Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evpmsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evpmsubg 30849
 Description: The alternating group is a subgroup of the symmetric group. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
evpmsubg.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmsubg.a 𝐴 = (pmEven‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
evpmsubg (𝐷 ∈ Fin → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑆))

Proof of Theorem evpmsubg
StepHypRef Expression
1 evpmsubg.a . . 3 𝐴 = (pmEven‘𝐷)
21evpmval 30847 . 2 (𝐷 ∈ Fin → 𝐴 = ((pmSgn‘𝐷) “ {1}))
3 evpmsubg.s . . . 4 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
4 eqid 2798 . . . 4 (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
5 eqid 2798 . . . 4 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
63, 4, 5psgnghm2 20275 . . 3 (𝐷 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
75cnmsgngrp 20273 . . . 4 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) ∈ Grp
85cnmsgn0g 30848 . . . . 5 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
980subg 18300 . . . 4 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) ∈ Grp → {1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
107, 9ax-mp 5 . . 3 {1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
11 ghmpreima 18376 . . 3 (((pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ {1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))) → ((pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ (SubGrp‘𝑆))
126, 10, 11sylancl 589 . 2 (𝐷 ∈ Fin → ((pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ (SubGrp‘𝑆))
132, 12eqeltrd 2890 1 (𝐷 ∈ Fin → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {csn 4525  {cpr 4527  ◡ccnv 5519   “ cima 5523  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  Fincfn 8495  1c1 10530  -cneg 10863   ↾s cress 16479  Grpcgrp 18098  SubGrpcsubg 18269   GrpHom cghm 18351  SymGrpcsymg 18491  pmSgncpsgn 18613  pmEvencevpm 18614  mulGrpcmgp 19236  ℂfldccnfld 20095 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-tpos 7878  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-xnn0 11959  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-rp 12381  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-seq 13368  df-exp 13429  df-hash 13690  df-word 13861  df-lsw 13909  df-concat 13917  df-s1 13944  df-substr 13997  df-pfx 14027  df-splice 14106  df-reverse 14115  df-s2 14204  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-efmnd 18029  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-gim 18395  df-oppg 18470  df-symg 18492  df-pmtr 18566  df-psgn 18615  df-evpm 18616  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-cring 19297  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-dvr 19433  df-drng 19501  df-cnfld 20096 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator