Theorem constrinvcl 33769

Description: Constructible numbers are closed under complex inverse. Item (4) of Theorem 7.10 of [Stewart] p. 96 (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrinvcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
constrinvcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
constrinvcl	⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrinvcl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ Constr)
3		constrinvcl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ≠ 0)
5		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
6	2, 4, 5	constrreinvcl 33768	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (1 / 𝑋) ∈ Constr)
7		1cnd 11175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
8	1	constrcn 33756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
9	7, 8, 3	absdivd 15430	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝑋)) = ((abs‘1) / (abs‘𝑋)))
10		abs1 15269	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘1) = 1
11	10	oveq1i 7399	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘1) / (abs‘𝑋)) = (1 / (abs‘𝑋))
12	9, 11	eqtr2di 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝑋)) = (abs‘(1 / 𝑋)))
13	8, 3	reccld 11957	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ ℂ)
14	8, 3	recne0d 11958	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ≠ 0)
15	13, 14	efiargd 32676	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋))))) = ((1 / 𝑋) / (abs‘(1 / 𝑋))))
16	12, 15	oveq12d 7407	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 / (abs‘𝑋)) · (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋)))))) = ((abs‘(1 / 𝑋)) · ((1 / 𝑋) / (abs‘(1 / 𝑋)))))
17	13	abscld 15411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝑋)) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11208	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝑋)) ∈ ℂ)
19	13, 14	absne0d 15422	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝑋)) ≠ 0)
20	13, 18, 19	divcan2d 11966	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 / 𝑋)) · ((1 / 𝑋) / (abs‘(1 / 𝑋)))) = (1 / 𝑋))
21	16, 20	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / (abs‘𝑋)) · (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋)))))) = (1 / 𝑋))
22	21	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → ((1 / (abs‘𝑋)) · (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋)))))) = (1 / 𝑋))
23		0zd 12547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
24	23	zconstr 33760	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
25		1zzd 12570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
26	25	zconstr 33760	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Constr)
27	8	abscld 15411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11208	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
29	7	subid1d 11528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) = 1)
30	29, 7	eqeltrd 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) ∈ ℂ)
31	28, 30	mulcld 11200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) · (1 − 0)) ∈ ℂ)
32	31	addlidd 11381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + ((abs‘𝑋) · (1 − 0))) = ((abs‘𝑋) · (1 − 0)))
33	29	oveq2d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) · (1 − 0)) = ((abs‘𝑋) · 1))
34	28	mulridd 11197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) · 1) = (abs‘𝑋))
35	32, 33, 34	3eqtrrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) = (0 + ((abs‘𝑋) · (1 − 0))))
36	8	absge0d 15419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑋))
37	27, 36	absidd 15395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
38	28	subid1d 11528	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) − 0) = (abs‘𝑋))
39	38	fveq2d 6864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘𝑋) − 0)) = (abs‘(abs‘𝑋)))
40	8	subid1d 11528	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
41	40	fveq2d 6864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
42	37, 39, 41	3eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘𝑋) − 0)) = (abs‘(𝑋 − 0)))
43	24, 26, 24, 1, 24, 27, 28, 35, 42	constrlccl 33753	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ Constr)
44	8, 3	absne0d 15422	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ≠ 0)
45	43, 44, 27	constrreinvcl 33768	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ Constr)
46	45	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ Constr)
47	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℂ)
48	3	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ≠ 0)
49	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℂ)
50		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → -𝑋 ∈ ℝ+)
51	50	rpred 13001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → -𝑋 ∈ ℝ)
52	49, 51	negrebd 11538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
53	52	stoic1a 1772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → ¬ -𝑋 ∈ ℝ+)
54	47, 48, 53	arginv 32677	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋))) = -(ℑ‘(log‘𝑋)))
55	47, 48, 53	argcj 32678	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (ℑ‘(log‘(∗‘𝑋))) = -(ℑ‘(log‘𝑋)))
56	54, 55	eqtr4d 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋))) = (ℑ‘(log‘(∗‘𝑋))))
57	56	oveq2d 7405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋)))) = (i · (ℑ‘(log‘(∗‘𝑋)))))
58	57	fveq2d 6864	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋))))) = (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(∗‘𝑋))))))
59	8	cjcld 15168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑋) ∈ ℂ)
60	8, 3	cjne0d 15175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑋) ≠ 0)
61	59, 60	efiargd 32676	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(∗‘𝑋))))) = ((∗‘𝑋) / (abs‘(∗‘𝑋))))
62	61	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(∗‘𝑋))))) = ((∗‘𝑋) / (abs‘(∗‘𝑋))))
63	58, 62	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋))))) = ((∗‘𝑋) / (abs‘(∗‘𝑋))))
64	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ Constr)
65	64	constrcjcl 33764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (∗‘𝑋) ∈ Constr)
66	60	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (∗‘𝑋) ≠ 0)
67	65, 66	constrdircl 33761	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → ((∗‘𝑋) / (abs‘(∗‘𝑋))) ∈ Constr)
68	63, 67	eqeltrd 2829	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋))))) ∈ Constr)
69	46, 68	constrmulcl 33767	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → ((1 / (abs‘𝑋)) · (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋)))))) ∈ Constr)
70	22, 69	eqeltrrd 2830	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (1 / 𝑋) ∈ Constr)
71	6, 70	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ Constr)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ℂcc 11072  ℝcr 11073  0cc0 11074  1c1 11075  ici 11076   + caddc 11077   · cmul 11079   − cmin 11411  -cneg 11412   / cdiv 11841  ℝ⁺crp 12957  ∗ccj 15068  ℑcim 15070  abscabs 15206  expce 16033  logclog 26469  Constrcconstr 33725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-inf2 9600  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152  ax-addf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-of 7655  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-er 8673  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9319  df-fi 9368  df-sup 9399  df-inf 9400  df-oi 9469  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-q 12914  df-rp 12958  df-xneg 13078  df-xadd 13079  df-xmul 13080  df-ioo 13316  df-ioc 13317  df-ico 13318  df-icc 13319  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14245  df-bc 14274  df-hash 14302  df-shft 15039  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-limsup 15443  df-clim 15460  df-rlim 15461  df-sum 15659  df-ef 16039  df-sin 16041  df-cos 16042  df-pi 16044  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-rest 17391  df-topn 17392  df-0g 17410  df-gsum 17411  df-topgen 17412  df-pt 17413  df-prds 17416  df-xrs 17471  df-qtop 17476  df-imas 17477  df-xps 17479  df-mre 17553  df-mrc 17554  df-acs 17556  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18717  df-mulg 19006  df-cntz 19255  df-cmn 19718  df-psmet 21262  df-xmet 21263  df-met 21264  df-bl 21265  df-mopn 21266  df-fbas 21267  df-fg 21268  df-cnfld 21271  df-top 22787  df-topon 22804  df-topsp 22826  df-bases 22839  df-cld 22912  df-ntr 22913  df-cls 22914  df-nei 22991  df-lp 23029  df-perf 23030  df-cn 23120  df-cnp 23121  df-haus 23208  df-tx 23455  df-hmeo 23648  df-fil 23739  df-fm 23831  df-flim 23832  df-flf 23833  df-xms 24214  df-ms 24215  df-tms 24216  df-cncf 24777  df-limc 25773  df-dv 25774  df-log 26471  df-constr 33726

This theorem is referenced by:  constrsdrg  33771  constrresqrtcl  33773  cos9thpinconstr  33787