Theorem nmblolbi 30859

Description: A lower bound for the norm of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 10-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmblolbi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmblolbi.4	⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
nmblolbi.5	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
nmblolbi.6	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmblolbi.7	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
nmblolbi.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
nmblolbi.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmblolbi	⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)))

Proof of Theorem nmblolbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6828	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → (𝑇‘𝐴) = (if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))‘𝐴))
2	1	fveq2d 6833	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))‘𝐴)))
3		fveq2 6829	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → (𝑁‘𝑇) = (𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))))
4	3	oveq1d 7371	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)) = ((𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))) · (𝐿‘𝐴)))
5	2, 4	breq12d 5087	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → ((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)) ↔ (𝑀‘(if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))) · (𝐿‘𝐴))))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → ((𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))) · (𝐿‘𝐴)))))
7		nmblolbi.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
8		nmblolbi.4	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
9		nmblolbi.5	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
10		nmblolbi.6	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
11		nmblolbi.7	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
12		nmblolbi.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
13		nmblolbi.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
14		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 0op 𝑊) = (𝑈 0op 𝑊)
15	14, 11	0blo 30851	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑈 0op 𝑊) ∈ 𝐵)
16	12, 13, 15	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (𝑈 0op 𝑊) ∈ 𝐵
17	16	elimel 4526	. . . 4 ⊢ if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) ∈ 𝐵
18	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 17	nmblolbii 30858	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))) · (𝐿‘𝐴)))
19	6, 18	dedth 4515	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴))))
20	19	imp 406	1 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4456   class class class wbr 5074  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356   · cmul 11032   ≤ cle 11169  NrmCVeccnv 30643  BaseSetcba 30645  norm_CVcnmcv 30649   normOp_OLD cnmoo 30800   BLnOp cblo 30801   0_op c0o 30802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-map 8764  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-sup 9344  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-seq 13953  df-exp 14013  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-grpo 30552  df-gid 30553  df-ginv 30554  df-ablo 30604  df-vc 30618  df-nv 30651  df-va 30654  df-ba 30655  df-sm 30656  df-0v 30657  df-nmcv 30659  df-lno 30803  df-nmoo 30804  df-blo 30805  df-0o 30806

This theorem is referenced by:  isblo3i  30860  blometi  30862  ubthlem3  30931  htthlem  30976