Theorem constrinvcl 33723

Description: Constructible numbers are closed under complex inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrinvcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
constrinvcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
constrinvcl	⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrinvcl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ Constr)
3		constrinvcl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ≠ 0)
5		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
6	2, 4, 5	constrreinvcl 33722	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (1 / 𝑋) ∈ Constr)
7		1cnd 11222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
8	1	constrcn 33710	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
9	7, 8, 3	absdivd 15461	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝑋)) = ((abs‘1) / (abs‘𝑋)))
10		abs1 15303	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘1) = 1
11	10	oveq1i 7409	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘1) / (abs‘𝑋)) = (1 / (abs‘𝑋))
12	9, 11	eqtr2di 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝑋)) = (abs‘(1 / 𝑋)))
13	8, 3	reccld 12002	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ ℂ)
14	8, 3	recne0d 12003	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ≠ 0)
15	13, 14	efiargd 32657	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋))))) = ((1 / 𝑋) / (abs‘(1 / 𝑋))))
16	12, 15	oveq12d 7417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 / (abs‘𝑋)) · (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋)))))) = ((abs‘(1 / 𝑋)) · ((1 / 𝑋) / (abs‘(1 / 𝑋)))))
17	13	abscld 15442	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝑋)) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11255	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝑋)) ∈ ℂ)
19	13, 14	absne0d 15453	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝑋)) ≠ 0)
20	13, 18, 19	divcan2d 12011	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 / 𝑋)) · ((1 / 𝑋) / (abs‘(1 / 𝑋)))) = (1 / 𝑋))
21	16, 20	eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / (abs‘𝑋)) · (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋)))))) = (1 / 𝑋))
22	21	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → ((1 / (abs‘𝑋)) · (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋)))))) = (1 / 𝑋))
23		0zd 12592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
24	23	zconstr 33714	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
25		1zzd 12615	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
26	25	zconstr 33714	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Constr)
27	8	abscld 15442	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11255	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
29	7	subid1d 11575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) = 1)
30	29, 7	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) ∈ ℂ)
31	28, 30	mulcld 11247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) · (1 − 0)) ∈ ℂ)
32	31	addlidd 11428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + ((abs‘𝑋) · (1 − 0))) = ((abs‘𝑋) · (1 − 0)))
33	29	oveq2d 7415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) · (1 − 0)) = ((abs‘𝑋) · 1))
34	28	mulridd 11244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) · 1) = (abs‘𝑋))
35	32, 33, 34	3eqtrrd 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) = (0 + ((abs‘𝑋) · (1 − 0))))
36	8	absge0d 15450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑋))
37	27, 36	absidd 15428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
38	28	subid1d 11575	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) − 0) = (abs‘𝑋))
39	38	fveq2d 6876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘𝑋) − 0)) = (abs‘(abs‘𝑋)))
40	8	subid1d 11575	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
41	40	fveq2d 6876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
42	37, 39, 41	3eqtr4d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘𝑋) − 0)) = (abs‘(𝑋 − 0)))
43	24, 26, 24, 1, 24, 27, 28, 35, 42	constrlccl 33707	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ Constr)
44	8, 3	absne0d 15453	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ≠ 0)
45	43, 44, 27	constrreinvcl 33722	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ Constr)
46	45	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ Constr)
47	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℂ)
48	3	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ≠ 0)
49	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℂ)
50		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → -𝑋 ∈ ℝ+)
51	50	rpred 13043	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → -𝑋 ∈ ℝ)
52	49, 51	negrebd 11585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
53	52	stoic1a 1771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → ¬ -𝑋 ∈ ℝ+)
54	47, 48, 53	arginv 32658	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋))) = -(ℑ‘(log‘𝑋)))
55	47, 48, 53	argcj 32659	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (ℑ‘(log‘(∗‘𝑋))) = -(ℑ‘(log‘𝑋)))
56	54, 55	eqtr4d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋))) = (ℑ‘(log‘(∗‘𝑋))))
57	56	oveq2d 7415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋)))) = (i · (ℑ‘(log‘(∗‘𝑋)))))
58	57	fveq2d 6876	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋))))) = (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(∗‘𝑋))))))
59	8	cjcld 15202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑋) ∈ ℂ)
60	8, 3	cjne0d 15209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑋) ≠ 0)
61	59, 60	efiargd 32657	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(∗‘𝑋))))) = ((∗‘𝑋) / (abs‘(∗‘𝑋))))
62	61	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(∗‘𝑋))))) = ((∗‘𝑋) / (abs‘(∗‘𝑋))))
63	58, 62	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋))))) = ((∗‘𝑋) / (abs‘(∗‘𝑋))))
64	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ Constr)
65	64	constrcjcl 33718	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (∗‘𝑋) ∈ Constr)
66	60	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (∗‘𝑋) ≠ 0)
67	65, 66	constrdircl 33715	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → ((∗‘𝑋) / (abs‘(∗‘𝑋))) ∈ Constr)
68	63, 67	eqeltrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋))))) ∈ Constr)
69	46, 68	constrmulcl 33721	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → ((1 / (abs‘𝑋)) · (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋)))))) ∈ Constr)
70	22, 69	eqeltrrd 2834	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (1 / 𝑋) ∈ Constr)
71	6, 70	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ Constr)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ‘cfv 6527  (class class class)co 7399  ℂcc 11119  ℝcr 11120  0cc0 11121  1c1 11122  ici 11123   + caddc 11124   · cmul 11126   − cmin 11458  -cneg 11459   / cdiv 11886  ℝ⁺crp 13000  ∗ccj 15102  ℑcim 15104  abscabs 15240  expce 16064  logclog 26499  Constrcconstr 33679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-inf2 9647  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198  ax-pre-sup 11199  ax-addf 11200

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4881  df-int 4920  df-iun 4966  df-iin 4967  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-of 7665  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8154  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8474  df-2o 8475  df-er 8713  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9368  df-fi 9417  df-sup 9448  df-inf 9449  df-oi 9516  df-card 9945  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11887  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-4 12297  df-5 12298  df-6 12299  df-7 12300  df-8 12301  df-9 12302  df-n0 12494  df-z 12581  df-dec 12701  df-uz 12845  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13120  df-xadd 13121  df-xmul 13122  df-ioo 13357  df-ioc 13358  df-ico 13359  df-icc 13360  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-fl 13798  df-mod 13876  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14280  df-bc 14309  df-hash 14337  df-shft 15073  df-cj 15105  df-re 15106  df-im 15107  df-sqrt 15241  df-abs 15242  df-limsup 15474  df-clim 15491  df-rlim 15492  df-sum 15690  df-ef 16070  df-sin 16072  df-cos 16073  df-pi 16075  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17214  df-ress 17237  df-plusg 17269  df-mulr 17270  df-starv 17271  df-sca 17272  df-vsca 17273  df-ip 17274  df-tset 17275  df-ple 17276  df-ds 17278  df-unif 17279  df-hom 17280  df-cco 17281  df-rest 17421  df-topn 17422  df-0g 17440  df-gsum 17441  df-topgen 17442  df-pt 17443  df-prds 17446  df-xrs 17501  df-qtop 17506  df-imas 17507  df-xps 17509  df-mre 17583  df-mrc 17584  df-acs 17586  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19036  df-cntz 19285  df-cmn 19748  df-psmet 21292  df-xmet 21293  df-met 21294  df-bl 21295  df-mopn 21296  df-fbas 21297  df-fg 21298  df-cnfld 21301  df-top 22817  df-topon 22834  df-topsp 22856  df-bases 22869  df-cld 22942  df-ntr 22943  df-cls 22944  df-nei 23021  df-lp 23059  df-perf 23060  df-cn 23150  df-cnp 23151  df-haus 23238  df-tx 23485  df-hmeo 23678  df-fil 23769  df-fm 23861  df-flim 23862  df-flf 23863  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24807  df-limc 25804  df-dv 25805  df-log 26501  df-constr 33680

This theorem is referenced by:  constrsdrg  33725  constrresqrtcl  33727