MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmblolbi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmblolbi 29839
Description: A lower bound for the norm of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 10-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmblolbi.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nmblolbi.4 𝐿 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
nmblolbi.5 𝑀 = (normCVβ€˜π‘Š)
nmblolbi.6 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
nmblolbi.7 𝐡 = (π‘ˆ BLnOp π‘Š)
nmblolbi.u π‘ˆ ∈ NrmCVec
nmblolbi.w π‘Š ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmblolbi ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄)) ≀ ((π‘β€˜π‘‡) Β· (πΏβ€˜π΄)))
Proof of Theorem nmblolbi
StepHypRef Expression
1 fveq1 6861 . . . . . 6 (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š)) β†’ (π‘‡β€˜π΄) = (if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š))β€˜π΄))
21fveq2d 6866 . . . . 5 (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š)) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄)) = (π‘€β€˜(if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š))β€˜π΄)))
3 fveq2 6862 . . . . . 6 (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š)) β†’ (π‘β€˜π‘‡) = (π‘β€˜if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š))))
43oveq1d 7392 . . . . 5 (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š)) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) Β· (πΏβ€˜π΄)) = ((π‘β€˜if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š))) Β· (πΏβ€˜π΄)))
52, 4breq12d 5138 . . . 4 (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š)) β†’ ((π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄)) ≀ ((π‘β€˜π‘‡) Β· (πΏβ€˜π΄)) ↔ (π‘€β€˜(if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š))β€˜π΄)) ≀ ((π‘β€˜if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š))) Β· (πΏβ€˜π΄))))
65imbi2d 340 . . 3 (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š)) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄)) ≀ ((π‘β€˜π‘‡) Β· (πΏβ€˜π΄))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (π‘€β€˜(if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š))β€˜π΄)) ≀ ((π‘β€˜if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š))) Β· (πΏβ€˜π΄)))))
7 nmblolbi.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
8 nmblolbi.4 . . . 4 𝐿 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
9 nmblolbi.5 . . . 4 𝑀 = (normCVβ€˜π‘Š)
10 nmblolbi.6 . . . 4 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
11 nmblolbi.7 . . . 4 𝐡 = (π‘ˆ BLnOp π‘Š)
12 nmblolbi.u . . . 4 π‘ˆ ∈ NrmCVec
13 nmblolbi.w . . . 4 π‘Š ∈ NrmCVec
14 eqid 2731 . . . . . . 7 (π‘ˆ 0op π‘Š) = (π‘ˆ 0op π‘Š)
1514, 110blo 29831 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ (π‘ˆ 0op π‘Š) ∈ 𝐡)
1612, 13, 15mp2an 690 . . . . 5 (π‘ˆ 0op π‘Š) ∈ 𝐡
1716elimel 4575 . . . 4 if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š)) ∈ 𝐡
187, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 17nmblolbii 29838 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (π‘€β€˜(if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š))β€˜π΄)) ≀ ((π‘β€˜if(𝑇 ∈ 𝐡, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š))) Β· (πΏβ€˜π΄)))
196, 18dedth 4564 . 2 (𝑇 ∈ 𝐡 β†’ (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄)) ≀ ((π‘β€˜π‘‡) Β· (πΏβ€˜π΄))))
2019imp 407 1 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄)) ≀ ((π‘β€˜π‘‡) Β· (πΏβ€˜π΄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ifcif 4506   class class class wbr 5125  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377   Β· cmul 11080   ≀ cle 11214  NrmCVeccnv 29623  BaseSetcba 29625  normCVcnmcv 29629   normOpOLD cnmoo 29780   BLnOp cblo 29781   0op c0o 29782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-map 8789  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-sup 9402  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-rp 12940  df-seq 13932  df-exp 13993  df-cj 15011  df-re 15012  df-im 15013  df-sqrt 15147  df-abs 15148  df-grpo 29532  df-gid 29533  df-ginv 29534  df-ablo 29584  df-vc 29598  df-nv 29631  df-va 29634  df-ba 29635  df-sm 29636  df-0v 29637  df-nmcv 29639  df-lno 29783  df-nmoo 29784  df-blo 29785  df-0o 29786
This theorem is referenced by:  isblo3i  29840  blometi  29842  ubthlem3  29911  htthlem  29956
  Copyright terms: Public domain W3C validator