Theorem evpmsubg 33097

Description: The alternating group is a subgroup of the symmetric group. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
evpmsubg.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmsubg.a	⊢ 𝐴 = (pmEven‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
evpmsubg	⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑆))

Proof of Theorem evpmsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evpmsubg.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (pmEven‘𝐷)
2	1	evpmval 33095	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝐴 = (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}))
3		evpmsubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
4		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
5		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
6	3, 4, 5	psgnghm2 21552	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
7	5	cnmsgngrp 21550	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) ∈ Grp
8	5	cnmsgn0g 33096	. . . . 5 ⊢ 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
9	8	0subg 19137	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) ∈ Grp → {1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
10	7, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
11		ghmpreima 19224	. . 3 ⊢ (((pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ {1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))) → (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ (SubGrp‘𝑆))
12	6, 10, 11	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ (SubGrp‘𝑆))
13	2, 12	eqeltrd 2833	1 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {csn 4606  {cpr 4608  ^◡ccnv 5664   “ cima 5668  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412  Fincfn 8966  1c1 11137  -cneg 11474   ↾_s cress 17251  Grpcgrp 18919  SubGrpcsubg 19106   GrpHom cghm 19198  SymGrpcsymg 19353  pmSgncpsgn 19474  pmEvencevpm 19475  mulGrpcmgp 20104  ℂ_fldccnfld 21325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-addf 11215  ax-mulf 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1511  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-ot 4615  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-div 11902  df-nn 12248  df-2 12310  df-3 12311  df-4 12312  df-5 12313  df-6 12314  df-7 12315  df-8 12316  df-9 12317  df-n0 12509  df-xnn0 12582  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12860  df-rp 13016  df-fz 13529  df-fzo 13676  df-seq 14024  df-exp 14084  df-hash 14351  df-word 14534  df-lsw 14582  df-concat 14590  df-s1 14615  df-substr 14660  df-pfx 14690  df-splice 14769  df-reverse 14778  df-s2 14868  df-struct 17165  df-sets 17182  df-slot 17200  df-ndx 17212  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17285  df-mulr 17286  df-starv 17287  df-tset 17291  df-ple 17292  df-ds 17294  df-unif 17295  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18621  df-sgrp 18700  df-mnd 18716  df-mhm 18764  df-submnd 18765  df-efmnd 18850  df-grp 18922  df-minusg 18923  df-subg 19109  df-ghm 19199  df-gim 19245  df-oppg 19332  df-symg 19354  df-pmtr 19427  df-psgn 19476  df-evpm 19477  df-cmn 19767  df-abl 19768  df-mgp 20105  df-rng 20117  df-ur 20146  df-ring 20199  df-cring 20200  df-oppr 20301  df-dvdsr 20324  df-unit 20325  df-invr 20355  df-dvr 20368  df-drng 20698  df-cnfld 21326

This theorem is referenced by: (None)