Theorem evpmsubg 33132

Description: The alternating group is a subgroup of the symmetric group. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
evpmsubg.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmsubg.a	⊢ 𝐴 = (pmEven‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
evpmsubg	⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑆))

Proof of Theorem evpmsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evpmsubg.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (pmEven‘𝐷)
2	1	evpmval 33130	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝐴 = (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}))
3		evpmsubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
4		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
5		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
6	3, 4, 5	psgnghm2 21617	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
7	5	cnmsgngrp 21615	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) ∈ Grp
8	5	cnmsgn0g 33131	. . . . 5 ⊢ 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
9	8	0subg 19186	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) ∈ Grp → {1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
10	7, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
11		ghmpreima 19273	. . 3 ⊢ (((pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ {1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))) → (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ (SubGrp‘𝑆))
12	6, 10, 11	sylancl 585	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ (SubGrp‘𝑆))
13	2, 12	eqeltrd 2838	1 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2103  {csn 4648  {cpr 4650  ^◡ccnv 5698   “ cima 5702  ‘cfv 6572  (class class class)co 7445  Fincfn 8999  1c1 11181  -cneg 11517   ↾_s cress 17282  Grpcgrp 18968  SubGrpcsubg 19155   GrpHom cghm 19247  SymGrpcsymg 19405  pmSgncpsgn 19526  pmEvencevpm 19527  mulGrpcmgp 20156  ℂ_fldccnfld 21382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-addf 11259  ax-mulf 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1509  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-iin 5022  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-se 5655  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-isom 6581  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-tpos 8263  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-er 8759  df-map 8882  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-card 10004  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12550  df-xnn0 12622  df-z 12636  df-dec 12755  df-uz 12900  df-rp 13054  df-fz 13564  df-fzo 13708  df-seq 14049  df-exp 14109  df-hash 14376  df-word 14559  df-lsw 14607  df-concat 14615  df-s1 14640  df-substr 14685  df-pfx 14715  df-splice 14794  df-reverse 14803  df-s2 14893  df-struct 17189  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-ress 17283  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-0g 17496  df-gsum 17497  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-mhm 18813  df-submnd 18814  df-efmnd 18899  df-grp 18971  df-minusg 18972  df-subg 19158  df-ghm 19248  df-gim 19294  df-oppg 19381  df-symg 19406  df-pmtr 19479  df-psgn 19528  df-evpm 19529  df-cmn 19819  df-abl 19820  df-mgp 20157  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-cring 20258  df-oppr 20355  df-dvdsr 20378  df-unit 20379  df-invr 20409  df-dvr 20422  df-drng 20748  df-cnfld 21383

This theorem is referenced by: (None)