Theorem chtqge0 16259

Description: The Chebyshev function is always positive. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chtqge0	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 0 ≤ (θ‘𝐴))

Proof of Theorem chtqge0

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ppiqfi 16254	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
2		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
3	2	elin2d 3419	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
4		prmuz2 12936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
5	3, 4	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
6		eluz2b2 10020	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
7	5, 6	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
8	7	simpld 112	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
9	8	nnrpd 10113	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
10	9	relogcld 16124	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
11	8	nnred 9327	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ)
12	7	simprd 114	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 1 < 𝑝)
13	11, 12	rplogcld 16130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ+)
14	13	rpge0d 10119	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 0 ≤ (log‘𝑝))
15	1, 10, 14	fsumge0 12252	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 0 ≤ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
16		chtqval 16257	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
17	15, 16	breqtrrd 4159	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 0 ≤ (θ‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   ∩ cin 3219   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  0cc0 8186  1c1 8187   < clt 8367   ≤ cle 8368  ℕcn 9314  2c2 9365  ℤ_≥cuz 9938  ℚcq 10036  [,]cicc 10311  Σcsu 12145  ℙcprime 12911  logclog 16097  θccht 16245

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306  ax-pre-suploc 8307  ax-addf 8308  ax-mulf 8309

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-pm 6929  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-sup 7331  df-inf 7332  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-xneg 10192  df-xadd 10193  df-ioo 10312  df-ico 10314  df-icc 10315  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-fl 10723  df-mod 10782  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-fac 11187  df-bc 11209  df-ihash 11238  df-shft 11603  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-clim 12071  df-sumdc 12146  df-ef 12441  df-e 12442  df-dvds 12581  df-prm 12912  df-rest 13655  df-topgen 13674  df-psmet 14990  df-xmet 14991  df-met 14992  df-bl 14993  df-mopn 14994  df-top 15236  df-topon 15249  df-bases 15281  df-ntr 15334  df-cn 15426  df-cnp 15427  df-tx 15491  df-cncf 15809  df-limced 15894  df-dvap 15895  df-relog 16099  df-cht 16248

This theorem is used by: (None)