MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqlem8a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqlem8a 26773
Description: Lemma for 2sqlem8 26774. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem7.2 𝑌 = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))}
2sqlem9.5 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...(𝑀 − 1))∀𝑎𝑌 (𝑏𝑎𝑏𝑆))
2sqlem9.7 (𝜑𝑀𝑁)
2sqlem8.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2sqlem8.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
2sqlem8.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2sqlem8.2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
2sqlem8.3 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
2sqlem8.4 (𝜑𝑁 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
2sqlem8.c 𝐶 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
2sqlem8.d 𝐷 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
Assertion
Ref Expression
2sqlem8a (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐴,𝑎,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥,𝑦   𝐵,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦   𝑀,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧   𝑌,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑤,𝑏)   𝐵(𝑧,𝑤)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑤)   𝑀(𝑤)   𝑁(𝑤,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem 2sqlem8a
StepHypRef Expression
1 2sqlem8.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 2sqlem8.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
3 eluz2b3 12847 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≠ 1))
42, 3sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≠ 1))
54simpld 495 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
6 2sqlem8.c . . . 4 𝐶 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
71, 5, 64sqlem5 16814 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐶) / 𝑀) ∈ ℤ))
87simpld 495 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
9 2sqlem8.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
10 2sqlem8.d . . . 4 𝐷 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
119, 5, 104sqlem5 16814 . . 3 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℤ ∧ ((𝐵𝐷) / 𝑀) ∈ ℤ))
1211simpld 495 . 2 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
134simprd 496 . . . 4 (𝜑𝑀 ≠ 1)
14 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶↑2) = 0) → (𝐶↑2) = 0)
151, 5, 6, 144sqlem9 16818 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐶↑2) = 0) → (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2))
1615ex 413 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶↑2) = 0 → (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2)))
17 eluzelz 12773 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) → 𝑀 ∈ ℤ)
182, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
19 dvdssq 16443 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑀𝐴 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2)))
2018, 1, 19syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀𝐴 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2)))
2116, 20sylibrd 258 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶↑2) = 0 → 𝑀𝐴))
22 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐷↑2) = 0) → (𝐷↑2) = 0)
239, 5, 10, 224sqlem9 16818 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐷↑2) = 0) → (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2))
2423ex 413 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷↑2) = 0 → (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2)))
25 dvdssq 16443 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑀𝐵 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2)))
2618, 9, 25syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀𝐵 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2)))
2724, 26sylibrd 258 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐷↑2) = 0 → 𝑀𝐵))
28 2sqlem8.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
29 ax-1ne0 11120 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ 0
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ≠ 0)
3128, 30eqnetrd 3011 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
3231neneqd 2948 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (𝐴 gcd 𝐵) = 0)
33 gcdeq0 16397 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
341, 9, 33syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
3532, 34mtbid 323 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
36 dvdslegcd 16384 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝑀𝐴𝑀𝐵) → 𝑀 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
3718, 1, 9, 35, 36syl31anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀𝐴𝑀𝐵) → 𝑀 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
3821, 27, 37syl2and 608 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶↑2) = 0 ∧ (𝐷↑2) = 0) → 𝑀 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
3928breq2d 5117 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 ≤ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ 𝑀 ≤ 1))
40 nnle1eq1 12183 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ≤ 1 ↔ 𝑀 = 1))
415, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 ≤ 1 ↔ 𝑀 = 1))
4239, 41bitrd 278 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 ≤ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ 𝑀 = 1))
4338, 42sylibd 238 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐶↑2) = 0 ∧ (𝐷↑2) = 0) → 𝑀 = 1))
4443necon3ad 2956 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ≠ 1 → ¬ ((𝐶↑2) = 0 ∧ (𝐷↑2) = 0)))
4513, 44mpd 15 . . 3 (𝜑 → ¬ ((𝐶↑2) = 0 ∧ (𝐷↑2) = 0))
468zcnd 12608 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
47 sqeq0 14025 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶↑2) = 0 ↔ 𝐶 = 0))
4846, 47syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶↑2) = 0 ↔ 𝐶 = 0))
4912zcnd 12608 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
50 sqeq0 14025 . . . . 5 (𝐷 ∈ ℂ → ((𝐷↑2) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
5149, 50syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷↑2) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
5248, 51anbi12d 631 . . 3 (𝜑 → (((𝐶↑2) = 0 ∧ (𝐷↑2) = 0) ↔ (𝐶 = 0 ∧ 𝐷 = 0)))
5345, 52mtbid 323 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝐷 = 0))
54 gcdn0cl 16382 . 2 (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℕ)
558, 12, 53, 54syl21anc 836 1 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2713  wne 2943  wral 3064  wrex 3073   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ran crn 5634  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424   mod cmo 13774  cexp 13967  abscabs 15119  cdvds 16136   gcd cgcd 16374  ℤ[i]cgz 16801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375
This theorem is referenced by:  2sqlem8  26774
  Copyright terms: Public domain W3C validator