Theorem constrdircl 34072

Description: Constructible numbers are closed under taking the point on the unit circle having the same argument. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrdircl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
constrdircl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
constrdircl	⊢ (𝜑 → (𝑋 / (abs‘𝑋)) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrdircl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12510	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
3	2	nn0constr 34068	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
4		constrdircl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
5		1nn0 12511	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
7	6	nn0constr 34068	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Constr)
8	4	constrcn 34067	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
9	8	abscld 15480	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
10		constrdircl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
11	8, 10	absne0d 15491	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ≠ 0)
12	9, 11	rereccld 12033	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℝ)
13	9	recnd 11225	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
14	8, 13, 11	divcld 11982	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (abs‘𝑋)) ∈ ℂ)
15	8	subid1d 11546	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
16	15	oveq2d 7416	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / (abs‘𝑋)) · (𝑋 − 0)) = ((1 / (abs‘𝑋)) · 𝑋))
17	12	recnd 11225	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℂ)
18	15, 8	eqeltrd 2865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) ∈ ℂ)
19	17, 18	mulcld 11217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / (abs‘𝑋)) · (𝑋 − 0)) ∈ ℂ)
20	19	addlidd 11399	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 + ((1 / (abs‘𝑋)) · (𝑋 − 0))) = ((1 / (abs‘𝑋)) · (𝑋 − 0)))
21	8, 13, 11	divrec2d 11986	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (abs‘𝑋)) = ((1 / (abs‘𝑋)) · 𝑋))
22	16, 20, 21	3eqtr4rd 2811	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (abs‘𝑋)) = (0 + ((1 / (abs‘𝑋)) · (𝑋 − 0))))
23		1red 11197	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
24	6	nn0ge0d 12559	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
25	23, 24	absidd 15464	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘1) = 1)
26		1m0e1 12351	. . . . 5 ⊢ (1 − 0) = 1
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) = 1)
28	27	fveq2d 6875	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 0)) = (abs‘1))
29	14	subid1d 11546	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 / (abs‘𝑋)) − 0) = (𝑋 / (abs‘𝑋)))
30	29	fveq2d 6875	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋 / (abs‘𝑋)) − 0)) = (abs‘(𝑋 / (abs‘𝑋))))
31	8, 13, 11	absdivd 15499	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 / (abs‘𝑋))) = ((abs‘𝑋) / (abs‘(abs‘𝑋))))
32		absidm 15365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
33	8, 32	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
34	33	oveq2d 7416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) / (abs‘(abs‘𝑋))) = ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑋)))
35	13, 11	dividd 11980	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) / (abs‘𝑋)) = 1)
36	34, 35	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) / (abs‘(abs‘𝑋))) = 1)
37	30, 31, 36	3eqtrd 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋 / (abs‘𝑋)) − 0)) = 1)
38	25, 28, 37	3eqtr4rd 2811	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋 / (abs‘𝑋)) − 0)) = (abs‘(1 − 0)))
39	3, 4, 3, 7, 3, 12, 14, 22, 38	constrlccl 34064	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (abs‘𝑋)) ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   − cmin 11429   / cdiv 11859  ℕ₀cn0 12495  abscabs 15275  Constrcconstr 34036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-seq 14029  df-exp 14089  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-constr 34037

This theorem is referenced by:  iconstr  34073  constrinvcl  34080  constrsqrtcl  34086