Theorem constrdircl 33956

Description: Constructible numbers are closed under taking the point on the unit circle having the same argument. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrdircl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
constrdircl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
constrdircl	⊢ (𝜑 → (𝑋 / (abs‘𝑋)) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrdircl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12450	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
3	2	nn0constr 33952	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
4		constrdircl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
5		1nn0 12451	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
7	6	nn0constr 33952	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Constr)
8	4	constrcn 33951	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
9	8	abscld 15399	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
10		constrdircl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
11	8, 10	absne0d 15410	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ≠ 0)
12	9, 11	rereccld 11980	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℝ)
13	9	recnd 11171	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
14	8, 13, 11	divcld 11929	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (abs‘𝑋)) ∈ ℂ)
15	8	subid1d 11492	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
16	15	oveq2d 7379	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / (abs‘𝑋)) · (𝑋 − 0)) = ((1 / (abs‘𝑋)) · 𝑋))
17	12	recnd 11171	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℂ)
18	15, 8	eqeltrd 2840	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) ∈ ℂ)
19	17, 18	mulcld 11163	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / (abs‘𝑋)) · (𝑋 − 0)) ∈ ℂ)
20	19	addlidd 11345	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 + ((1 / (abs‘𝑋)) · (𝑋 − 0))) = ((1 / (abs‘𝑋)) · (𝑋 − 0)))
21	8, 13, 11	divrec2d 11933	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (abs‘𝑋)) = ((1 / (abs‘𝑋)) · 𝑋))
22	16, 20, 21	3eqtr4rd 2786	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (abs‘𝑋)) = (0 + ((1 / (abs‘𝑋)) · (𝑋 − 0))))
23		1red 11143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
24	6	nn0ge0d 12499	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
25	23, 24	absidd 15383	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘1) = 1)
26		1m0e1 12295	. . . . 5 ⊢ (1 − 0) = 1
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) = 1)
28	27	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 0)) = (abs‘1))
29	14	subid1d 11492	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 / (abs‘𝑋)) − 0) = (𝑋 / (abs‘𝑋)))
30	29	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋 / (abs‘𝑋)) − 0)) = (abs‘(𝑋 / (abs‘𝑋))))
31	8, 13, 11	absdivd 15418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 / (abs‘𝑋))) = ((abs‘𝑋) / (abs‘(abs‘𝑋))))
32		absidm 15284	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
33	8, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
34	33	oveq2d 7379	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) / (abs‘(abs‘𝑋))) = ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑋)))
35	13, 11	dividd 11927	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑋)) = 1)
36	34, 35	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) / (abs‘(abs‘𝑋))) = 1)
37	30, 31, 36	3eqtrd 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋 / (abs‘𝑋)) − 0)) = 1)
38	25, 28, 37	3eqtr4rd 2786	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋 / (abs‘𝑋)) − 0)) = (abs‘(1 − 0)))
39	3, 4, 3, 7, 3, 12, 14, 22, 38	constrlccl 33948	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (abs‘𝑋)) ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   − cmin 11375   / cdiv 11805  ℕ₀cn0 12435  abscabs 15194  Constrcconstr 33920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-seq 13962  df-exp 14022  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-constr 33921

This theorem is referenced by:  iconstr  33957  constrinvcl  33964  constrsqrtcl  33970