MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdslegcd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdslegcd 16541
Description: An integer which divides both operands of the gcd operator is bounded by it. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdslegcd (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))

Proof of Theorem dvdslegcd
Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 {𝑛 ∈ ℤ ∣ ∀𝑧 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛𝑧} = {𝑛 ∈ ℤ ∣ ∀𝑧 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛𝑧}
2 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)} = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}
31, 2gcdcllem3 16538 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ (sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ≤ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ))))
43simp3d 1145 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ≤ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )))
5 gcdn0val 16535 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ))
65breq2d 5155 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝐾 ≤ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ 𝐾 ≤ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )))
74, 6sylibrd 259 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
87com12 32 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑀𝐾𝑁) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 𝐾 ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
983expb 1121 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁)) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 𝐾 ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
109com12 32 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁)) → 𝐾 ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
1110exp4b 430 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))))
1211com23 86 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))))
1312impcom 407 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ≤ (𝑀 gcd 𝑁))))
14133impb 1115 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ≤ (𝑀 gcd 𝑁))))
1514imp 406 1 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  {crab 3436  {cpr 4628   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  supcsup 9480  cr 11154  0cc0 11155   < clt 11295  cle 11296  cn 12266  cz 12613  cdvds 16290   gcd cgcd 16531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532
This theorem is referenced by:  nndvdslegcd  16542  gcd0id  16556  gcdneg  16559  gcdaddmlem  16561  bezoutlem4  16579  gcdzeq  16589  rpdvds  16697  coprm  16748  phimullem  16816  pockthlem  16943  2sqlem8a  27469  2sqlem8  27470
  Copyright terms: Public domain W3C validator