Theorem nmblolbi 30893

Description: A lower bound for the norm of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 10-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmblolbi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmblolbi.4	⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
nmblolbi.5	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
nmblolbi.6	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmblolbi.7	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
nmblolbi.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
nmblolbi.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmblolbi	⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)))

Proof of Theorem nmblolbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6830	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → (𝑇‘𝐴) = (if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))‘𝐴))
2	1	fveq2d 6835	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))‘𝐴)))
3		fveq2 6831	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → (𝑁‘𝑇) = (𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))))
4	3	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)) = ((𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))) · (𝐿‘𝐴)))
5	2, 4	breq12d 5088	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → ((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)) ↔ (𝑀‘(if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))) · (𝐿‘𝐴))))
6	5	imbi2d 342	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → ((𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))) · (𝐿‘𝐴)))))
7		nmblolbi.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
8		nmblolbi.4	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
9		nmblolbi.5	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
10		nmblolbi.6	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
11		nmblolbi.7	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
12		nmblolbi.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
13		nmblolbi.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
14		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 0op 𝑊) = (𝑈 0op 𝑊)
15	14, 11	0blo 30885	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑈 0op 𝑊) ∈ 𝐵)
16	12, 13, 15	mp2an 699	. . . . 5 ⊢ (𝑈 0op 𝑊) ∈ 𝐵
17	16	elimel 4527	. . . 4 ⊢ if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) ∈ 𝐵
18	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 17	nmblolbii 30892	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))) · (𝐿‘𝐴)))
19	6, 18	dedth 4516	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴))))
20	19	imp 408	1 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ifcif 4457   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   · cmul 11038   ≤ cle 11175  NrmCVeccnv 30677  BaseSetcba 30679  norm_CVcnmcv 30683   normOp_OLD cnmoo 30834   BLnOp cblo 30835   0_op c0o 30836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-grpo 30586  df-gid 30587  df-ginv 30588  df-ablo 30638  df-vc 30652  df-nv 30685  df-va 30688  df-ba 30689  df-sm 30690  df-0v 30691  df-nmcv 30693  df-lno 30837  df-nmoo 30838  df-blo 30839  df-0o 30840

This theorem is referenced by:  isblo3i  30894  blometi  30896  ubthlem3  30965  htthlem  31010