Theorem nonsq 15955

Description: Any integer strictly between two adjacent squares has an irrational square root. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nonsq	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ¬ (√‘𝐴) ∈ ℚ)

Proof of Theorem nonsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 11818	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℤ)
2	1	ad2antlr 714	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		simprl 758	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (𝐵↑2) < 𝐴)
4		nn0re 11717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	ad2antrr 713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	recnd 10468	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
7	6	sqsqrtd 14660	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
8	3, 7	breqtrrd 4957	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (𝐵↑2) < ((√‘𝐴)↑2))
9		nn0re 11717	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	ad2antlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		nn0ge0 11734	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
12	11	ad2antrr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 0 ≤ 𝐴)
13	5, 12	resqrtcld 14638	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
14		nn0ge0 11734	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
15	14	ad2antlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 0 ≤ 𝐵)
16	5, 12	sqrtge0d 14641	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 0 ≤ (√‘𝐴))
17	10, 13, 15, 16	lt2sqd 13434	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (𝐵 < (√‘𝐴) ↔ (𝐵↑2) < ((√‘𝐴)↑2)))
18	8, 17	mpbird 249	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐵 < (√‘𝐴))
19		simprr 760	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))
20	7, 19	eqbrtrd 4951	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ((√‘𝐴)↑2) < ((𝐵 + 1)↑2))
21		peano2re 10613	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
22	10, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
23		peano2nn0 11749	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
24		nn0ge0 11734	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 + 1) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐵 + 1))
25	23, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐵 + 1))
26	25	ad2antlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 0 ≤ (𝐵 + 1))
27	13, 22, 16, 26	lt2sqd 13434	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ((√‘𝐴) < (𝐵 + 1) ↔ ((√‘𝐴)↑2) < ((𝐵 + 1)↑2)))
28	20, 27	mpbird 249	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (√‘𝐴) < (𝐵 + 1))
29		btwnnz 11871	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < (√‘𝐴) ∧ (√‘𝐴) < (𝐵 + 1)) → ¬ (√‘𝐴) ∈ ℤ)
30	2, 18, 28, 29	syl3anc 1351	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ¬ (√‘𝐴) ∈ ℤ)
31		nn0z 11818	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
32	31	ad2antrr 713	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐴 ∈ ℤ)
33		zsqrtelqelz 15954	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (√‘𝐴) ∈ ℤ)
34	33	ex 405	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((√‘𝐴) ∈ ℚ → (√‘𝐴) ∈ ℤ))
35	32, 34	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ((√‘𝐴) ∈ ℚ → (√‘𝐴) ∈ ℤ))
36	30, 35	mtod 190	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ¬ (√‘𝐴) ∈ ℚ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 387   ∈ wcel 2050   class class class wbr 4929  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  ℝcr 10334  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   < clt 10474   ≤ cle 10475  2c2 11495  ℕ₀cn0 11707  ℤcz 11793  ℚcq 12162  ↑cexp 13244  √csqrt 14453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-sup 8701  df-inf 8702  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-fl 12977  df-mod 13053  df-seq 13185  df-exp 13245  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-dvds 15468  df-gcd 15704  df-numer 15931  df-denom 15932

This theorem is referenced by:  rmspecsqrtnq  38905