Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evpmsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evpmsubg 31822
Description: The alternating group is a subgroup of the symmetric group. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
evpmsubg.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmsubg.a 𝐴 = (pmEven‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
evpmsubg (𝐷 ∈ Fin → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑆))

Proof of Theorem evpmsubg
StepHypRef Expression
1 evpmsubg.a . . 3 𝐴 = (pmEven‘𝐷)
21evpmval 31820 . 2 (𝐷 ∈ Fin → 𝐴 = ((pmSgn‘𝐷) “ {1}))
3 evpmsubg.s . . . 4 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
4 eqid 2737 . . . 4 (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
5 eqid 2737 . . . 4 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
63, 4, 5psgnghm2 20938 . . 3 (𝐷 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
75cnmsgngrp 20936 . . . 4 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) ∈ Grp
85cnmsgn0g 31821 . . . . 5 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
980subg 18912 . . . 4 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) ∈ Grp → {1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
107, 9ax-mp 5 . . 3 {1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
11 ghmpreima 18989 . . 3 (((pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ {1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))) → ((pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ (SubGrp‘𝑆))
126, 10, 11sylancl 586 . 2 (𝐷 ∈ Fin → ((pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ (SubGrp‘𝑆))
132, 12eqeltrd 2838 1 (𝐷 ∈ Fin → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  {csn 4584  {cpr 4586  ccnv 5630  cima 5634  cfv 6493  (class class class)co 7351  Fincfn 8841  1c1 11010  -cneg 11344  s cress 17072  Grpcgrp 18708  SubGrpcsubg 18881   GrpHom cghm 18964  SymGrpcsymg 19107  pmSgncpsgn 19230  pmEvencevpm 19231  mulGrpcmgp 19855  fldccnfld 20749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-addf 11088  ax-mulf 11089
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-tpos 8149  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-2o 8405  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-xnn0 12444  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-rp 12870  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-seq 13861  df-exp 13922  df-hash 14185  df-word 14357  df-lsw 14405  df-concat 14413  df-s1 14438  df-substr 14487  df-pfx 14517  df-splice 14596  df-reverse 14605  df-s2 14695  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-starv 17108  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-unif 17116  df-0g 17283  df-gsum 17284  df-mre 17426  df-mrc 17427  df-acs 17429  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-mhm 18561  df-submnd 18562  df-efmnd 18639  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-subg 18884  df-ghm 18965  df-gim 19008  df-oppg 19083  df-symg 19108  df-pmtr 19183  df-psgn 19232  df-evpm 19233  df-cmn 19523  df-abl 19524  df-mgp 19856  df-ur 19873  df-ring 19920  df-cring 19921  df-oppr 20002  df-dvdsr 20023  df-unit 20024  df-invr 20054  df-dvr 20065  df-drng 20140  df-cnfld 20750
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator