Theorem nonsq 16278

Description: Any integer strictly between two adjacent squares has an irrational square root. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nonsq	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ¬ (√‘𝐴) ∈ ℚ)

Proof of Theorem nonsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12165	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℤ)
2	1	ad2antlr 727	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		simprl 771	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (𝐵↑2) < 𝐴)
4		nn0re 12064	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	recnd 10826	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
7	6	sqsqrtd 14968	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
8	3, 7	breqtrrd 5067	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (𝐵↑2) < ((√‘𝐴)↑2))
9		nn0re 12064	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		nn0ge0 12080	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
12	11	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 0 ≤ 𝐴)
13	5, 12	resqrtcld 14946	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
14		nn0ge0 12080	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
15	14	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 0 ≤ 𝐵)
16	5, 12	sqrtge0d 14949	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 0 ≤ (√‘𝐴))
17	10, 13, 15, 16	lt2sqd 13790	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (𝐵 < (√‘𝐴) ↔ (𝐵↑2) < ((√‘𝐴)↑2)))
18	8, 17	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐵 < (√‘𝐴))
19		simprr 773	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))
20	7, 19	eqbrtrd 5061	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ((√‘𝐴)↑2) < ((𝐵 + 1)↑2))
21		peano2re 10970	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
22	10, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
23		peano2nn0 12095	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
24		nn0ge0 12080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 + 1) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐵 + 1))
25	23, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐵 + 1))
26	25	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 0 ≤ (𝐵 + 1))
27	13, 22, 16, 26	lt2sqd 13790	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ((√‘𝐴) < (𝐵 + 1) ↔ ((√‘𝐴)↑2) < ((𝐵 + 1)↑2)))
28	20, 27	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (√‘𝐴) < (𝐵 + 1))
29		btwnnz 12218	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < (√‘𝐴) ∧ (√‘𝐴) < (𝐵 + 1)) → ¬ (√‘𝐴) ∈ ℤ)
30	2, 18, 28, 29	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ¬ (√‘𝐴) ∈ ℤ)
31		nn0z 12165	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
32	31	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐴 ∈ ℤ)
33		zsqrtelqelz 16277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (√‘𝐴) ∈ ℤ)
34	33	ex 416	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((√‘𝐴) ∈ ℚ → (√‘𝐴) ∈ ℤ))
35	32, 34	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ((√‘𝐴) ∈ ℚ → (√‘𝐴) ∈ ℤ))
36	30, 35	mtod 201	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ¬ (√‘𝐴) ∈ ℚ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5039  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  ℝcr 10693  0cc0 10694  1c1 10695   + caddc 10697   < clt 10832   ≤ cle 10833  2c2 11850  ℕ₀cn0 12055  ℤcz 12141  ℚcq 12509  ↑cexp 13600  √csqrt 14761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-sup 9036  df-inf 9037  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-q 12510  df-rp 12552  df-fl 13332  df-mod 13408  df-seq 13540  df-exp 13601  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-dvds 15779  df-gcd 16017  df-numer 16254  df-denom 16255

This theorem is referenced by:  rmspecsqrtnq  40372