Theorem constrabscl 34460

Description: Constructible numbers are closed under absolute value (modulus). (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
constrabscl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constrabscl	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrabscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 12712	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
2	1	zconstr 34446	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
3		1zzd 12734	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4	3	zconstr 34446	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Constr)
5		constrabscl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
6	5	constrcn 34442	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
7	6	abscld 15615	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11344	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
9		1m0e1 12469	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 0) = 1
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) = 1)
11		ax-1cn 11265	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
12	10, 11	eqeltrdi 2868	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) ∈ ℂ)
13	8, 12	mulcld 11336	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) · (1 − 0)) ∈ ℂ)
14	13	addlidd 11518	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 + ((abs‘𝑋) · (1 − 0))) = ((abs‘𝑋) · (1 − 0)))
15	10	oveq2d 7440	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) · (1 − 0)) = ((abs‘𝑋) · 1))
16	8	mulridd 11333	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) · 1) = (abs‘𝑋))
17	14, 15, 16	3eqtrrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) = (0 + ((abs‘𝑋) · (1 − 0))))
18	6	absge0d 15623	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑋))
19	7, 18	absidd 15599	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
20	8	subid1d 11665	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) − 0) = (abs‘𝑋))
21	20	fveq2d 6894	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘𝑋) − 0)) = (abs‘(abs‘𝑋)))
22	6	subid1d 11665	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
23	22	fveq2d 6894	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
24	19, 21, 23	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘𝑋) − 0)) = (abs‘(𝑋 − 0)))
25	2, 4, 2, 5, 2, 7, 8, 17, 24	constrlccl 34439	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ Constr)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210   · cmul 11212   − cmin 11548  abscabs 15410  Constrcconstr 34411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-sup 9441  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-seq 14152  df-exp 14212  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-constr 34412

This theorem is used by:  constrsqrtcl  34461