Theorem chtnprm 16181

Description: The Chebyshev function at a non-prime. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chtnprm	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘(𝐴 + 1)) = (θ‘𝐴))

Proof of Theorem chtnprm

Dummy variables 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
2	1	elin2d 3419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ℙ)
3		simprl 535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ)
4		nelne2 2511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝑥 ≠ (𝐴 + 1))
5	2, 3, 4	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ≠ (𝐴 + 1))
6		velsn 3726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)} ↔ 𝑥 = (𝐴 + 1))
7	6	necon3bbii 2457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)} ↔ 𝑥 ≠ (𝐴 + 1))
8	5, 7	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ¬ 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)})
9	1	elin1d 3418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ (2...(𝐴 + 1)))
10		2z 9676	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
11		zcn 9653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝐴 ∈ ℂ)
13		ax-1cn 8272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		pncan 8533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
15	12, 13, 14	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
16		elfzuz2 10443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(𝐴 + 1)) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
17		uz2m1nn 10014	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 + 1) − 1) ∈ ℕ)
18	9, 16, 17	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ((𝐴 + 1) − 1) ∈ ℕ)
19	15, 18	eqeltrrd 2316	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝐴 ∈ ℕ)
20		nnuz 9967	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
21		2m1e1 9424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 − 1) = 1
22	21	fveq2i 5698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℤ≥‘(2 − 1)) = (ℤ≥‘1)
23	20, 22	eqtr4i 2262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(2 − 1))
24	19, 23	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(2 − 1)))
25		fzsuc2 10496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(2 − 1))) → (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
26	10, 24, 25	sylancr 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
27	9, 26	eleqtrd 2317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
28		elun 3370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}) ↔ (𝑥 ∈ (2...𝐴) ∨ 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)}))
29	27, 28	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → (𝑥 ∈ (2...𝐴) ∨ 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)}))
30	8, 29	ecased 1390	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ (2...𝐴))
31	30, 2	elind 3414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ))
32	31	expr 375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) → 𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ)))
33	32	ssrdv 3254	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) ⊆ ((2...𝐴) ∩ ℙ))
34		uzid 9945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
35	34	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
36		peano2uz 9992	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
37		fzss2 10480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (2...𝐴) ⊆ (2...(𝐴 + 1)))
38		ssrin 3456	. . . . . . 7 ⊢ ((2...𝐴) ⊆ (2...(𝐴 + 1)) → ((2...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
39	35, 36, 37, 38	4syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
40	33, 39	eqssd 3265	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = ((2...𝐴) ∩ ℙ))
41		peano2z 9684	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
42	41	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
43		flid 10732	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
44	42, 43	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (⌊‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
45	44	oveq2d 6101	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (2...(⌊‘(𝐴 + 1))) = (2...(𝐴 + 1)))
46	45	ineq1d 3431	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(⌊‘(𝐴 + 1))) ∩ ℙ) = ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
47		flid 10732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
48	47	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
49	48	oveq2d 6101	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (2...(⌊‘𝐴)) = (2...𝐴))
50	49	ineq1d 3431	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) = ((2...𝐴) ∩ ℙ))
51	40, 46, 50	3eqtr4d 2281	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(⌊‘(𝐴 + 1))) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
52		zq 10035	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℚ)
53	42, 52	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ ℚ)
54		ppiqsval 16159	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℚ → ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘(𝐴 + 1))) ∩ ℙ))
55	53, 54	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘(𝐴 + 1))) ∩ ℙ))
56		zq 10035	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
57	56	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℚ)
58		ppiqsval 16159	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
59	57, 58	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
60	51, 55, 59	3eqtr4d 2281	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
61	60	sumeq1d 12148	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
62		chtqval 16164	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℚ → (θ‘(𝐴 + 1)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
63	53, 62	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘(𝐴 + 1)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
64		chtqval 16164	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
65	57, 64	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
66	61, 63, 65	3eqtr4d 2281	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘(𝐴 + 1)) = (θ‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   ∪ cun 3218   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  {csn 3709  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   − cmin 8498  ℕcn 9306  2c2 9357  ℤcz 9648  ℤ_≥cuz 9930  ℚcq 10028  [,]cicc 10303  ...cfz 10421  ⌊cfl 10713  Σcsu 12135  ℙcprime 12901  logclog 16007  θccht 16152

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299  ax-pre-suploc 8300  ax-addf 8301  ax-mulf 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-pm 6925  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-reap 8905  df-ap 8912  df-div 9005  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-4 9367  df-n0 9568  df-z 9649  df-uz 9931  df-q 10029  df-rp 10065  df-xneg 10184  df-xadd 10185  df-ioo 10304  df-ico 10306  df-icc 10307  df-fz 10422  df-fzo 10560  df-fl 10715  df-mod 10773  df-seqfrec 10898  df-exp 10989  df-fac 11178  df-bc 11200  df-ihash 11229  df-shft 11594  df-cj 11621  df-re 11622  df-im 11623  df-rsqrt 11778  df-abs 11779  df-clim 12061  df-sumdc 12136  df-ef 12431  df-e 12432  df-dvds 12571  df-prm 12902  df-rest 13644  df-topgen 13663  df-psmet 14929  df-xmet 14930  df-met 14931  df-bl 14932  df-mopn 14933  df-top 15148  df-topon 15161  df-bases 15193  df-ntr 15246  df-cn 15338  df-cnp 15339  df-tx 15403  df-cncf 15721  df-limced 15806  df-dvap 15807  df-relog 16009  df-cht 16155

This theorem is used by:  chtqub  16215