Theorem constrinvcl 34031

Description: Constructible numbers are closed under complex inverse. Item (4) of Theorem 7.10 of [Stewart] p. 96. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrinvcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
constrinvcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
constrinvcl	⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrinvcl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
2	1	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ Constr)
3		constrinvcl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
4	3	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ≠ 0)
5		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
6	2, 4, 5	constrreinvcl 34030	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (1 / 𝑋) ∈ Constr)
7		1cnd 11169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
8	1	constrcn 34018	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
9	7, 8, 3	absdivd 15476	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝑋)) = ((abs‘1) / (abs‘𝑋)))
10		abs1 15315	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘1) = 1
11	10	oveq1i 7401	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘1) / (abs‘𝑋)) = (1 / (abs‘𝑋))
12	9, 11	eqtr2di 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝑋)) = (abs‘(1 / 𝑋)))
13	8, 3	reccld 11954	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ ℂ)
14	8, 3	recne0d 11955	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ≠ 0)
15	13, 14	efiargd 32909	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋))))) = ((1 / 𝑋) / (abs‘(1 / 𝑋))))
16	12, 15	oveq12d 7409	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 / (abs‘𝑋)) · (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋)))))) = ((abs‘(1 / 𝑋)) · ((1 / 𝑋) / (abs‘(1 / 𝑋)))))
17	13	abscld 15457	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝑋)) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11204	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝑋)) ∈ ℂ)
19	13, 14	absne0d 15468	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝑋)) ≠ 0)
20	13, 18, 19	divcan2d 11963	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 / 𝑋)) · ((1 / 𝑋) / (abs‘(1 / 𝑋)))) = (1 / 𝑋))
21	16, 20	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / (abs‘𝑋)) · (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋)))))) = (1 / 𝑋))
22	21	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → ((1 / (abs‘𝑋)) · (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋)))))) = (1 / 𝑋))
23		0zd 12574	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
24	23	zconstr 34022	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
25		1zzd 12596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
26	25	zconstr 34022	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Constr)
27	8	abscld 15457	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11204	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
29	7	subid1d 11525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) = 1)
30	29, 7	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) ∈ ℂ)
31	28, 30	mulcld 11196	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) · (1 − 0)) ∈ ℂ)
32	31	addlidd 11378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + ((abs‘𝑋) · (1 − 0))) = ((abs‘𝑋) · (1 − 0)))
33	29	oveq2d 7407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) · (1 − 0)) = ((abs‘𝑋) · 1))
34	28	mulridd 11193	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) · 1) = (abs‘𝑋))
35	32, 33, 34	3eqtrrd 2801	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) = (0 + ((abs‘𝑋) · (1 − 0))))
36	8	absge0d 15465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑋))
37	27, 36	absidd 15441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
38	28	subid1d 11525	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) − 0) = (abs‘𝑋))
39	38	fveq2d 6866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘𝑋) − 0)) = (abs‘(abs‘𝑋)))
40	8	subid1d 11525	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
41	40	fveq2d 6866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
42	37, 39, 41	3eqtr4d 2806	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘𝑋) − 0)) = (abs‘(𝑋 − 0)))
43	24, 26, 24, 1, 24, 27, 28, 35, 42	constrlccl 34015	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ Constr)
44	8, 3	absne0d 15468	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ≠ 0)
45	43, 44, 27	constrreinvcl 34030	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ Constr)
46	45	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ Constr)
47	8	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℂ)
48	3	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ≠ 0)
49	8	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℂ)
50		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → -𝑋 ∈ ℝ+)
51	50	rpred 13031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → -𝑋 ∈ ℝ)
52	49, 51	negrebd 11535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
53	52	stoic1a 1791	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → ¬ -𝑋 ∈ ℝ+)
54	47, 48, 53	arginv 32910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋))) = -(ℑ‘(log‘𝑋)))
55	47, 48, 53	argcj 32911	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (ℑ‘(log‘(∗‘𝑋))) = -(ℑ‘(log‘𝑋)))
56	54, 55	eqtr4d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋))) = (ℑ‘(log‘(∗‘𝑋))))
57	56	oveq2d 7407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋)))) = (i · (ℑ‘(log‘(∗‘𝑋)))))
58	57	fveq2d 6866	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋))))) = (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(∗‘𝑋))))))
59	8	cjcld 15214	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑋) ∈ ℂ)
60	8, 3	cjne0d 15221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑋) ≠ 0)
61	59, 60	efiargd 32909	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(∗‘𝑋))))) = ((∗‘𝑋) / (abs‘(∗‘𝑋))))
62	61	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(∗‘𝑋))))) = ((∗‘𝑋) / (abs‘(∗‘𝑋))))
63	58, 62	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋))))) = ((∗‘𝑋) / (abs‘(∗‘𝑋))))
64	1	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ Constr)
65	64	constrcjcl 34026	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (∗‘𝑋) ∈ Constr)
66	60	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (∗‘𝑋) ≠ 0)
67	65, 66	constrdircl 34023	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → ((∗‘𝑋) / (abs‘(∗‘𝑋))) ∈ Constr)
68	63, 67	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋))))) ∈ Constr)
69	46, 68	constrmulcl 34029	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → ((1 / (abs‘𝑋)) · (exp‘(i · (ℑ‘(log‘(1 / 𝑋)))))) ∈ Constr)
70	22, 69	eqeltrrd 2862	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (1 / 𝑋) ∈ Constr)
71	6, 70	pm2.61dan 822	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ Constr)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  ℝcr 11066  0cc0 11067  1c1 11068  ici 11069   + caddc 11070   · cmul 11072   − cmin 11408  -cneg 11409   / cdiv 11838  ℝ⁺crp 12987  ∗ccj 15114  ℑcim 15116  abscabs 15252  expce 16082  logclog 26607  Constrcconstr 33987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145  ax-addf 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-fi 9351  df-sup 9382  df-inf 9383  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-q 12944  df-rp 12988  df-xneg 13108  df-xadd 13109  df-xmul 13110  df-ioo 13347  df-ioc 13348  df-ico 13349  df-icc 13350  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-fl 13796  df-mod 13874  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14281  df-bc 14310  df-hash 14338  df-shft 15074  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-limsup 15489  df-clim 15506  df-rlim 15507  df-sum 15705  df-ef 16088  df-sin 16090  df-cos 16091  df-pi 16093  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-hom 17301  df-cco 17302  df-rest 17442  df-topn 17443  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-topgen 17463  df-pt 17464  df-prds 17467  df-xrs 17523  df-qtop 17528  df-imas 17529  df-xps 17531  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19101  df-cntz 19348  df-cmn 19813  df-psmet 21404  df-xmet 21405  df-met 21406  df-bl 21407  df-mopn 21408  df-fbas 21409  df-fg 21410  df-cnfld 21413  df-top 22942  df-topon 22959  df-topsp 22981  df-bases 22994  df-cld 23067  df-ntr 23068  df-cls 23069  df-nei 23146  df-lp 23184  df-perf 23185  df-cn 23275  df-cnp 23276  df-haus 23363  df-tx 23610  df-hmeo 23803  df-fil 23894  df-fm 23986  df-flim 23987  df-flf 23988  df-xms 24368  df-ms 24369  df-tms 24370  df-cncf 24928  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26609  df-constr 33988

This theorem is referenced by:  constrsdrg  34033  constrresqrtcl  34035  cos9thpinconstr  34049