Theorem nmblolbi 31429

Description: A lower bound for the norm of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 10-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmblolbi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmblolbi.4	⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
nmblolbi.5	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
nmblolbi.6	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmblolbi.7	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
nmblolbi.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
nmblolbi.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmblolbi	⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)))

Proof of Theorem nmblolbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6904	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → (𝑇‘𝐴) = (if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))‘𝐴))
2	1	fveq2d 6909	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))‘𝐴)))
3		fveq2 6905	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → (𝑁‘𝑇) = (𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))))
4	3	oveq1d 7455	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)) = ((𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))) · (𝐿‘𝐴)))
5	2, 4	breq12d 5119	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → ((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)) ↔ (𝑀‘(if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))) · (𝐿‘𝐴))))
6	5	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → ((𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))) · (𝐿‘𝐴)))))
7		nmblolbi.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
8		nmblolbi.4	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
9		nmblolbi.5	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
10		nmblolbi.6	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
11		nmblolbi.7	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
12		nmblolbi.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
13		nmblolbi.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
14		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 0op 𝑊) = (𝑈 0op 𝑊)
15	14, 11	0blo 31421	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑈 0op 𝑊) ∈ 𝐵)
16	12, 13, 15	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (𝑈 0op 𝑊) ∈ 𝐵
17	16	elimel 4555	. . . 4 ⊢ if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) ∈ 𝐵
18	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 17	nmblolbii 31428	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))) · (𝐿‘𝐴)))
19	6, 18	dedth 4544	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴))))
20	19	imp 412	1 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ifcif 4485   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   · cmul 11229   ≤ cle 11368  NrmCVeccnv 31213  BaseSetcba 31215  norm_CVcnmcv 31219   normOp_OLD cnmoo 31370   BLnOp cblo 31371   0_op c0o 31372

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-sup 9458  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-rp 13145  df-seq 14169  df-exp 14229  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-grpo 31122  df-gid 31123  df-ginv 31124  df-ablo 31174  df-vc 31188  df-nv 31221  df-va 31224  df-ba 31225  df-sm 31226  df-0v 31227  df-nmcv 31229  df-lno 31373  df-nmoo 31374  df-blo 31375  df-0o 31376

This theorem is used by:  isblo3i  31430  blometi  31432  ubthlem3  31501  htthlem  31546