Theorem evpmsubg 33595

Description: The alternating group is a subgroup of the symmetric group. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
evpmsubg.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmsubg.a	⊢ 𝐴 = (pmEven‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
evpmsubg	⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑆))

Proof of Theorem evpmsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evpmsubg.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (pmEven‘𝐷)
2	1	evpmval 33593	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝐴 = (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}))
3		evpmsubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
5		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
6	3, 4, 5	psgnghm2 21800	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
7	5	cnmsgngrp 21798	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) ∈ Grp
8	5	cnmsgn0g 33594	. . . . 5 ⊢ 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
9	8	0subg 19281	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) ∈ Grp → {1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
10	7, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
11		ghmpreima 19371	. . 3 ⊢ (((pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ {1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))) → (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ (SubGrp‘𝑆))
12	6, 10, 11	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ (SubGrp‘𝑆))
13	2, 12	eqeltrd 2862	1 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4587  {cpr 4589  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Fincfn 8956  1c1 11129  -cneg 11470   ↾_s cress 17328  Grpcgrp 19063  SubGrpcsubg 19249   GrpHom cghm 19346  SymGrpcsymg 19502  pmSgncpsgn 19622  pmEvencevpm 19623  mulGrpcmgp 20279  ℂ_fldccnfld 21591

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-addf 11207  ax-mulf 11208

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-word 14583  df-lsw 14632  df-concat 14640  df-s1 14667  df-substr 14713  df-pfx 14745  df-splice 14823  df-reverse 14832  df-s2 14923  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mhm 18897  df-submnd 18898  df-efmnd 18984  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-subg 19252  df-ghm 19347  df-gim 19392  df-oppg 19479  df-symg 19503  df-pmtr 19575  df-psgn 19624  df-evpm 19625  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-cring 20381  df-oppr 20484  df-dvdsr 20504  df-unit 20505  df-invr 20535  df-dvr 20548  df-drng 20898  df-cnfld 21592

This theorem is used by: (None)