MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmblolbi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmblolbi 30320
Description: A lower bound for the norm of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 10-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmblolbi.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nmblolbi.4 𝐿 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
nmblolbi.5 𝑀 = (normCVβ€˜π‘Š)
nmblolbi.6 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
nmblolbi.7 𝐡 = (π‘ˆ BLnOp π‘Š)
nmblolbi.u π‘ˆ ∈ NrmCVec
nmblolbi.w π‘Š ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmblolbi ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄)) ≀ ((π‘β€˜π‘‡) Β· (πΏβ€˜π΄)))
Proof of Theorem nmblolbi
StepHypRef Expression
1 fveq1 6889 . . . . . 6 (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š)) β†’ (π‘‡β€˜π΄) = (if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š))β€˜π΄))
21fveq2d 6894 . . . . 5 (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š)) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄)) = (π‘€β€˜(if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š))β€˜π΄)))
3 fveq2 6890 . . . . . 6 (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š)) β†’ (π‘β€˜π‘‡) = (π‘β€˜if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š))))
43oveq1d 7426 . . . . 5 (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š)) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) Β· (πΏβ€˜π΄)) = ((π‘β€˜if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š))) Β· (πΏβ€˜π΄)))
52, 4breq12d 5160 . . . 4 (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š)) β†’ ((π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄)) ≀ ((π‘β€˜π‘‡) Β· (πΏβ€˜π΄)) ↔ (π‘€β€˜(if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š))β€˜π΄)) ≀ ((π‘β€˜if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š))) Β· (πΏβ€˜π΄))))
65imbi2d 339 . . 3 (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š)) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄)) ≀ ((π‘β€˜π‘‡) Β· (πΏβ€˜π΄))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (π‘€β€˜(if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š))β€˜π΄)) ≀ ((π‘β€˜if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š))) Β· (πΏβ€˜π΄)))))
7 nmblolbi.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
8 nmblolbi.4 . . . 4 𝐿 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
9 nmblolbi.5 . . . 4 𝑀 = (normCVβ€˜π‘Š)
10 nmblolbi.6 . . . 4 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
11 nmblolbi.7 . . . 4 𝐡 = (π‘ˆ BLnOp π‘Š)
12 nmblolbi.u . . . 4 π‘ˆ ∈ NrmCVec
13 nmblolbi.w . . . 4 π‘Š ∈ NrmCVec
14 eqid 2730 . . . . . . 7 (π‘ˆ 0op π‘Š) = (π‘ˆ 0op π‘Š)
1514, 110blo 30312 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ (π‘ˆ 0op π‘Š) ∈ 𝐡)
1612, 13, 15mp2an 688 . . . . 5 (π‘ˆ 0op π‘Š) ∈ 𝐡
1716elimel 4596 . . . 4 if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š)) ∈ 𝐡
187, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 17nmblolbii 30319 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (π‘€β€˜(if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š))β€˜π΄)) ≀ ((π‘β€˜if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š))) Β· (πΏβ€˜π΄)))
196, 18dedth 4585 . 2 (𝑇 ∈ 𝐡 β†’ (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄)) ≀ ((π‘β€˜π‘‡) Β· (πΏβ€˜π΄))))
2019imp 405 1 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄)) ≀ ((π‘β€˜π‘‡) Β· (πΏβ€˜π΄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ifcif 4527   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253  NrmCVeccnv 30104  BaseSetcba 30106  normCVcnmcv 30110   normOpOLD cnmoo 30261   BLnOp cblo 30262   0op c0o 30263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-grpo 30013  df-gid 30014  df-ginv 30015  df-ablo 30065  df-vc 30079  df-nv 30112  df-va 30115  df-ba 30116  df-sm 30117  df-0v 30118  df-nmcv 30120  df-lno 30264  df-nmoo 30265  df-blo 30266  df-0o 30267
This theorem is referenced by:  isblo3i  30321  blometi  30323  ubthlem3  30392  htthlem  30437
  Copyright terms: Public domain W3C validator