Theorem nmblolbi 30780

Description: A lower bound for the norm of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 10-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmblolbi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmblolbi.4	⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
nmblolbi.5	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
nmblolbi.6	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmblolbi.7	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
nmblolbi.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
nmblolbi.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmblolbi	⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)))

Proof of Theorem nmblolbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6821	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → (𝑇‘𝐴) = (if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))‘𝐴))
2	1	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))‘𝐴)))
3		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → (𝑁‘𝑇) = (𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))))
4	3	oveq1d 7361	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)) = ((𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))) · (𝐿‘𝐴)))
5	2, 4	breq12d 5102	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → ((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)) ↔ (𝑀‘(if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))) · (𝐿‘𝐴))))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → ((𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))) · (𝐿‘𝐴)))))
7		nmblolbi.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
8		nmblolbi.4	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
9		nmblolbi.5	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
10		nmblolbi.6	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
11		nmblolbi.7	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
12		nmblolbi.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
13		nmblolbi.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
14		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 0op 𝑊) = (𝑈 0op 𝑊)
15	14, 11	0blo 30772	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑈 0op 𝑊) ∈ 𝐵)
16	12, 13, 15	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (𝑈 0op 𝑊) ∈ 𝐵
17	16	elimel 4542	. . . 4 ⊢ if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) ∈ 𝐵
18	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 17	nmblolbii 30779	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐵, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊))) · (𝐿‘𝐴)))
19	6, 18	dedth 4531	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴))))
20	19	imp 406	1 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ifcif 4472   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   · cmul 11011   ≤ cle 11147  NrmCVeccnv 30564  BaseSetcba 30566  norm_CVcnmcv 30570   normOp_OLD cnmoo 30721   BLnOp cblo 30722   0_op c0o 30723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-grpo 30473  df-gid 30474  df-ginv 30475  df-ablo 30525  df-vc 30539  df-nv 30572  df-va 30575  df-ba 30576  df-sm 30577  df-0v 30578  df-nmcv 30580  df-lno 30724  df-nmoo 30725  df-blo 30726  df-0o 30727

This theorem is referenced by:  isblo3i  30781  blometi  30783  ubthlem3  30852  htthlem  30897