MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nonsq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nonsq 15955
Description: Any integer strictly between two adjacent squares has an irrational square root. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
nonsq (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ¬ (√‘𝐴) ∈ ℚ)

Proof of Theorem nonsq
StepHypRef Expression
1 nn0z 11818 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ)
21ad2antlr 714 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 simprl 758 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (𝐵↑2) < 𝐴)
4 nn0re 11717 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
54ad2antrr 713 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
65recnd 10468 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
76sqsqrtd 14660 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
83, 7breqtrrd 4957 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (𝐵↑2) < ((√‘𝐴)↑2))
9 nn0re 11717 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ)
109ad2antlr 714 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐵 ∈ ℝ)
11 nn0ge0 11734 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
1211ad2antrr 713 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 0 ≤ 𝐴)
135, 12resqrtcld 14638 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
14 nn0ge0 11734 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
1514ad2antlr 714 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 0 ≤ 𝐵)
165, 12sqrtge0d 14641 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 0 ≤ (√‘𝐴))
1710, 13, 15, 16lt2sqd 13434 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (𝐵 < (√‘𝐴) ↔ (𝐵↑2) < ((√‘𝐴)↑2)))
188, 17mpbird 249 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐵 < (√‘𝐴))
19 simprr 760 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))
207, 19eqbrtrd 4951 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ((√‘𝐴)↑2) < ((𝐵 + 1)↑2))
21 peano2re 10613 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
2210, 21syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
23 peano2nn0 11749 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
24 nn0ge0 11734 . . . . . . 7 ((𝐵 + 1) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐵 + 1))
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐵 + 1))
2625ad2antlr 714 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 0 ≤ (𝐵 + 1))
2713, 22, 16, 26lt2sqd 13434 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ((√‘𝐴) < (𝐵 + 1) ↔ ((√‘𝐴)↑2) < ((𝐵 + 1)↑2)))
2820, 27mpbird 249 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (√‘𝐴) < (𝐵 + 1))
29 btwnnz 11871 . . 3 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < (√‘𝐴) ∧ (√‘𝐴) < (𝐵 + 1)) → ¬ (√‘𝐴) ∈ ℤ)
302, 18, 28, 29syl3anc 1351 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ¬ (√‘𝐴) ∈ ℤ)
31 nn0z 11818 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
3231ad2antrr 713 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐴 ∈ ℤ)
33 zsqrtelqelz 15954 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (√‘𝐴) ∈ ℤ)
3433ex 405 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → ((√‘𝐴) ∈ ℚ → (√‘𝐴) ∈ ℤ))
3532, 34syl 17 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ((√‘𝐴) ∈ ℚ → (√‘𝐴) ∈ ℤ))
3630, 35mtod 190 1 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ¬ (√‘𝐴) ∈ ℚ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387  wcel 2050   class class class wbr 4929  cfv 6188  (class class class)co 6976  cr 10334  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   < clt 10474  cle 10475  2c2 11495  0cn0 11707  cz 11793  cq 12162  cexp 13244  csqrt 14453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-sup 8701  df-inf 8702  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-fl 12977  df-mod 13053  df-seq 13185  df-exp 13245  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-dvds 15468  df-gcd 15704  df-numer 15931  df-denom 15932
This theorem is referenced by:  rmspecsqrtnq  38905
  Copyright terms: Public domain W3C validator