Theorem ppiqfi 16158

Description: The set of primes less than 𝐴 is a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppiqfi	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)

Proof of Theorem ppiqfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ppiqsval 16156	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
2		2z 9676	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
3	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 2 ∈ ℤ)
4		flqcl 10718	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
5	3, 4	fzfigd 10881	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (2...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
6		inss1 3451	. . . 4 ⊢ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ (2...(⌊‘𝐴))
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ (2...(⌊‘𝐴)))
8		elfzelz 10438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ℤ)
9	8	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴))) → 𝑥 ∈ ℤ)
10	2	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴))) → 2 ∈ ℤ)
11	4	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴))) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
12		fzdcel 10454	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ) → DECID 𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)))
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴))) → DECID 𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)))
14		0red 8327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
15		2re 9376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
16	15	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) → 2 ∈ ℝ)
17	8	zred 9772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
18		2pos 9397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) → 0 < 2)
20		elfzle1 10441	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) → 2 ≤ 𝑥)
21	14, 16, 17, 19, 20	ltletrd 8752	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) → 0 < 𝑥)
22		elnnz 9658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑥))
23	8, 21, 22	sylanbrc 421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ℕ)
24	23	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴))) → 𝑥 ∈ ℕ)
25		prmdc 12924	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → DECID 𝑥 ∈ ℙ)
26	24, 25	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴))) → DECID 𝑥 ∈ ℙ)
27	13, 26	dcand 945	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴))) → DECID (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℙ))
28		elin 3412	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ↔ (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℙ))
29	28	dcbii 852	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ↔ DECID (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℙ))
30	27, 29	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴))) → DECID 𝑥 ∈ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
31	30	ralrimiva 2623	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∀𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴))DECID 𝑥 ∈ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
32		ssfidc 7245	. . 3 ⊢ (((2...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin ∧ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ (2...(⌊‘𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴))DECID 𝑥 ∈ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
33	5, 7, 31, 32	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
34	1, 33	eqeltrd 2315	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 846   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Fincfn 7022  ℝcr 8178  0cc0 8179   < clt 8360  ℕcn 9306  2c2 9357  ℤcz 9648  ℚcq 10028  [,]cicc 10303  ...cfz 10421  ⌊cfl 10713  ℙcprime 12901

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-reap 8905  df-ap 8912  df-div 9005  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-4 9367  df-n0 9568  df-z 9649  df-uz 9931  df-q 10029  df-rp 10065  df-icc 10307  df-fz 10422  df-fl 10715  df-mod 10773  df-seqfrec 10898  df-exp 10989  df-cj 11621  df-re 11622  df-im 11623  df-rsqrt 11778  df-abs 11779  df-dvds 12571  df-prm 12902

This theorem is used by:  ppiqval  16160  ppiqcl  16163  ppiqwordi  16174