Theorem constrdircl 33755

Description: Constructible numbers are closed under taking the point on the unit circle having the same argument. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrdircl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
constrdircl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
constrdircl	⊢ (𝜑 → (𝑋 / (abs‘𝑋)) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrdircl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12457	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
3	2	nn0constr 33751	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
4		constrdircl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
5		1nn0 12458	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
7	6	nn0constr 33751	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Constr)
8	4	constrcn 33750	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
9	8	abscld 15405	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
10		constrdircl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
11	8, 10	absne0d 15416	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ≠ 0)
12	9, 11	rereccld 12009	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℝ)
13	9	recnd 11202	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
14	8, 13, 11	divcld 11958	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (abs‘𝑋)) ∈ ℂ)
15	8	subid1d 11522	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
16	15	oveq2d 7403	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / (abs‘𝑋)) · (𝑋 − 0)) = ((1 / (abs‘𝑋)) · 𝑋))
17	12	recnd 11202	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℂ)
18	15, 8	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) ∈ ℂ)
19	17, 18	mulcld 11194	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / (abs‘𝑋)) · (𝑋 − 0)) ∈ ℂ)
20	19	addlidd 11375	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 + ((1 / (abs‘𝑋)) · (𝑋 − 0))) = ((1 / (abs‘𝑋)) · (𝑋 − 0)))
21	8, 13, 11	divrec2d 11962	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (abs‘𝑋)) = ((1 / (abs‘𝑋)) · 𝑋))
22	16, 20, 21	3eqtr4rd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (abs‘𝑋)) = (0 + ((1 / (abs‘𝑋)) · (𝑋 − 0))))
23		1red 11175	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
24	6	nn0ge0d 12506	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
25	23, 24	absidd 15389	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘1) = 1)
26		1m0e1 12302	. . . . 5 ⊢ (1 − 0) = 1
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) = 1)
28	27	fveq2d 6862	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 0)) = (abs‘1))
29	14	subid1d 11522	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 / (abs‘𝑋)) − 0) = (𝑋 / (abs‘𝑋)))
30	29	fveq2d 6862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋 / (abs‘𝑋)) − 0)) = (abs‘(𝑋 / (abs‘𝑋))))
31	8, 13, 11	absdivd 15424	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 / (abs‘𝑋))) = ((abs‘𝑋) / (abs‘(abs‘𝑋))))
32		absidm 15290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
33	8, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
34	33	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) / (abs‘(abs‘𝑋))) = ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑋)))
35	13, 11	dividd 11956	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑋)) = 1)
36	34, 35	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) / (abs‘(abs‘𝑋))) = 1)
37	30, 31, 36	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋 / (abs‘𝑋)) − 0)) = 1)
38	25, 28, 37	3eqtr4rd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋 / (abs‘𝑋)) − 0)) = (abs‘(1 − 0)))
39	3, 4, 3, 7, 3, 12, 14, 22, 38	constrlccl 33747	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (abs‘𝑋)) ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   − cmin 11405   / cdiv 11835  ℕ₀cn0 12442  abscabs 15200  Constrcconstr 33719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-constr 33720

This theorem is referenced by:  iconstr  33756  constrinvcl  33763  constrsqrtcl  33769