MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nonsq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nonsq 16641
Description: Any integer strictly between two adjacent squares has an irrational square root. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
nonsq (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ¬ (√‘𝐴) ∈ ℚ)

Proof of Theorem nonsq
StepHypRef Expression
1 nn0z 12531 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ)
21ad2antlr 726 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 simprl 770 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (𝐵↑2) < 𝐴)
4 nn0re 12429 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
54ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
65recnd 11190 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
76sqsqrtd 15331 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
83, 7breqtrrd 5138 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (𝐵↑2) < ((√‘𝐴)↑2))
9 nn0re 12429 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ)
109ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐵 ∈ ℝ)
11 nn0ge0 12445 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
1211ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 0 ≤ 𝐴)
135, 12resqrtcld 15309 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
14 nn0ge0 12445 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
1514ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 0 ≤ 𝐵)
165, 12sqrtge0d 15312 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 0 ≤ (√‘𝐴))
1710, 13, 15, 16lt2sqd 14166 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (𝐵 < (√‘𝐴) ↔ (𝐵↑2) < ((√‘𝐴)↑2)))
188, 17mpbird 257 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐵 < (√‘𝐴))
19 simprr 772 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))
207, 19eqbrtrd 5132 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ((√‘𝐴)↑2) < ((𝐵 + 1)↑2))
21 peano2re 11335 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
2210, 21syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
23 peano2nn0 12460 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
24 nn0ge0 12445 . . . . . . 7 ((𝐵 + 1) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐵 + 1))
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐵 + 1))
2625ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 0 ≤ (𝐵 + 1))
2713, 22, 16, 26lt2sqd 14166 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ((√‘𝐴) < (𝐵 + 1) ↔ ((√‘𝐴)↑2) < ((𝐵 + 1)↑2)))
2820, 27mpbird 257 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (√‘𝐴) < (𝐵 + 1))
29 btwnnz 12586 . . 3 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < (√‘𝐴) ∧ (√‘𝐴) < (𝐵 + 1)) → ¬ (√‘𝐴) ∈ ℤ)
302, 18, 28, 29syl3anc 1372 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ¬ (√‘𝐴) ∈ ℤ)
31 nn0z 12531 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
3231ad2antrr 725 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐴 ∈ ℤ)
33 zsqrtelqelz 16640 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (√‘𝐴) ∈ ℤ)
3433ex 414 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → ((√‘𝐴) ∈ ℚ → (√‘𝐴) ∈ ℤ))
3532, 34syl 17 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ((√‘𝐴) ∈ ℚ → (√‘𝐴) ∈ ℤ))
3630, 35mtod 197 1 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ¬ (√‘𝐴) ∈ ℚ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  wcel 2107   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196  cle 11197  2c2 12215  0cn0 12420  cz 12506  cq 12880  cexp 13974  csqrt 15125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-numer 16617  df-denom 16618
This theorem is referenced by:  rmspecsqrtnq  41258
  Copyright terms: Public domain W3C validator