MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqlem8a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqlem8a 25602
Description: Lemma for 2sqlem8 25603. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem7.2 𝑌 = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))}
2sqlem9.5 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...(𝑀 − 1))∀𝑎𝑌 (𝑏𝑎𝑏𝑆))
2sqlem9.7 (𝜑𝑀𝑁)
2sqlem8.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2sqlem8.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
2sqlem8.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2sqlem8.2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
2sqlem8.3 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
2sqlem8.4 (𝜑𝑁 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
2sqlem8.c 𝐶 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
2sqlem8.d 𝐷 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
Assertion
Ref Expression
2sqlem8a (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐴,𝑎,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥,𝑦   𝐵,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦   𝑀,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧   𝑌,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑤,𝑏)   𝐵(𝑧,𝑤)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑤)   𝑀(𝑤)   𝑁(𝑤,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem 2sqlem8a
StepHypRef Expression
1 2sqlem8.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 2sqlem8.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
3 eluz2b3 12069 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≠ 1))
42, 3sylib 210 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≠ 1))
54simpld 490 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
6 2sqlem8.c . . . 4 𝐶 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
71, 5, 64sqlem5 16050 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐶) / 𝑀) ∈ ℤ))
87simpld 490 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
9 2sqlem8.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
10 2sqlem8.d . . . 4 𝐷 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
119, 5, 104sqlem5 16050 . . 3 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℤ ∧ ((𝐵𝐷) / 𝑀) ∈ ℤ))
1211simpld 490 . 2 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
134simprd 491 . . . 4 (𝜑𝑀 ≠ 1)
14 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶↑2) = 0) → (𝐶↑2) = 0)
151, 5, 6, 144sqlem9 16054 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐶↑2) = 0) → (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2))
1615ex 403 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶↑2) = 0 → (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2)))
17 eluzelz 12002 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) → 𝑀 ∈ ℤ)
182, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
19 dvdssq 15686 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑀𝐴 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2)))
2018, 1, 19syl2anc 579 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀𝐴 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2)))
2116, 20sylibrd 251 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶↑2) = 0 → 𝑀𝐴))
22 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐷↑2) = 0) → (𝐷↑2) = 0)
239, 5, 10, 224sqlem9 16054 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐷↑2) = 0) → (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2))
2423ex 403 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷↑2) = 0 → (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2)))
25 dvdssq 15686 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑀𝐵 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2)))
2618, 9, 25syl2anc 579 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀𝐵 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2)))
2724, 26sylibrd 251 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐷↑2) = 0 → 𝑀𝐵))
28 2sqlem8.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
29 ax-1ne0 10341 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ 0
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ≠ 0)
3128, 30eqnetrd 3036 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
3231neneqd 2974 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (𝐴 gcd 𝐵) = 0)
33 gcdeq0 15644 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
341, 9, 33syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
3532, 34mtbid 316 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
36 dvdslegcd 15632 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝑀𝐴𝑀𝐵) → 𝑀 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
3718, 1, 9, 35, 36syl31anc 1441 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀𝐴𝑀𝐵) → 𝑀 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
3821, 27, 37syl2and 601 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶↑2) = 0 ∧ (𝐷↑2) = 0) → 𝑀 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
3928breq2d 4898 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 ≤ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ 𝑀 ≤ 1))
40 nnle1eq1 11406 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ≤ 1 ↔ 𝑀 = 1))
415, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 ≤ 1 ↔ 𝑀 = 1))
4239, 41bitrd 271 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 ≤ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ 𝑀 = 1))
4338, 42sylibd 231 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐶↑2) = 0 ∧ (𝐷↑2) = 0) → 𝑀 = 1))
4443necon3ad 2982 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ≠ 1 → ¬ ((𝐶↑2) = 0 ∧ (𝐷↑2) = 0)))
4513, 44mpd 15 . . 3 (𝜑 → ¬ ((𝐶↑2) = 0 ∧ (𝐷↑2) = 0))
468zcnd 11835 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
47 sqeq0 13245 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶↑2) = 0 ↔ 𝐶 = 0))
4846, 47syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶↑2) = 0 ↔ 𝐶 = 0))
4912zcnd 11835 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
50 sqeq0 13245 . . . . 5 (𝐷 ∈ ℂ → ((𝐷↑2) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
5149, 50syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷↑2) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
5248, 51anbi12d 624 . . 3 (𝜑 → (((𝐶↑2) = 0 ∧ (𝐷↑2) = 0) ↔ (𝐶 = 0 ∧ 𝐷 = 0)))
5345, 52mtbid 316 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝐷 = 0))
54 gcdn0cl 15630 . 2 (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℕ)
558, 12, 53, 54syl21anc 828 1 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  {cab 2763  wne 2969  wral 3090  wrex 3091   class class class wbr 4886  cmpt 4965  ran crn 5356  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275  cle 10412  cmin 10606   / cdiv 11032  cn 11374  2c2 11430  cz 11728  cuz 11992  ...cfz 12643   mod cmo 12987  cexp 13178  abscabs 14381  cdvds 15387   gcd cgcd 15622  ℤ[i]cgz 16037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-dvds 15388  df-gcd 15623
This theorem is referenced by:  2sqlem8  25603
  Copyright terms: Public domain W3C validator