Theorem constrabscl 33774

Description: Constructible numbers are closed under absolute value (modulus). (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
constrabscl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constrabscl	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrabscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 12547	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
2	1	zconstr 33760	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
3		1zzd 12570	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4	3	zconstr 33760	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Constr)
5		constrabscl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
6	5	constrcn 33756	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
7	6	abscld 15411	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11208	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
9		1m0e1 12308	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 0) = 1
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) = 1)
11		ax-1cn 11132	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
12	10, 11	eqeltrdi 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) ∈ ℂ)
13	8, 12	mulcld 11200	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) · (1 − 0)) ∈ ℂ)
14	13	addlidd 11381	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 + ((abs‘𝑋) · (1 − 0))) = ((abs‘𝑋) · (1 − 0)))
15	10	oveq2d 7405	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) · (1 − 0)) = ((abs‘𝑋) · 1))
16	8	mulridd 11197	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) · 1) = (abs‘𝑋))
17	14, 15, 16	3eqtrrd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) = (0 + ((abs‘𝑋) · (1 − 0))))
18	6	absge0d 15419	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑋))
19	7, 18	absidd 15395	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
20	8	subid1d 11528	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) − 0) = (abs‘𝑋))
21	20	fveq2d 6864	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘𝑋) − 0)) = (abs‘(abs‘𝑋)))
22	6	subid1d 11528	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
23	22	fveq2d 6864	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
24	19, 21, 23	3eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘𝑋) − 0)) = (abs‘(𝑋 − 0)))
25	2, 4, 2, 5, 2, 7, 8, 17, 24	constrlccl 33753	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ℂcc 11072  0cc0 11074  1c1 11075   + caddc 11077   · cmul 11079   − cmin 11411  abscabs 15206  Constrcconstr 33725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9399  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-constr 33726

This theorem is referenced by:  constrsqrtcl  33775