Theorem constrinvcl 33858

Description: Constructible numbers are closed under complex inverse. Item (4) of Theorem 7.10 of [Stewart] p. 96 (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrinvcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
constrinvcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
constrinvcl	⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrinvcl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ Constr)
3		constrinvcl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ≠ 0)
5		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
6	2, 4, 5	constrreinvcl 33857	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (1 / 𝑋) ∈ Constr)
7		1cnd 11118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
8	1	constrcn 33845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
9	7, 8, 3	absdivd 15372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝑋)) = ((abs‘1) / (abs‘𝑋)))
10		abs1 15211	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘1) = 1
11	10	oveq1i 7365	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘1) / (abs‘𝑋)) = (1 / (abs‘𝑋))
12	9, 11	eqtr2di 2785	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝑋)) = (abs‘(1 / 𝑋)))
13	8, 3	reccld 11901	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ ℂ)
14	8, 3	recne0d 11902	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ≠ 0)
15	13, 14	efiargd 32754	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋))))) = ((1 / 𝑋) / (abs‘(1 / 𝑋))))
16	12, 15	oveq12d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 / (abs‘𝑋)) · (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋)))))) = ((abs‘(1 / 𝑋)) · ((1 / 𝑋) / (abs‘(1 / 𝑋)))))
17	13	abscld 15353	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝑋)) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11151	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝑋)) ∈ ℂ)
19	13, 14	absne0d 15364	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝑋)) ≠ 0)
20	13, 18, 19	divcan2d 11910	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 / 𝑋)) · ((1 / 𝑋) / (abs‘(1 / 𝑋)))) = (1 / 𝑋))
21	16, 20	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / (abs‘𝑋)) · (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋)))))) = (1 / 𝑋))
22	21	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → ((1 / (abs‘𝑋)) · (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋)))))) = (1 / 𝑋))
23		0zd 12491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
24	23	zconstr 33849	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
25		1zzd 12513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
26	25	zconstr 33849	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Constr)
27	8	abscld 15353	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11151	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
29	7	subid1d 11472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) = 1)
30	29, 7	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) ∈ ℂ)
31	28, 30	mulcld 11143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) · (1 − 0)) ∈ ℂ)
32	31	addlidd 11325	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + ((abs‘𝑋) · (1 − 0))) = ((abs‘𝑋) · (1 − 0)))
33	29	oveq2d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) · (1 − 0)) = ((abs‘𝑋) · 1))
34	28	mulridd 11140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) · 1) = (abs‘𝑋))
35	32, 33, 34	3eqtrrd 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) = (0 + ((abs‘𝑋) · (1 − 0))))
36	8	absge0d 15361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑋))
37	27, 36	absidd 15337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
38	28	subid1d 11472	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) − 0) = (abs‘𝑋))
39	38	fveq2d 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘𝑋) − 0)) = (abs‘(abs‘𝑋)))
40	8	subid1d 11472	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
41	40	fveq2d 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
42	37, 39, 41	3eqtr4d 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘𝑋) − 0)) = (abs‘(𝑋 − 0)))
43	24, 26, 24, 1, 24, 27, 28, 35, 42	constrlccl 33842	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ Constr)
44	8, 3	absne0d 15364	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ≠ 0)
45	43, 44, 27	constrreinvcl 33857	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ Constr)
46	45	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ Constr)
47	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℂ)
48	3	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ≠ 0)
49	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℂ)
50		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → -𝑋 ∈ ℝ+)
51	50	rpred 12940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → -𝑋 ∈ ℝ)
52	49, 51	negrebd 11482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
53	52	stoic1a 1773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → ¬ -𝑋 ∈ ℝ+)
54	47, 48, 53	arginv 32755	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋))) = -(ℑ‘(log‘𝑋)))
55	47, 48, 53	argcj 32756	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (ℑ‘(log‘(∗‘𝑋))) = -(ℑ‘(log‘𝑋)))
56	54, 55	eqtr4d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋))) = (ℑ‘(log‘(∗‘𝑋))))
57	56	oveq2d 7371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋)))) = (i · (ℑ‘(log‘(∗‘𝑋)))))
58	57	fveq2d 6835	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋))))) = (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(∗‘𝑋))))))
59	8	cjcld 15110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑋) ∈ ℂ)
60	8, 3	cjne0d 15117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑋) ≠ 0)
61	59, 60	efiargd 32754	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(∗‘𝑋))))) = ((∗‘𝑋) / (abs‘(∗‘𝑋))))
62	61	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(∗‘𝑋))))) = ((∗‘𝑋) / (abs‘(∗‘𝑋))))
63	58, 62	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋))))) = ((∗‘𝑋) / (abs‘(∗‘𝑋))))
64	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ Constr)
65	64	constrcjcl 33853	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (∗‘𝑋) ∈ Constr)
66	60	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (∗‘𝑋) ≠ 0)
67	65, 66	constrdircl 33850	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → ((∗‘𝑋) / (abs‘(∗‘𝑋))) ∈ Constr)
68	63, 67	eqeltrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋))))) ∈ Constr)
69	46, 68	constrmulcl 33856	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → ((1 / (abs‘𝑋)) · (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋)))))) ∈ Constr)
70	22, 69	eqeltrrd 2834	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (1 / 𝑋) ∈ Constr)
71	6, 70	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ Constr)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℂcc 11015  ℝcr 11016  0cc0 11017  1c1 11018  ici 11019   + caddc 11020   · cmul 11022   − cmin 11355  -cneg 11356   / cdiv 11785  ℝ⁺crp 12896  ∗ccj 15010  ℑcim 15012  abscabs 15148  expce 15975  logclog 26510  Constrcconstr 33814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9542  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095  ax-addf 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-fi 9306  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9407  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-q 12853  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-ioo 13256  df-ioc 13257  df-ico 13258  df-icc 13259  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13916  df-exp 13976  df-fac 14188  df-bc 14217  df-hash 14245  df-shft 14981  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-limsup 15385  df-clim 15402  df-rlim 15403  df-sum 15601  df-ef 15981  df-sin 15983  df-cos 15984  df-pi 15986  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-starv 17183  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-unif 17191  df-hom 17192  df-cco 17193  df-rest 17333  df-topn 17334  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-topgen 17354  df-pt 17355  df-prds 17358  df-xrs 17414  df-qtop 17419  df-imas 17420  df-xps 17422  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-acs 17499  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-submnd 18700  df-mulg 18989  df-cntz 19237  df-cmn 19702  df-psmet 21292  df-xmet 21293  df-met 21294  df-bl 21295  df-mopn 21296  df-fbas 21297  df-fg 21298  df-cnfld 21301  df-top 22829  df-topon 22846  df-topsp 22868  df-bases 22881  df-cld 22954  df-ntr 22955  df-cls 22956  df-nei 23033  df-lp 23071  df-perf 23072  df-cn 23162  df-cnp 23163  df-haus 23250  df-tx 23497  df-hmeo 23690  df-fil 23781  df-fm 23873  df-flim 23874  df-flf 23875  df-xms 24255  df-ms 24256  df-tms 24257  df-cncf 24818  df-limc 25814  df-dv 25815  df-log 26512  df-constr 33815

This theorem is referenced by:  constrsdrg  33860  constrresqrtcl  33862  cos9thpinconstr  33876