))
16	12, 15	oveq12d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 / (abs‘𝑋)) · (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋)))))) = ((abs‘(1 / 𝑋)) · ((1 / 𝑋) / (abs‘(1 / 𝑋)))))
17	13	abscld 15486	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝑋)) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝑋)) ∈ ℂ)
19	13, 14	absne0d 15497	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝑋)) ≠ 0)
20	13, 18, 19	divcan2d 11989	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 / 𝑋)) · ((1 / 𝑋) / (abs‘(1 / 𝑋)))) = (1 / 𝑋))
21	16, 20	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / (abs‘𝑋)) · (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋)))))) = (1 / 𝑋))
22	21	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → ((1 / (abs‘𝑋)) · (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋)))))) = (1 / 𝑋))
23		0zd 12599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
24	23	zconstr 34095	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
25		1zzd 12621	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
26	25	zconstr 34095	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Constr)
27	8	abscld 15486	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
29	7	subid1d 11554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) = 1)
30	29, 7	eqeltrd 2869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) ∈ ℂ)
31	28, 30	mulcld 11225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) · (1 − 0)) ∈ ℂ)
32	31	addlidd 11407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + ((abs‘𝑋) · (1 − 0))) = ((abs‘𝑋) · (1 − 0)))
33	29	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) · (1 − 0)) = ((abs‘𝑋) · 1))
34	28	mulridd 11222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) · 1) = (abs‘𝑋))
35	32, 33, 34	3eqtrrd 2809	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) = (0 + ((abs‘𝑋) · (1 − 0))))
36	8	absge0d 15494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑋))
37	27, 36	absidd 15470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
38	28	subid1d 11554	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) − 0) = (abs‘𝑋))
39	38	fveq2d 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘𝑋) − 0)) = (abs‘(abs‘𝑋)))
40	8	subid1d 11554	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
41	40	fveq2d 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
42	37, 39, 41	3eqtr4d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘𝑋) − 0)) = (abs‘(𝑋 − 0)))
43	24, 26, 24, 1, 24, 27, 28, 35, 42	constrlccl 34088	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ Constr)
44	8, 3	absne0d 15497	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ≠ 0)
45	43, 44, 27	constrreinvcl 34103	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ Constr)
46	45	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ Constr)
47	8	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℂ)
48	3	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ≠ 0)
49	8	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℂ)
50		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → -𝑋 ∈ ℝ+)
51	50	rpred 13056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → -𝑋 ∈ ℝ)
52	49, 51	negrebd 11564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
53	52	stoic1a 1799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → ¬ -𝑋 ∈ ℝ+)
54	47, 48, 53	arginv 33029	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋))) = -(ℑ‘(log‘𝑋)))
55	47, 48, 53	argcj 33030	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (ℑ‘(log‘(∗‘𝑋))) = -(ℑ‘(log‘𝑋)))
56	54, 55	eqtr4d 2807	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋))) = (ℑ‘(log‘(∗‘𝑋))))
57	56	oveq2d 7424	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋)))) = (i · (ℑ‘(log‘(∗‘𝑋)))))
58	57	fveq2d 6883	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋))))) = (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(∗‘𝑋))))))
59	8	cjcld 15243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑋) ∈ ℂ)
60	8, 3	cjne0d 15250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑋) ≠ 0)
61	59, 60	efiargd 33028	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(∗‘𝑋))))) = ((∗‘𝑋) / (abs‘(∗‘𝑋))))
62	61	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(∗‘𝑋))))) = ((∗‘𝑋) / (abs‘(∗‘𝑋))))
63	58, 62	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋))))) = ((∗‘𝑋) / (abs‘(∗‘𝑋))))
64	1	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ Constr)
65	64	constrcjcl 34099	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (∗‘𝑋) ∈ Constr)
66	60	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (∗‘𝑋) ≠ 0)
67	65, 66	constrdircl 34096	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → ((∗‘𝑋) / (abs‘(∗‘𝑋))) ∈ Constr)
68	63, 67	eqeltrd 2869	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋))))) ∈ Constr)
69	46, 68	constrmulcl 34102	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → ((1 / (abs‘𝑋)) · (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋)))))) ∈ Constr)
70	22, 69	eqeltrrd 2870	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (1 / 𝑋) ∈ Constr)
71	6, 70	pm2.61dan 824	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ Constr)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097  ici 11098   + caddc 11099   · cmul 11101   − cmin 11437  -cneg 11438   / cdiv 11867  ℝ⁺crp 13012  ∗ccj 15143  ℑcim 15145  abscabs 15281  expce 16111  logclog 26681  Constrcconstr 34060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-addf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13372  df-ioc 13373  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16117  df-sin 16119  df-cos 16120  df-pi 16122  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17471  df-topn 17472  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-topgen 17492  df-pt 17493  df-prds 17496  df-xrs 17552  df-qtop 17557  df-imas 17558  df-xps 17560  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-mulg 19130  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-fbas 21484  df-fg 21485  df-cnfld 21488  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-cld 23141  df-ntr 23142  df-cls 23143  df-nei 23220  df-lp 23258  df-perf 23259  df-cn 23349  df-cnp 23350  df-haus 23437  df-tx 23684  df-hmeo 23877  df-fil 23968  df-fm 24060  df-flim 24061  df-flf 24062  df-xms 24442  df-ms 24443  df-tms 24444  df-cncf 25002  df-limc 25990  df-dv 25991  df-log 26683  df-constr 34061

This theorem is referenced by:  constrsdrg  34106  constrresqrtcl  34108  cos9thpinconstr  34122