Theorem nmblolbi 31267

Description: A lower bound for the norm of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 10-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmblolbi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmblolbi.4	⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
nmblolbi.5	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
nmblolbi.6	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmblolbi.7	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
nmblolbi.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
nmblolbi.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmblolbi	⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)))

Proof of Theorem nmblolbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → (𝑇‘𝐴) = (if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))‘𝐴))
2	1	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))‘𝐴)))
3		fveq2 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → (𝑁‘𝑇) = (𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))))
4	3	oveq1d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)) = ((𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))) · (𝐿‘𝐴)))
5	2, 4	breq12d 5120	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → ((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)) ↔ (𝑀‘(if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))) · (𝐿‘𝐴))))
6	5	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → ((𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))) · (𝐿‘𝐴)))))
7		nmblolbi.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
8		nmblolbi.4	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
9		nmblolbi.5	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
10		nmblolbi.6	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
11		nmblolbi.7	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
12		nmblolbi.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
13		nmblolbi.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
14		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 0op 𝑊) = (𝑈 0op 𝑊)
15	14, 11	0blo 31259	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑈 0op 𝑊) ∈ 𝐵)
16	12, 13, 15	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (𝑈 0op 𝑊) ∈ 𝐵
17	16	elimel 4555	. . . 4 ⊢ if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) ∈ 𝐵
18	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 17	nmblolbii 31266	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))) · (𝐿‘𝐴)))
19	6, 18	dedth 4544	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴))))
20	19	imp 412	1 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4485   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   · cmul 11132   ≤ cle 11271  NrmCVeccnv 31051  BaseSetcba 31053  norm_CVcnmcv 31057   normOp_OLD cnmoo 31208   BLnOp cblo 31209   0_op c0o 31210

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-grpo 30960  df-gid 30961  df-ginv 30962  df-ablo 31012  df-vc 31026  df-nv 31059  df-va 31062  df-ba 31063  df-sm 31064  df-0v 31065  df-nmcv 31067  df-lno 31211  df-nmoo 31212  df-blo 31213  df-0o 31214

This theorem is used by:  isblo3i  31268  blometi  31270  ubthlem3  31339  htthlem  31384