Theorem evpmsubg 33163

Description: The alternating group is a subgroup of the symmetric group. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
evpmsubg.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmsubg.a	⊢ 𝐴 = (pmEven‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
evpmsubg	⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑆))

Proof of Theorem evpmsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evpmsubg.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (pmEven‘𝐷)
2	1	evpmval 33161	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝐴 = (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}))
3		evpmsubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
6	3, 4, 5	psgnghm2 21623	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
7	5	cnmsgngrp 21621	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) ∈ Grp
8	5	cnmsgn0g 33162	. . . . 5 ⊢ 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
9	8	0subg 19188	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) ∈ Grp → {1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
10	7, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
11		ghmpreima 19275	. . 3 ⊢ (((pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ {1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))) → (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ (SubGrp‘𝑆))
12	6, 10, 11	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ (SubGrp‘𝑆))
13	2, 12	eqeltrd 2840	1 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2107  {csn 4632  {cpr 4634  ^◡ccnv 5689   “ cima 5693  ‘cfv 6566  (class class class)co 7435  Fincfn 8990  1c1 11160  -cneg 11497   ↾_s cress 17280  Grpcgrp 18970  SubGrpcsubg 19157   GrpHom cghm 19249  SymGrpcsymg 19407  pmSgncpsgn 19528  pmEvencevpm 19529  mulGrpcmgp 20158  ℂ_fldccnfld 21388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5286  ax-sep 5303  ax-nul 5313  ax-pow 5372  ax-pr 5439  ax-un 7758  ax-cnex 11215  ax-resscn 11216  ax-1cn 11217  ax-icn 11218  ax-addcl 11219  ax-addrcl 11220  ax-mulcl 11221  ax-mulrcl 11222  ax-mulcom 11223  ax-addass 11224  ax-mulass 11225  ax-distr 11226  ax-i2m1 11227  ax-1ne0 11228  ax-1rid 11229  ax-rnegex 11230  ax-rrecex 11231  ax-cnre 11232  ax-pre-lttri 11233  ax-pre-lttrn 11234  ax-pre-ltadd 11235  ax-pre-mulgt0 11236  ax-addf 11238  ax-mulf 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1510  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3435  df-v 3481  df-sbc 3793  df-csb 3910  df-dif 3967  df-un 3969  df-in 3971  df-ss 3981  df-pss 3984  df-nul 4341  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4914  df-int 4953  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5642  df-se 5643  df-we 5644  df-xp 5696  df-rel 5697  df-cnv 5698  df-co 5699  df-dm 5700  df-rn 5701  df-res 5702  df-ima 5703  df-pred 6326  df-ord 6392  df-on 6393  df-lim 6394  df-suc 6395  df-iota 6519  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7392  df-ov 7438  df-oprab 7439  df-mpo 7440  df-om 7892  df-1st 8019  df-2nd 8020  df-tpos 8256  df-frecs 8311  df-wrecs 8342  df-recs 8416  df-rdg 8455  df-1o 8511  df-2o 8512  df-er 8750  df-map 8873  df-en 8991  df-dom 8992  df-sdom 8993  df-fin 8994  df-card 9983  df-pnf 11301  df-mnf 11302  df-xr 11303  df-ltxr 11304  df-le 11305  df-sub 11498  df-neg 11499  df-div 11925  df-nn 12271  df-2 12333  df-3 12334  df-4 12335  df-5 12336  df-6 12337  df-7 12338  df-8 12339  df-9 12340  df-n0 12531  df-xnn0 12604  df-z 12618  df-dec 12738  df-uz 12883  df-rp 13039  df-fz 13551  df-fzo 13698  df-seq 14046  df-exp 14106  df-hash 14373  df-word 14556  df-lsw 14604  df-concat 14612  df-s1 14637  df-substr 14682  df-pfx 14712  df-splice 14791  df-reverse 14800  df-s2 14890  df-struct 17187  df-sets 17204  df-slot 17222  df-ndx 17234  df-base 17252  df-ress 17281  df-plusg 17317  df-mulr 17318  df-starv 17319  df-tset 17323  df-ple 17324  df-ds 17326  df-unif 17327  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18672  df-sgrp 18751  df-mnd 18767  df-mhm 18815  df-submnd 18816  df-efmnd 18901  df-grp 18973  df-minusg 18974  df-subg 19160  df-ghm 19250  df-gim 19296  df-oppg 19383  df-symg 19408  df-pmtr 19481  df-psgn 19530  df-evpm 19531  df-cmn 19821  df-abl 19822  df-mgp 20159  df-rng 20177  df-ur 20206  df-ring 20259  df-cring 20260  df-oppr 20357  df-dvdsr 20380  df-unit 20381  df-invr 20411  df-dvr 20424  df-drng 20754  df-cnfld 21389

This theorem is referenced by: (None)