Theorem nonsq 16793

Description: Any integer strictly between two adjacent squares has an irrational square root. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nonsq	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ¬ (√‘𝐴) ∈ ℚ)

Proof of Theorem nonsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12636	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℤ)
2	1	ad2antlr 727	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		simprl 771	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (𝐵↑2) < 𝐴)
4		nn0re 12533	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11287	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
7	6	sqsqrtd 15475	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
8	3, 7	breqtrrd 5176	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (𝐵↑2) < ((√‘𝐴)↑2))
9		nn0re 12533	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		nn0ge0 12549	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
12	11	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 0 ≤ 𝐴)
13	5, 12	resqrtcld 15453	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
14		nn0ge0 12549	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
15	14	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 0 ≤ 𝐵)
16	5, 12	sqrtge0d 15456	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 0 ≤ (√‘𝐴))
17	10, 13, 15, 16	lt2sqd 14292	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (𝐵 < (√‘𝐴) ↔ (𝐵↑2) < ((√‘𝐴)↑2)))
18	8, 17	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐵 < (√‘𝐴))
19		simprr 773	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))
20	7, 19	eqbrtrd 5170	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ((√‘𝐴)↑2) < ((𝐵 + 1)↑2))
21		peano2re 11432	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
22	10, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
23		peano2nn0 12564	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
24		nn0ge0 12549	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 + 1) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐵 + 1))
25	23, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐵 + 1))
26	25	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 0 ≤ (𝐵 + 1))
27	13, 22, 16, 26	lt2sqd 14292	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ((√‘𝐴) < (𝐵 + 1) ↔ ((√‘𝐴)↑2) < ((𝐵 + 1)↑2)))
28	20, 27	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (√‘𝐴) < (𝐵 + 1))
29		btwnnz 12692	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < (√‘𝐴) ∧ (√‘𝐴) < (𝐵 + 1)) → ¬ (√‘𝐴) ∈ ℤ)
30	2, 18, 28, 29	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ¬ (√‘𝐴) ∈ ℤ)
31		nn0z 12636	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
32	31	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐴 ∈ ℤ)
33		zsqrtelqelz 16792	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (√‘𝐴) ∈ ℤ)
34	33	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((√‘𝐴) ∈ ℚ → (√‘𝐴) ∈ ℤ))
35	32, 34	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ((√‘𝐴) ∈ ℚ → (√‘𝐴) ∈ ℤ))
36	30, 35	mtod 198	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ¬ (√‘𝐴) ∈ ℚ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293   ≤ cle 11294  2c2 12319  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ℚcq 12988  ↑cexp 14099  √csqrt 15269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-numer 16769  df-denom 16770

This theorem is referenced by:  rmspecsqrtnq  42894