Theorem ppiqsval 16201

Description: The set of primes less than 𝐴 expressed using a finite set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppiqsval	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))

Proof of Theorem ppiqsval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
2	1	elin2d 3419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ℙ)
3		prmuz2 12929	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2))
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2))
5		prmz 12908	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℤ)
6	2, 5	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
7		flqcl 10719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
8	7	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
9	1	elin1d 3418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (0[,]𝐴))
10		0re 8327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		qre 10035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
13		elicc2 10351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)))
14	10, 12, 13	sylancr 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)))
15	9, 14	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴))
16	15	simp3d 1042	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ≤ 𝐴)
17		flqge 10730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ (⌊‘𝐴)))
18	6, 17	syldan 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ (⌊‘𝐴)))
19	16, 18	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ≤ (⌊‘𝐴))
20		eluz2 9937	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ (⌊‘𝐴)))
21	6, 8, 19, 20	syl3anbrc 1212	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑥))
22		elfzuzb 10433	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑥)))
23	4, 21, 22	sylanbrc 421	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)))
24	23, 2	elind 3414	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
25	24	ex 115	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) → 𝑥 ∈ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)))
26	25	ssrdv 3254	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
27		2z 9677	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
28		fzval2 10425	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ) → (2...(⌊‘𝐴)) = ((2[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℤ))
29	27, 7, 28	sylancr 418	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (2...(⌊‘𝐴)) = ((2[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℤ))
30		inss1 3451	. . . . 5 ⊢ ((2[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℤ) ⊆ (2[,](⌊‘𝐴))
31	10	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 0 ∈ ℝ)
32		0le2 9397	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 2
33	32	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 0 ≤ 2)
34		flqle 10726	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
35		iccss 10354	. . . . . 6 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)) → (2[,](⌊‘𝐴)) ⊆ (0[,]𝐴))
36	31, 11, 33, 34, 35	syl22anc 1279	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (2[,](⌊‘𝐴)) ⊆ (0[,]𝐴))
37	30, 36	sstrid 3259	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((2[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℤ) ⊆ (0[,]𝐴))
38	29, 37	eqsstrd 3284	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (0[,]𝐴))
39	38	ssrind 3458	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
40	26, 39	eqssd 3265	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℝcr 8179  0cc0 8180   ≤ cle 8362  2c2 9358  ℤcz 9649  ℤ_≥cuz 9931  ℚcq 10029  [,]cicc 10304  ...cfz 10422  ⌊cfl 10714  ℙcprime 12904

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-icc 10308  df-fz 10423  df-fl 10716  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781  df-dvds 12574  df-prm 12905

This theorem is used by:  ppiqsval2  16202  ppiqfi  16203  ppival2  16210  chtqfl  16219  chtprm  16222  chtnprm  16223  ppiqfl  16227  cht1  16232