Theorem evpmsubg 33111

Description: The alternating group is a subgroup of the symmetric group. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
evpmsubg.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmsubg.a	⊢ 𝐴 = (pmEven‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
evpmsubg	⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑆))

Proof of Theorem evpmsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evpmsubg.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (pmEven‘𝐷)
2	1	evpmval 33109	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝐴 = (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}))
3		evpmsubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
5		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
6	3, 4, 5	psgnghm2 21516	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
7	5	cnmsgngrp 21514	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) ∈ Grp
8	5	cnmsgn0g 33110	. . . . 5 ⊢ 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
9	8	0subg 19061	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) ∈ Grp → {1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
10	7, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
11		ghmpreima 19148	. . 3 ⊢ (((pmSgn‘𝐷) ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ {1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))) → (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ (SubGrp‘𝑆))
12	6, 10, 11	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (◡(pmSgn‘𝐷) “ {1}) ∈ (SubGrp‘𝑆))
13	2, 12	eqeltrd 2831	1 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {csn 4576  {cpr 4578  ^◡ccnv 5615   “ cima 5619  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Fincfn 8869  1c1 11004  -cneg 11342   ↾_s cress 17138  Grpcgrp 18843  SubGrpcsubg 19030   GrpHom cghm 19122  SymGrpcsymg 19279  pmSgncpsgn 19399  pmEvencevpm 19400  mulGrpcmgp 20056  ℂ_fldccnfld 21289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-addf 11082  ax-mulf 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1513  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-ot 4585  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-xnn0 12452  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-rp 12888  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-seq 13906  df-exp 13966  df-hash 14235  df-word 14418  df-lsw 14467  df-concat 14475  df-s1 14501  df-substr 14546  df-pfx 14576  df-splice 14654  df-reverse 14663  df-s2 14752  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-mhm 18688  df-submnd 18689  df-efmnd 18774  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-subg 19033  df-ghm 19123  df-gim 19169  df-oppg 19256  df-symg 19280  df-pmtr 19352  df-psgn 19401  df-evpm 19402  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-drng 20644  df-cnfld 21290

This theorem is referenced by: (None)