Theorem constrdircl 33942

Description: Constructible numbers are closed under taking the point on the unit circle having the same argument. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrdircl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
constrdircl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
constrdircl	⊢ (𝜑 → (𝑋 / (abs‘𝑋)) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrdircl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12428	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
3	2	nn0constr 33938	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
4		constrdircl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
5		1nn0 12429	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
7	6	nn0constr 33938	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Constr)
8	4	constrcn 33937	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
9	8	abscld 15374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
10		constrdircl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
11	8, 10	absne0d 15385	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ≠ 0)
12	9, 11	rereccld 11980	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℝ)
13	9	recnd 11172	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
14	8, 13, 11	divcld 11929	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (abs‘𝑋)) ∈ ℂ)
15	8	subid1d 11493	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
16	15	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / (abs‘𝑋)) · (𝑋 − 0)) = ((1 / (abs‘𝑋)) · 𝑋))
17	12	recnd 11172	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℂ)
18	15, 8	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) ∈ ℂ)
19	17, 18	mulcld 11164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / (abs‘𝑋)) · (𝑋 − 0)) ∈ ℂ)
20	19	addlidd 11346	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 + ((1 / (abs‘𝑋)) · (𝑋 − 0))) = ((1 / (abs‘𝑋)) · (𝑋 − 0)))
21	8, 13, 11	divrec2d 11933	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (abs‘𝑋)) = ((1 / (abs‘𝑋)) · 𝑋))
22	16, 20, 21	3eqtr4rd 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (abs‘𝑋)) = (0 + ((1 / (abs‘𝑋)) · (𝑋 − 0))))
23		1red 11145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
24	6	nn0ge0d 12477	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
25	23, 24	absidd 15358	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘1) = 1)
26		1m0e1 12273	. . . . 5 ⊢ (1 − 0) = 1
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) = 1)
28	27	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 0)) = (abs‘1))
29	14	subid1d 11493	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 / (abs‘𝑋)) − 0) = (𝑋 / (abs‘𝑋)))
30	29	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋 / (abs‘𝑋)) − 0)) = (abs‘(𝑋 / (abs‘𝑋))))
31	8, 13, 11	absdivd 15393	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 / (abs‘𝑋))) = ((abs‘𝑋) / (abs‘(abs‘𝑋))))
32		absidm 15259	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
33	8, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
34	33	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) / (abs‘(abs‘𝑋))) = ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑋)))
35	13, 11	dividd 11927	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑋)) = 1)
36	34, 35	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) / (abs‘(abs‘𝑋))) = 1)
37	30, 31, 36	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋 / (abs‘𝑋)) − 0)) = 1)
38	25, 28, 37	3eqtr4rd 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋 / (abs‘𝑋)) − 0)) = (abs‘(1 − 0)))
39	3, 4, 3, 7, 3, 12, 14, 22, 38	constrlccl 33934	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (abs‘𝑋)) ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11376   / cdiv 11806  ℕ₀cn0 12413  abscabs 15169  Constrcconstr 33906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-constr 33907

This theorem is referenced by:  iconstr  33943  constrinvcl  33950  constrsqrtcl  33956