Theorem znleval2 14639

Description: The ordering of the ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znle2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znle2.f	⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
znle2.w	⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
znle2.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)
znleval.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znleval2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)))

Proof of Theorem znleval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znle2.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2		znle2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
3		znle2.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
4		znle2.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
5		znleval.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑌)
6	1, 2, 3, 4, 5	znleval 14638	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵))))
7	6	3ad2ant1 1042	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵))))
8		3simpc 1020	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
9	8	biantrurd 305	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵))))
10		df-3an 1004	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)))
11	9, 10	bitr4di 198	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵))))
12	7, 11	bitr4d 191	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ifcif 3602   class class class wbr 4083  ^◡ccnv 4719   ↾ cres 4722  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  0cc0 8015   ≤ cle 8198  ℕ₀cn0 9385  ℤcz 9462  ..^cfzo 10355  Basecbs 13053  lecple 13138  ℤRHomczrh 14596  ℤ/nℤczn 14598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-addf 8137  ax-mulf 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-tpos 6402  df-recs 6462  df-frec 6548  df-er 6693  df-ec 6695  df-qs 6699  df-map 6810  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-z 9463  df-dec 9595  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-fl 10507  df-mod 10562  df-seqfrec 10687  df-cj 11374  df-abs 11531  df-dvds 12320  df-struct 13055  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-sets 13060  df-iress 13061  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-starv 13146  df-sca 13147  df-vsca 13148  df-ip 13149  df-tset 13150  df-ple 13151  df-ds 13153  df-unif 13154  df-0g 13312  df-topgen 13314  df-iimas 13356  df-qus 13357  df-mgm 13410  df-sgrp 13456  df-mnd 13471  df-mhm 13513  df-grp 13557  df-minusg 13558  df-sbg 13559  df-mulg 13678  df-subg 13728  df-nsg 13729  df-eqg 13730  df-ghm 13799  df-cmn 13844  df-abl 13845  df-mgp 13905  df-rng 13917  df-ur 13944  df-srg 13948  df-ring 13982  df-cring 13983  df-oppr 14052  df-dvdsr 14073  df-rhm 14137  df-subrg 14204  df-lmod 14274  df-lssm 14338  df-lsp 14372  df-sra 14420  df-rgmod 14421  df-lidl 14454  df-rsp 14455  df-2idl 14485  df-bl 14531  df-mopn 14532  df-fg 14534  df-metu 14535  df-cnfld 14542  df-zring 14576  df-zrh 14599  df-zn 14601

This theorem is referenced by: (None)