MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqlem8a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqlem8a 26005
Description: Lemma for 2sqlem8 26006. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem7.2 𝑌 = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))}
2sqlem9.5 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...(𝑀 − 1))∀𝑎𝑌 (𝑏𝑎𝑏𝑆))
2sqlem9.7 (𝜑𝑀𝑁)
2sqlem8.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2sqlem8.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
2sqlem8.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2sqlem8.2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
2sqlem8.3 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
2sqlem8.4 (𝜑𝑁 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
2sqlem8.c 𝐶 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
2sqlem8.d 𝐷 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
Assertion
Ref Expression
2sqlem8a (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐴,𝑎,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥,𝑦   𝐵,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦   𝑀,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧   𝑌,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑤,𝑏)   𝐵(𝑧,𝑤)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑤)   𝑀(𝑤)   𝑁(𝑤,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem 2sqlem8a
StepHypRef Expression
1 2sqlem8.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 2sqlem8.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
3 eluz2b3 12315 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≠ 1))
42, 3sylib 221 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≠ 1))
54simpld 498 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
6 2sqlem8.c . . . 4 𝐶 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
71, 5, 64sqlem5 16272 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐶) / 𝑀) ∈ ℤ))
87simpld 498 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
9 2sqlem8.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
10 2sqlem8.d . . . 4 𝐷 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
119, 5, 104sqlem5 16272 . . 3 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℤ ∧ ((𝐵𝐷) / 𝑀) ∈ ℤ))
1211simpld 498 . 2 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
134simprd 499 . . . 4 (𝜑𝑀 ≠ 1)
14 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶↑2) = 0) → (𝐶↑2) = 0)
151, 5, 6, 144sqlem9 16276 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐶↑2) = 0) → (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2))
1615ex 416 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶↑2) = 0 → (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2)))
17 eluzelz 12246 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) → 𝑀 ∈ ℤ)
182, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
19 dvdssq 15905 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑀𝐴 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2)))
2018, 1, 19syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀𝐴 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2)))
2116, 20sylibrd 262 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶↑2) = 0 → 𝑀𝐴))
22 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐷↑2) = 0) → (𝐷↑2) = 0)
239, 5, 10, 224sqlem9 16276 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐷↑2) = 0) → (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2))
2423ex 416 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷↑2) = 0 → (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2)))
25 dvdssq 15905 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑀𝐵 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2)))
2618, 9, 25syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀𝐵 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2)))
2724, 26sylibrd 262 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐷↑2) = 0 → 𝑀𝐵))
28 2sqlem8.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
29 ax-1ne0 10598 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ 0
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ≠ 0)
3128, 30eqnetrd 3081 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
3231neneqd 3019 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (𝐴 gcd 𝐵) = 0)
33 gcdeq0 15859 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
341, 9, 33syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
3532, 34mtbid 327 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
36 dvdslegcd 15847 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝑀𝐴𝑀𝐵) → 𝑀 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
3718, 1, 9, 35, 36syl31anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀𝐴𝑀𝐵) → 𝑀 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
3821, 27, 37syl2and 610 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶↑2) = 0 ∧ (𝐷↑2) = 0) → 𝑀 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
3928breq2d 5064 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 ≤ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ 𝑀 ≤ 1))
40 nnle1eq1 11660 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ≤ 1 ↔ 𝑀 = 1))
415, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 ≤ 1 ↔ 𝑀 = 1))
4239, 41bitrd 282 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 ≤ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ 𝑀 = 1))
4338, 42sylibd 242 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐶↑2) = 0 ∧ (𝐷↑2) = 0) → 𝑀 = 1))
4443necon3ad 3027 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ≠ 1 → ¬ ((𝐶↑2) = 0 ∧ (𝐷↑2) = 0)))
4513, 44mpd 15 . . 3 (𝜑 → ¬ ((𝐶↑2) = 0 ∧ (𝐷↑2) = 0))
468zcnd 12081 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
47 sqeq0 13487 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶↑2) = 0 ↔ 𝐶 = 0))
4846, 47syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶↑2) = 0 ↔ 𝐶 = 0))
4912zcnd 12081 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
50 sqeq0 13487 . . . . 5 (𝐷 ∈ ℂ → ((𝐷↑2) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
5149, 50syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷↑2) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
5248, 51anbi12d 633 . . 3 (𝜑 → (((𝐶↑2) = 0 ∧ (𝐷↑2) = 0) ↔ (𝐶 = 0 ∧ 𝐷 = 0)))
5345, 52mtbid 327 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝐷 = 0))
54 gcdn0cl 15845 . 2 (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℕ)
558, 12, 53, 54syl21anc 836 1 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  {cab 2802  wne 3014  wral 3133  wrex 3134   class class class wbr 5052  cmpt 5132  ran crn 5543  cfv 6343  (class class class)co 7145  cc 10527  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532  cle 10668  cmin 10862   / cdiv 11289  cn 11630  2c2 11685  cz 11974  cuz 12236  ...cfz 12890   mod cmo 13237  cexp 13430  abscabs 14589  cdvds 15603   gcd cgcd 15837  ℤ[i]cgz 16259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-sup 8897  df-inf 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-rp 12383  df-fl 13162  df-mod 13238  df-seq 13370  df-exp 13431  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-dvds 15604  df-gcd 15838
This theorem is referenced by:  2sqlem8  26006
  Copyright terms: Public domain W3C validator