Theorem constrabscl 34232

Description: Constructible numbers are closed under absolute value (modulus). (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
constrabscl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constrabscl	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrabscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 12618	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
2	1	zconstr 34218	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
3		1zzd 12640	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4	3	zconstr 34218	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Constr)
5		constrabscl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
6	5	constrcn 34214	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
7	6	abscld 15514	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11252	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
9		1m0e1 12375	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 0) = 1
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) = 1)
11		ax-1cn 11173	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
12	10, 11	eqeltrdi 2873	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) ∈ ℂ)
13	8, 12	mulcld 11244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) · (1 − 0)) ∈ ℂ)
14	13	addlidd 11426	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 + ((abs‘𝑋) · (1 − 0))) = ((abs‘𝑋) · (1 − 0)))
15	10	oveq2d 7435	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) · (1 − 0)) = ((abs‘𝑋) · 1))
16	8	mulridd 11241	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) · 1) = (abs‘𝑋))
17	14, 15, 16	3eqtrrd 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) = (0 + ((abs‘𝑋) · (1 − 0))))
18	6	absge0d 15522	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑋))
19	7, 18	absidd 15498	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
20	8	subid1d 11573	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) − 0) = (abs‘𝑋))
21	20	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘𝑋) − 0)) = (abs‘(abs‘𝑋)))
22	6	subid1d 11573	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
23	22	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
24	19, 21, 23	3eqtr4d 2810	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘𝑋) − 0)) = (abs‘(𝑋 − 0)))
25	2, 4, 2, 5, 2, 7, 8, 17, 24	constrlccl 34211	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ Constr)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  0cc0 11115  1c1 11116   + caddc 11118   · cmul 11120   − cmin 11456  abscabs 15309  Constrcconstr 34183

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033  df-seq 14056  df-exp 14116  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-constr 34184

This theorem is used by:  constrsqrtcl  34233