Theorem ppiqfi 16242

Description: The set of primes less than 𝐴 is a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppiqfi	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)

Proof of Theorem ppiqfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ppiqsval 16240	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
2		2z 9683	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
3	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 2 ∈ ℤ)
4		flqcl 10725	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
5	3, 4	fzfigd 10889	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (2...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
6		inss1 3451	. . . 4 ⊢ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ (2...(⌊‘𝐴))
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ (2...(⌊‘𝐴)))
8		elfzelz 10445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ℤ)
9	8	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴))) → 𝑥 ∈ ℤ)
10	2	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴))) → 2 ∈ ℤ)
11	4	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴))) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
12		fzdcel 10461	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ) → DECID 𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)))
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴))) → DECID 𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)))
14		0red 8333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
15		2re 9383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
16	15	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) → 2 ∈ ℝ)
17	8	zred 9779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
18		2pos 9404	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) → 0 < 2)
20		elfzle1 10448	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) → 2 ≤ 𝑥)
21	14, 16, 17, 19, 20	ltletrd 8758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) → 0 < 𝑥)
22		elnnz 9665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑥))
23	8, 21, 22	sylanbrc 421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ℕ)
24	23	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴))) → 𝑥 ∈ ℕ)
25		prmdc 12933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → DECID 𝑥 ∈ ℙ)
26	24, 25	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴))) → DECID 𝑥 ∈ ℙ)
27	13, 26	dcand 945	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴))) → DECID (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℙ))
28		elin 3412	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ↔ (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℙ))
29	28	dcbii 852	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ↔ DECID (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℙ))
30	27, 29	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴))) → DECID 𝑥 ∈ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
31	30	ralrimiva 2623	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∀𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴))DECID 𝑥 ∈ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
32		ssfidc 7249	. . 3 ⊢ (((2...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin ∧ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ (2...(⌊‘𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴))DECID 𝑥 ∈ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
33	5, 7, 31, 32	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
34	1, 33	eqeltrd 2315	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 846   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Fincfn 7026  ℝcr 8184  0cc0 8185   < clt 8366  ℕcn 9313  2c2 9364  ℤcz 9655  ℚcq 10035  [,]cicc 10310  ...cfz 10428  ⌊cfl 10720  ℙcprime 12910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7027  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-icc 10314  df-fz 10429  df-fl 10722  df-mod 10781  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-dvds 12580  df-prm 12911

This theorem is used by:  chtqcl  16244  chtqval  16245  efchtqcl  16246  chtqge0  16247  ppiqval  16248  ppiqcl  16251  chtqwordi  16263  ppiqwordi  16268  chtqleppi  16294