Theorem constrabscl 34403

Description: Constructible numbers are closed under absolute value (modulus). (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
constrabscl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constrabscl	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrabscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 12698	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
2	1	zconstr 34389	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
3		1zzd 12720	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4	3	zconstr 34389	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Constr)
5		constrabscl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
6	5	constrcn 34385	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
7	6	abscld 15599	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11330	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
9		1m0e1 12455	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 0) = 1
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) = 1)
11		ax-1cn 11251	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
12	10, 11	eqeltrdi 2869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) ∈ ℂ)
13	8, 12	mulcld 11322	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) · (1 − 0)) ∈ ℂ)
14	13	addlidd 11504	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 + ((abs‘𝑋) · (1 − 0))) = ((abs‘𝑋) · (1 − 0)))
15	10	oveq2d 7434	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) · (1 − 0)) = ((abs‘𝑋) · 1))
16	8	mulridd 11319	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) · 1) = (abs‘𝑋))
17	14, 15, 16	3eqtrrd 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) = (0 + ((abs‘𝑋) · (1 − 0))))
18	6	absge0d 15607	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑋))
19	7, 18	absidd 15583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
20	8	subid1d 11651	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) − 0) = (abs‘𝑋))
21	20	fveq2d 6887	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘𝑋) − 0)) = (abs‘(abs‘𝑋)))
22	6	subid1d 11651	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
23	22	fveq2d 6887	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
24	19, 21, 23	3eqtr4d 2806	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘𝑋) − 0)) = (abs‘(𝑋 − 0)))
25	2, 4, 2, 5, 2, 7, 8, 17, 24	constrlccl 34382	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ Constr)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198   − cmin 11534  abscabs 15394  Constrcconstr 34354

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-constr 34355

This theorem is used by:  constrsqrtcl  34404